Sommes finies et doubles

📋 Plan du Cours

1. Regroupement des termes alternés
2. Sommes doubles sur un rectangle
3. Sommes doubles sur un triangle

📖 1. Regroupement des termes alternés

★ À maîtriser

• Pour tout entier naturel strictement positif m, la somme alternée des carrés jusqu’à 2m vaut $\sum_{k=1}^{2m}(-1)^k k^2=2m^2+m$.

Compléments

• Pour regrouper une somme alternée de carrés, on sépare les termes d’indice pair et impair, puis on utilise les formules des sommes de carrés et des sommes d’entiers.

📖 2. Sommes doubles sur un rectangle

📝 Points essentiels

📐 Formule - Une somme double sur le rectangle [m,n] × [p,q] s’écrit $\sum_{i=m}^{n}\left(\sum_{j=p}^{q}a_{ij}\right)=\sum_{j=p}^{q}\left(\sum_{i=m}^{n}a_{ij}\right)=\sum_{\substack{m\leq i\leq n\p\leq j\leq q}}a_{ij}$.

📌 Pour une somme double indexée sur le rectangle [m,n] × [p,q], on peut intervertir les sommes portant sur i et j, car leurs domaines d’indices sont indépendants.

📖 3. Sommes doubles sur un triangle

📐 Formule - Sur le triangle m ≤ i ≤ j ≤ n, la sommation ligne par ligne s’écrit $\sum_{i=m}^{n}\left(\sum_{j=i}^{n}a_{ij}\right)$.

📐 Formule - Sur le triangle m ≤ i ≤ j ≤ n, la sommation colonne par colonne s’écrit $\sum_{j=m}^{n}\left(\sum_{i=m}^{j}a_{ij}\right)$.