Fiche de révision : Sous-espaces vectoriels et engendrement

📋 Plan du Cours

1. Vecteurs et opérations dans Kn
2. Combinaisons linéaires et espaces vectoriels
3. Définition des sous-espaces vectoriels
4. Intersection de sous-espaces vectoriels
5. Sous-espace engendré par une famille
6. Représentations d’un sous-espace vectoriel
7. Familles génératrices et libres
8. Bases et dimension des sous-espaces
9. Extraction d’une base génératrice
10. Coordonnées dans une base
11. Rang d’une famille de vecteurs

📖 1. Vecteurs et opérations dans Kn

🔑 Notions clés & Définitions

• Kn : Pour n entier naturel non nul et K égal à R ou C, Kn est l’ensemble des n-listes d’éléments de K, appelées vecteurs, tandis que les éléments de K sont des scalaires et que OKn = (0, 0, …, 0) est le vecteur nul.
• Addition de Kn : L’addition de Kn est définie terme à terme par (u1, …, un) + (v1, …, vn) = (u1 + v1, …, un + vn) ; elle est associative et commutative et admet OKn comme élément neutre.
• Multiplication par un scalaire : Pour λ ∈ K et u = (u1, …, un) ∈ Kn, λ ⋅ u est le vecteur (λu1, …, λun).

📝 Points essentiels

📌 Pour λ ∈ K et u ∈ Kn, λ ⋅ u = OKn si et seulement si λ = 0 ou u = OKn.

• La multiplication par un scalaire vérifie les distributivités (λ + μ) ⋅ u = λ ⋅ u + μ ⋅ u et λ ⋅ (u + v) = λ ⋅ u + λ ⋅ v, ainsi que λ ⋅ (μ ⋅ u) = (λμ) ⋅ u et 1 ⋅ u = u.

📖 2. Combinaisons linéaires et espaces vectoriels

🔑 Notions clés & Définitions

• Combinaison linéaire : Une combinaison linéaire de vecteurs u1, …, up de Kn est tout vecteur de la forme λ1 ⋅ u1 + ⋯ + λp ⋅ up, où λ1, …, λp sont des scalaires de K.
• K-espace vectoriel : L’ensemble Kn muni de l’addition et de la multiplication par un scalaire est un K-espace vectoriel.

📝 Points essentiels

• Dans C2, pour u = (1, i), v = (0, 1) et w = (1 + i, −2), a ⋅ u + b ⋅ v + c ⋅ w = (a + c + ic, ai + b − 2c) pour tous a, b, c ∈ C.

📖 3. Définition des sous-espaces vectoriels

🔑 Notions clés & Définitions

• Sous-espace vectoriel : Une partie E de Kn est un sous-espace vectoriel si elle contient OKn, est stable par addition et est stable par multiplication par tout scalaire de K.

📝 Points essentiels

📌 Les conditions de stabilité par addition et par multiplication scalaire peuvent être remplacées par la stabilité par combinaison linéaire de deux vecteurs de E ; la condition de contenir le vecteur nul peut alors être remplacée par le fait que E est non vide.

• Le singleton constitué du vecteur nul et l’espace Kn sont respectivement le plus petit et le plus grand sous-espace vectoriel de Kn pour l’inclusion.

• L’ensemble E = {(x,y) ∈ R² | x = 2y} est un sous-espace vectoriel de R², car ses éléments sont de la forme (2y,y) et restent de cette forme par combinaison linéaire.

• L’ensemble E = {(x,2x,3x) ∈ R³ | x ∈ R}, équivalent à l’ensemble défini par 2x − y = 3x − z = 0, est un sous-espace vectoriel de R³.

• L’ensemble des vecteurs (x,y,z) ∈ R³ tels que x + y + z = 0 est un sous-espace vectoriel de R³, car toute combinaison linéaire de deux vecteurs satisfaisant cette équation la satisfait encore.

📖 4. Intersection de sous-espaces vectoriels

★ À maîtriser

📌 L’intersection de deux sous-espaces vectoriels de Kn est un sous-espace vectoriel de Kn, car elle contient le vecteur nul et est stable par combinaison linéaire.

• La réunion de deux sous-espaces vectoriels n’est généralement pas stable par addition et n’est donc généralement pas un sous-espace vectoriel.

Compléments

• Dans R³, les sous-espaces E = {(x,y,z) | x = 0} et F = {(x,y,z) | y = 0} ont pour intersection {(x,y,z) | x = y = 0}, qui est un sous-espace vectoriel de R³.

• Dans R², les axes E = {(x,0) | x ∈ R} et F = {(0,y) | y ∈ R} ont une réunion qui n’est pas un sous-espace : (2,0) et (0,1) appartiennent à E ∪ F, mais leur somme (2,1) n’y appartient pas.

💡 Astuce mémo

L’intersection reste un sous-espace, mais la réunion peut ne pas l’être.

📖 5. Sous-espace engendré par une famille

🔑 Notions clés & Définitions

• Sous-espace engendré : Le sous-espace engendré par une famille (u₁,…,uₚ) de vecteurs de Kn, noté Vect(u₁,…,uₚ), est l’ensemble de toutes les combinaisons linéaires λ₁u₁ + ⋯ + λₚuₚ, où (λ₁,…,λₚ) ∈ Kᵖ.

★ À maîtriser

📌 Vect(u₁,…,uₚ) est le plus petit sous-espace vectoriel de Kn, pour l’inclusion, qui contient tous les vecteurs u₁,…,uₚ.

Compléments

• Le sous-espace engendré par la famille vide ou par le seul vecteur nul est le singleton {0Kn}.

• Si u est un vecteur non nul, Vect(u) = {λu | λ ∈ K} est la droite vectorielle engendrée par u.

• Si u et v sont deux vecteurs non colinéaires, Vect(u,v) = {λu + μv | (λ,μ) ∈ K²} est le plan vectoriel qu’ils engendrent.

💡 Astuce mémo

Une famille de vecteurs déploie toutes ses combinaisons linéaires, comme un éventail.

📖 6. Représentations d’un sous-espace vectoriel

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation cartésienne : Une équation cartésienne d’un sous-espace de Kn est une équation linéaire de la forme a₁x₁ + ⋯ + aₙxₙ = 0, où les inconnues (x₁,…,xₙ) appartiennent à Kn et les paramètres (a₁,…,aₙ) appartiennent à Kn.
• Paramétrisation : Une paramétrisation décrit un ensemble de vecteurs dont les coordonnées sont des combinaisons linéaires d’un ou plusieurs paramètres parcourant K.

★ À maîtriser

• Un sous-espace vectoriel de Kn peut être représenté par des équations cartésiennes, par une paramétrisation ou par une famille génératrice.

• Pour passer d’équations cartésiennes à une paramétrisation, on résout le système formé par les équations, on choisit certaines inconnues comme paramètres, puis on exprime les autres inconnues en fonction de ceux-ci.

• Pour passer d’une paramétrisation à une famille génératrice, on décompose le vecteur en une combinaison linéaire dont les coefficients sont les paramètres ; les vecteurs de cette combinaison forment la famille génératrice.

• Pour obtenir les équations cartésiennes à partir d’une famille génératrice ou d’une paramétrisation, on écrit l’appartenance sous forme d’un système dont les coefficients de la combinaison ou les paramètres sont les inconnues et les composantes du vecteur sont les paramètres ; les équations auxiliaires de compatibilité donnent les équations cartésiennes.

Compléments

• Une famille génératrice représente un sous-espace comme l’ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs de cette famille.

• Un même sous-espace vectoriel possède une infinité de représentations par équations cartésiennes, paramétrisation ou famille génératrice.

• Pour passer d’une famille génératrice à une paramétrisation, on prend les coefficients de la combinaison linéaire comme paramètres.

• Dans ℝ³, le sous-espace engendré par (0, −1, 1) admet pour équations cartésiennes x = 0 et y + z = 0.

📖 7. Familles génératrices et libres

🔑 Notions clés & Définitions

• Famille génératrice : Une famille de vecteurs u₁, …, uₚ est génératrice d’un sous-espace vectoriel E si E = Vect(u₁, …, uₚ).
• Famille libre : Une famille u₁, …, uₚ est libre si toute combinaison linéaire nulle de ses vecteurs a tous ses coefficients nuls ; sinon, elle est liée.

★ À maîtriser

• Une famille d’un seul vecteur $u$ est libre si et seulement si $u\neq 0$.

• Une famille est liée si et seulement si l’un de ses vecteurs est combinaison linéaire des autres.

• Toute sous-famille d’une famille libre est libre, et toute famille contenant une sous-famille liée est liée.

• Toute famille de vecteurs de E qui contient une sous-famille génératrice de E est elle-même génératrice de E ; en particulier, ajouter des vecteurs de E à une famille génératrice conserve son caractère générateur.

Compléments

• La famille canonique de vecteurs de $K^n$, composée de $e_1=(1{,}0,\ldots,0),\ldots,e_n=(0,\ldots,0{,}1)$, est libre.

• La famille de deux vecteurs colinéaires $(u,\lambda u)$ est liée, y compris lorsque $\lambda=0$.

• La famille $(u,v,u+v)$ est liée, car $u+v-(u+v)=0$ est une combinaison linéaire non triviale de ses vecteurs.

• Toute famille libre ne contient pas le vecteur nul, et toute famille contenant deux vecteurs colinéaires est liée.

• Les vecteurs canoniques e₁ = (1, 0, …, 0), …, eₙ = (0, 0, …, 1) engendrent Kⁿ, car tout vecteur de Kⁿ est une combinaison linéaire de ces vecteurs.

• La famille des vecteurs canoniques e₁, …, eₙ de Kⁿ est libre.

💡 Astuce mémo

Génératrice : tout vecteur est atteint ; libre : seule la combinaison nulle donne zéro.

📖 8. Bases et dimension des sous-espaces

🔑 Notions clés & Définitions

• Base : Une famille de vecteurs à la fois libre et génératrice de $E$.
• Dimension : Le nombre de vecteurs d’une base de $E$, noté $\dim(E)$.

★ À maîtriser

• Tout sous-espace vectoriel $E$ de $K^n$ admet des bases, et toutes ses bases ont le même cardinal.

• Toute famille génératrice d’un sous-espace vectoriel de dimension $p$ contient une sous-famille qui en est une base et possède au moins $p$ vecteurs; si elle en possède exactement $p$, elle est une base.

Compléments

• La famille canonique $(e_1,\ldots,e_n)$ est une base de $K^n$.

• Le sous-espace réduit au vecteur nul a pour base la famille vide et pour dimension $0$; une droite vectorielle a dimension $1$, un plan vectoriel a dimension $2$, et $\dim(K^n)=n$.

📖 9. Extraction d’une base génératrice

★ À maîtriser

• Les propriétés d’une famille libre F dans E sont les suivantes :
  • F peut être complétée en une base de E
  • F possède au plus p vecteurs
  • Si F possède p vecteurs, elle est une base de E

📌 Si E et F sont deux sous-espaces vectoriels de Kⁿ et E ⊂ F, alors dim(E) ≤ dim(F) ; si de plus dim(E) = dim(F), alors E = F.

• Les vecteurs (1, 0, 1) et (3, 1, 1) sont linéairement indépendants ; ils forment donc une base de E et dim(E) = 2.

Compléments

• Le système homogène obtenu pour $(1{,}0{,}1)$, $(3{,}1{,}1)$ et $(1,-1{,}3)$ se réduit à $a+3b+c=0$ et $b-c=0$ et n’est pas de Cramer; il admet donc une infinité de triplets solutions.

• Dans l’exemple de l’espace engendré par (1, 0, 1), (3, 1, 1) et (1, −1, 3), la relation (1, −1, 3) = 4(1, 0, 1) − (3, 1, 1) montre que les trois vecteurs sont liés et que les deux premiers engendrent E.

• Pour extraire une base d’une famille génératrice, on élimine les vecteurs qui sont combinaisons linéaires des autres, puis on vérifie que les vecteurs conservés forment une famille libre.

• Dans $E=\operatorname{Vect}((1{,}0),(0,-1),(1{,}1))$, on a $(1{,}1)=(1{,}0)-(0,-1)$, donc $E=\operatorname{Vect}((1{,}0),(0,-1))$; ces deux vecteurs non colinéaires forment une base de $E$ et $\dim(E)=2$.

• Pour tester la liberté de trois vecteurs de $K^3$, on égalise à $(0{,}0{,}0)$ leur combinaison linéaire de coefficients $(a,b,c)$, ce qui donne ici le système $a+3b+c=0$, $b-c=0$ et $a+b+3c=0$.

📖 10. Coordonnées dans une base

🔑 Notions clés & Définitions

• Coordonnées dans une base : Les coordonnées d’un vecteur u dans une base B = (e₁, …, eₚ) de E sont les uniques scalaires (x₁, …, xₚ) tels que u = x₁e₁ + ⋯ + xₚeₚ.
• Matrice colonne de coordonnées : La matrice colonne de coordonnées de u dans la base B = (e₁, …, eₚ) est Mat_B(u) = (u₁, …, uₚ)ᵀ, où u₁, …, uₚ sont les coordonnées de u dans B.
• Matrice des coordonnées d’une famille : La matrice des coordonnées de (u₁, …, u_q) dans B a pour jᵉ colonne la matrice colonne des coordonnées de uⱼ dans B.

★ À maîtriser

📌 L’application de coordonnées est linéaire : Mat_B(u + v) = Mat_B(u) + Mat_B(v) et Mat_B(λu) = λ Mat_B(u).

Compléments

📌 Changer l’ordre des vecteurs de la base intervertit les coordonnées du vecteur et les lignes correspondantes de sa matrice de coordonnées.

• Dans une base de E, la propriété génératrice assure que tout vecteur de E s’écrit comme combinaison linéaire des vecteurs de la base, et la liberté assure que cette écriture est unique.

• Dans la base canonique de Kⁿ, le vecteur (x₁, x₂, …, xₙ) a pour coordonnées ses composantes x₁, x₂, …, xₙ.

• Dans K₂[X], la base canonique (1, X, X²) donne au polynôme P = a + bX + cX² les coordonnées (a, b, c).

• La matrice colonne de coordonnées de u dans une base de E possède autant de lignes que la dimension de E.

• La famille ((1, 1), (1, −1)) est une base de ℝ², car elle est libre et contient deux vecteurs dans un espace de dimension 2.

• Dans la base B = ((1, 1), (1, −1)), les coordonnées de (x, y) sont ((x + y)/2, (x − y)/2).

💡 Astuce mémo

La famille génératrice donne l’existence ; la famille libre garantit l’unicité.

📖 11. Rang d’une famille de vecteurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Rang d’une famille : Le rang d’une famille de vecteurs est la dimension du sous-espace vectoriel qu’elle engendre.

★ À maîtriser

📌 Une famille de q vecteurs est libre si et seulement si son rang vaut q, tandis qu’elle est génératrice de E si et seulement si son rang vaut dim(E).

📌 Pour une famille de q vecteurs dans E, son rang est inférieur ou égal à q et à dim(E).

Compléments

📌 Le rang d’une famille de vecteurs de Kⁿ est égal au rang de sa matrice de coordonnées dans une base de Kⁿ.

• Pour tester si une famille est libre ou génératrice, on forme sa matrice de coordonnées dans une base, puis on calcule son rang ; la famille est libre si ce rang égale son nombre de vecteurs et génératrice si ce rang égale la dimension du sous-espace.