Fiche de révision : Sommes finies et doubles

📋 Plan du Cours

1. Regroupement des termes alternés
2. Sommes doubles sur un rectangle
3. Sommes doubles sur un triangle

📖 1. Regroupement des termes alternés

★ À maîtriser

• Pour tout entier naturel strictement positif m, la somme alternée des carrés jusqu’à 2m vaut $\sum_{k=1}^{2m}(-1)^k k^2=2m^2+m$.

Compléments

• Pour regrouper une somme alternée de carrés, on sépare les termes d’indice pair et impair, puis on utilise les formules des sommes de carrés et des sommes d’entiers.

📖 2. Sommes doubles sur un rectangle

📝 Points essentiels

📐 Formule - Une somme double sur le rectangle [m,n] × [p,q] s’écrit $\sum_{i=m}^{n}\left(\sum_{j=p}^{q}a_{ij}\right)=\sum_{j=p}^{q}\left(\sum_{i=m}^{n}a_{ij}\right)=\sum_{\substack{m\leq i\leq n\p\leq j\leq q}}a_{ij}$.

📌 Pour une somme double indexée sur le rectangle [m,n] × [p,q], on peut intervertir les sommes portant sur i et j, car leurs domaines d’indices sont indépendants.

📖 3. Sommes doubles sur un triangle

★ À maîtriser

📐 Formule - Sur le triangle m ≤ i ≤ j ≤ n, la sommation ligne par ligne s’écrit $\sum_{i=m}^{n}\left(\sum_{j=i}^{n}a_{ij}\right)$.

📐 Formule - Sur le triangle m ≤ i ≤ j ≤ n, la sommation colonne par colonne s’écrit $\sum_{j=m}^{n}\left(\sum_{i=m}^{j}a_{ij}\right)$.

📌 Sur le domaine triangulaire défini par m ≤ i ≤ j ≤ n, les indices i et j sont liés et les bornes de la somme intérieure dépendent de l’indice extérieur.

Compléments

• Pour tout entier naturel strictement positif m, la somme double de i + j sur le triangle 1 ≤ i ≤ j ≤ m vaut $\sum_{1\leq i\leq j\leq m}(i+j)=\frac{m(m+1)^2}{2}$.

• La somme double de i/j sur le triangle 1 ≤ i ≤ j ≤ n peut s’écrire $\sum_{i=1}^{n}\left(\sum_{j=i}^{n}\frac{i}{j}\right)=\sum_{j=1}^{n}\left(\sum_{i=1}^{j}\frac{i}{j}\right)$.