Fiche de révision : Ensembles et nombres

📋 Plan du Cours

1. Écriture et appartenance aux ensembles
2. Cardinal et ensembles de nombres
3. Notation en compréhension
4. Nombres rationnels et irrationnels
5. Univers et ensemble vide
6. Inclusion et égalité des ensembles

📖 1. Écriture et appartenance aux ensembles

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble : Collection d’objets dont chaque membre est appelé un élément.

★ À maîtriser

• Un ensemble est désigné par une lettre majuscule et ses éléments sont écrits entre accolades ; il peut être décrit par des mots ou par une liste de ses éléments.

📌 Le symbole ∈ signifie « est un élément de », tandis que ∉ signifie « n’est pas un élément de ».

Compléments

• L’ordre des éléments dans un ensemble est sans importance, ainsi {a, e, i, o, u} et {e, o, u, i, a} désignent le même ensemble.

📖 2. Cardinal et ensembles de nombres

🔑 Notions clés & Définitions

• Cardinal : Nombre d’éléments de A.

★ À maîtriser

• Les nombres naturels sont notés ℕ = {0, 1, 2, 3, …}, les entiers relatifs ℤ = {…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …} et les entiers relatifs positifs ℤ+ = {1, 2, 3, …}.

Compléments

📌 Un ensemble A est fini si son cardinal n(A) est un nombre réel.

• Les ensembles ℕ, ℤ et ℤ+ sont infinis car ils contiennent un nombre infini d’éléments.

📖 3. Notation en compréhension

🔑 Notions clés & Définitions

• Notation en compréhension : Description d’un ensemble entre accolades au moyen d’une variable, d’une barre verticale et des restrictions imposées à cette variable ; elle convient aux ensembles finis ou infinis.

📝 Points essentiels

• L’ensemble {1, 2, 3, …, 9} est l’ensemble des nombres naturels x tels que 1 ≤ x ≤ 9, et, pour les nombres naturels, cette condition équivaut à 0 < x < 10.

📖 4. Nombres rationnels et irrationnels

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre rationnel : Peut s’écrire sous la forme $\frac{p}{q}$, où p et q sont des entiers et q ≠ 0.
• Nombre irrationnel : Ne peut pas s’écrire sous forme rationnelle.

📝 Points essentiels

• Les racines de 2 et de 7 ainsi que π, égal à 3.14159265…, sont des exemples de nombres irrationnels.

• Les décimaux non récurrents et les nombres comme 0.12233344445… sont irrationnels.

💡 Astuce mémo

Rationnel : fraction d’entiers ; irrationnel : impossible à écrire ainsi.

📖 5. Univers et ensemble vide

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble universel : Contient tous les ensembles considérés dans un contexte donné.
• Ensemble vide : Ne contient aucun élément et son cardinal est n(∅) = 0.

📝 Points essentiels

• Les ensembles constitués à partir des éléments de U, y compris ∅ et U lui-même, sont des sous-ensembles de U.

💡 Astuce mémo

U contient tout le cadre étudié ; ∅ ne contient aucun élément.

📖 6. Inclusion et égalité des ensembles

🔑 Notions clés & Définitions

• Sous-ensemble : A est un sous-ensemble de B si chaque élément de A appartient aussi à B.
• Sous-ensemble propre : A est inclus dans B et A et B ne sont pas égaux.

★ À maîtriser

• L’ensemble vide est un sous-ensemble de tout ensemble et chaque ensemble est un sous-ensemble de lui-même.

Compléments

📌 Deux ensembles sont égaux s’ils contiennent exactement les mêmes éléments ; dans ce cas, chacun est un sous-ensemble impropre de l’autre et la notation ⊆ s’emploie.

• Pour E = {x | x² = 1} et F = {−1, 1}, E ⊆ F et F ⊆ E, donc E = F.

💡 Astuce mémo

⊆ autorise l’égalité ; ⊂ l’exclut.