QCM : Sommes finies et doubles (6 questions)

Question 1

1. Pour un entier naturel positif $m=4$ , quelle est la valeur de la somme alternée $\sum_{k=1}^{2m}(-1)^k k^2$ ?

36

-36

32

18

Explication

La formule donne $2m^2+m$ ; pour $m=4$ , cela vaut $2\times16+4=36$ . Omettre le terme linéaire conduit à $32$ , inverser le signe donne $-36$ , et prendre $m$ comme borne de la somme mène à une autre somme.

Answer

Séparer les indices pairs et impairs, puis utiliser les sommes de carrés et d’entiers

Answer

Les deux indices varient indépendamment sur un rectangle

Answer

Les indices sont liés et les bornes de la somme intérieure dépendent de l’indice extérieur.

Answer

$$\sum_{i=2}^{6}\left(\sum_{j=i}^{6}a_{ij}\right)$$

Answer

$$\sum_{j=3}^{7}\left(\sum_{i=3}^{j}a_{ij}\right)$$

Question 2

2. Pour calculer une somme alternée de carrés jusqu’à un indice pair, quelle démarche permet de la ramener aux formules usuelles ?

Réunir les indices pairs, puis utiliser uniquement la somme des entiers

Séparer les indices pairs et impairs, puis utiliser les sommes de carrés et d’entiers

Regrouper les indices consécutifs deux à deux, puis utiliser les sommes de cubes

Séparer les indices selon leur signe, puis utiliser les sommes de carrés et de cubes

Explication

La séparation des indices pairs et impairs transforme les deux groupes en expressions calculables avec les formules de sommes de carrés et d’entiers. Regrouper simplement les indices consécutifs ne réalise pas cette séparation, tandis que les sommes de cubes ne sont pas nécessaires.

Question 3

3. Une somme double porte sur toutes les paires $(i,j)$ telles que $2\leq i\leq5$ et $1\leq j\leq3$ . Pourquoi peut-on intervertir l’ordre des sommations ?

Les deux indices varient indépendamment sur un rectangle

Les deux indices doivent parcourir des intervalles identiques

L’interversion élimine les termes situés hors de la diagonale

Les deux indices sont liés par une inégalité triangulaire

Explication

Sur un rectangle, le choix de $i$ ne dépend pas de celui de $j$ , donc inverser l’ordre des sommes conserve le même ensemble de termes. Un triangle lie les indices, des bornes identiques ne sont pas requises, et l’interversion ne retire pas de termes.

Question 4

4. Dans une somme portant sur les couples d’entiers tels que $m\leq i\leq j\leq n$ , comment les bornes des indices se comportent-elles ?

Les indices sont indépendants et les deux sommes ont les mêmes bornes variables.

Les indices sont indépendants et les bornes de la somme intérieure restent fixes.

Les indices sont liés et les bornes de la somme extérieure dépendent de l’indice intérieur.

Les indices sont liés et les bornes de la somme intérieure dépendent de l’indice extérieur.

Explication

Dans ce domaine triangulaire, la condition $i\leq j$ lie les indices : les bornes intérieures varient avec l’indice extérieur. L’indépendance correspond au rectangle, et les deux autres erreurs inversent le rôle des indices ou confondent bornes fixes et variables.

Question 5

5. Pour sommer les termes $a_{ij}$ du triangle $2\leq i\leq j\leq 6$ ligne par ligne, quelle écriture convient ?

\sum_{i=2}^{6}\left(\sum_{j=2}^{6}a_{ij}\right)

\sum_{i=6}^{2}\left(\sum_{j=i}^{6}a_{ij}\right)

\sum_{j=2}^{6}\left(\sum_{i=2}^{j}a_{ij}\right)

\sum_{i=2}^{6}\left(\sum_{j=i}^{6}a_{ij}\right)

Explication

En sommant ligne par ligne, on fixe $i$ puis $j$ parcourt les valeurs de $i$ à 6. Une borne intérieure fixe reprend à tort celle d’un rectangle, la troisième écriture somme colonne par colonne, et la dernière inverse les bornes extérieures.

Question 6

6. Pour sommer les termes $a_{ij}$ du triangle $3\leq i\leq j\leq 7$ colonne par colonne, quelle écriture convient ?

\sum_{j=3}^{7}\left(\sum_{i=3}^{j}a_{ij}\right)

\sum_{j=3}^{7}\left(\sum_{i=3}^{7}a_{ij}\right)

\sum_{j=3}^{7}\left(\sum_{i=j}^{7}a_{ij}\right)

\sum_{i=3}^{7}\left(\sum_{j=i}^{7}a_{ij}\right)

Explication

Colonne par colonne, on fixe $j$ et l’indice $i$ va de 3 à $j$ , ce qui respecte $i\leq j$ . Une borne intérieure fixe inclurait des termes hors du triangle ; la troisième expression correspond aux lignes et la dernière inverse l’inégalité.

QCM : Sommes finies et doubles (6 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour un entier naturel positif $m=4$ , quelle est la valeur de la somme alternée $\sum_{k=1}^{2m}(-1)^k k^2$ ?

2. Pour calculer une somme alternée de carrés jusqu’à un indice pair, quelle démarche permet de la ramener aux formules usuelles ?

3. Une somme double porte sur toutes les paires $(i,j)$ telles que $2\leq i\leq5$ et $1\leq j\leq3$ . Pourquoi peut-on intervertir l’ordre des sommations ?

4. Dans une somme portant sur les couples d’entiers tels que $m\leq i\leq j\leq n$ , comment les bornes des indices se comportent-elles ?

5. Pour sommer les termes $a_{ij}$ du triangle $2\leq i\leq j\leq 6$ ligne par ligne, quelle écriture convient ?

6. Pour sommer les termes $a_{ij}$ du triangle $3\leq i\leq j\leq 7$ colonne par colonne, quelle écriture convient ?

Révisez avec les flashcards

Approfondir avec la fiche

Cours similaires

Facturation et accès à l’eau

Arbres à feuilles caduques

Divisions cellulaires et expression génétique

Les vingt acides aminés courants

Chromosomes et diversité génétique

Biochimie des glucides

Crée tes propres QCM

QCM : Sommes finies et doubles (6 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour un entier naturel positif m=4m=4m=4, quelle est la valeur de la somme alternée ∑k=12m(−1)kk2\sum_{k=1}^{2m}(-1)^k k^2∑k=12m​(−1)kk2 ?

2. Pour calculer une somme alternée de carrés jusqu’à un indice pair, quelle démarche permet de la ramener aux formules usuelles ?

3. Une somme double porte sur toutes les paires (i,j) (i,j) (i,j) telles que 2≤i≤52\leq i\leq52≤i≤5 et 1≤j≤31\leq j\leq31≤j≤3. Pourquoi peut-on intervertir l’ordre des sommations ?

4. Dans une somme portant sur les couples d’entiers tels que m≤i≤j≤nm\leq i\leq j\leq nm≤i≤j≤n, comment les bornes des indices se comportent-elles ?

5. Pour sommer les termes aija_{ij}aij​ du triangle 2≤i≤j≤62\leq i\leq j\leq 62≤i≤j≤6 ligne par ligne, quelle écriture convient ?

6. Pour sommer les termes aija_{ij}aij​ du triangle 3≤i≤j≤73\leq i\leq j\leq 73≤i≤j≤7 colonne par colonne, quelle écriture convient ?

Révisez avec les flashcards

Approfondir avec la fiche

Cours similaires

Facturation et accès à l’eau

Arbres à feuilles caduques

Divisions cellulaires et expression génétique

Les vingt acides aminés courants

Chromosomes et diversité génétique

Biochimie des glucides

Crée tes propres QCM

1. Pour un entier naturel positif $m=4$ , quelle est la valeur de la somme alternée $\sum_{k=1}^{2m}(-1)^k k^2$ ?

3. Une somme double porte sur toutes les paires $(i,j)$ telles que $2\leq i\leq5$ et $1\leq j\leq3$ . Pourquoi peut-on intervertir l’ordre des sommations ?

4. Dans une somme portant sur les couples d’entiers tels que $m\leq i\leq j\leq n$ , comment les bornes des indices se comportent-elles ?

5. Pour sommer les termes $a_{ij}$ du triangle $2\leq i\leq j\leq 6$ ligne par ligne, quelle écriture convient ?

6. Pour sommer les termes $a_{ij}$ du triangle $3\leq i\leq j\leq 7$ colonne par colonne, quelle écriture convient ?