Flashcards : Sous-espaces vectoriels et engendrement (80 cartes)

Que désigne $K^n$ lorsque $n$ est non nul et $K=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ ?

Comment appelle-t-on les éléments de $K$ dans $K^n$ ?

Quel est le vecteur nul de $K^n$ ?

Comment définit-on l’addition dans $K^n$ ?

Quelles propriétés possède l’addition dans $K^n$ ?

Comment définit-on le produit d’un scalaire $\lambda$ par un vecteur $u$ dans $K^n$ ?

Qu’est-ce qu’une combinaison linéaire de vecteurs de $K^n$ ?

Quelle structure forme $K^n$ avec l’addition et la multiplication scalaire ?

Quelles conditions définissent un sous-espace vectoriel de $K^n$ ?

Que garantit l’intersection de deux sous-espaces vectoriels de $K^n$ ?

Pourquoi l’intersection de deux sous-espaces vectoriels de $K^n$ est-elle non vide ?

Quelle propriété de stabilité possède l’intersection de deux sous-espaces vectoriels de $K^n$ ?

Quel est le statut général de la réunion de deux sous-espaces vectoriels ?

Comment définit-on $\operatorname{Vect}(u_1,\ldots,u_p)$ pour une famille de vecteurs de $K^n$ ?

Quel est le plus petit sous-espace vectoriel de $K^n$ contenant $u_1,\ldots,u_p$ ?

Quelles représentations peut-on utiliser pour un sous-espace vectoriel de $K^n$ ?

Quelle première opération permet de paramétrer un sous-espace défini par des équations cartésiennes ?

Comment obtenir une famille génératrice à partir d’une paramétrisation ?

Que donnent les équations auxiliaires de compatibilité lors du passage aux équations cartésiennes ?

Quand une famille de vecteurs engendre-t-elle un sous-espace vectoriel E ?

Que devient le caractère générateur après ajout de vecteurs de E ?

Quand une famille $u_1,\ldots,u_p$ est-elle libre ?

À quelle condition la famille réduite à $u$ est-elle libre ?

Quelles propriétés caractérisent une base d’un sous-espace vectoriel $E$ ?

Que peut-on affirmer des bases d’un sous-espace vectoriel $E$ de $K^n$ ?

Comment se définit la dimension d’un sous-espace vectoriel $E$ ?

Combien de vecteurs au minimum contient une famille génératrice d’un espace de dimension $p$ ?

Quelle est la dimension de l’espace engendré par $(1,0,1)$ et $(3,1,1)$ ?

Combien de vecteurs au maximum une famille libre de $E$ peut-elle contenir si $\dim(E)=p$ ?

Que peut-on conclure si $E\subset F$ et $\dim(E)=\dim(F)$ ?

Que représentent les coordonnées de $u$ dans la base $B=(e_1,\ldots,e_p)$ ?

Comment s’écrit la matrice colonne des coordonnées de $u$ dans $B=(e_1,\ldots,e_p)$ ?

À quoi correspond le rang d’une famille de vecteurs ?

Quelles bornes limitent le rang d’une famille de $q$ vecteurs dans $E$ ?

À quelle condition une famille de $q$ vecteurs est-elle libre ?

À quelle condition une famille de vecteurs est-elle génératrice de $E$ ?

Quelle distributivité relie $\lambda+\mu$ et un vecteur $u$ ?

Pour quels cas λ ⋅ u est-il égal au vecteur nul dans Kⁿ ?

Dans $\mathbb{C}^2$, que vaut $au+bv+cw$ pour les vecteurs de l’exemple ?

Quelle stabilité peut remplacer l’addition et la multiplication scalaire pour définir un sous-espace vectoriel ?

Quelle condition peut remplacer la présence du vecteur nul avec le critère de combinaison linéaire ?

Quel est le plus petit sous-espace vectoriel de $K^n$ pour l’inclusion ?

Quel est le plus grand sous-espace vectoriel de $K^n$ pour l’inclusion ?

Pourquoi l’ensemble des $(x,y)$ tels que $x=2y$ est-il un sous-espace de $\mathbb{R}^2$ ?

Quel ensemble de $\mathbb{R}^3$ défini par $2x-y=3x-z=0$ est un sous-espace vectoriel ?

Pourquoi les vecteurs de $\mathbb{R}^3$ vérifiant $x+y+z=0$ forment-ils un sous-espace ?

Dans $\mathbb{R}^3$, quelles équations définissent l’intersection de $E=\{(x,y,z)\mid x=0\}$ et $F=\{(x,y,z)\mid y=0\}$ ?

Dans $\mathbb{R}^3$, quel sous-espace est l’intersection des plans $x=0$ et $y=0$ ?

Dans $\mathbb{R}^2$, pourquoi la réunion des axes n’est-elle pas stable par addition ?

Quel est le sous-espace engendré par la famille vide ?

Quel est le sous-espace engendré par le seul vecteur nul ?

Quelle est la nature de $\operatorname{Vect}(u)$ lorsque $u$ est non nul ?

Comment s’écrit $\operatorname{Vect}(u)$ lorsque $u$ est non nul ?

Quelle est la nature de $\operatorname{Vect}(u,v)$ lorsque $u$ et $v$ sont non colinéaires ?

Comment s’écrit $\operatorname{Vect}(u,v)$ pour deux vecteurs non colinéaires ?

Quelle forme prend une équation cartésienne d’un sous-espace de $K^n$ ?

Que décrit une paramétrisation d’un ensemble de vecteurs ?

Que choisit-on comme paramètres pour passer d’une famille génératrice à une paramétrisation ?

Quel espace les vecteurs canoniques engendrent-ils dans $\mathbb{K}^n$ ?

La famille canonique de $\mathbb{K}^n$ est-elle libre ?

Que peut-on conclure de la famille $(u,\lambda u)$ ?

Quelle famille est une base de $K^n$ ?

Quelle est la dimension du sous-espace réduit au vecteur nul ?

Quelles sont les dimensions d’une droite et d’un plan vectoriels ?

Quelle est la dimension de $K^n$ ?

Comment extraire une base d’une famille génératrice ?

Dans l’espace engendré par $(1,0),(0,-1),(1,1)$, quel vecteur peut-on éliminer ?

Dans l’exemple de $K^3$, quelle équation exprime l’égalité de la première coordonnée à zéro ?

Combien de triplets solutions possède le système réduit de l’exemple ?

Quelle relation lie les trois vecteurs de l’exemple de $E$ ?

Quelles propriétés d’une base garantissent l’existence et l’unicité d’une décomposition ?

Quelles sont les coordonnées de $(x_1,\ldots,x_n)$ dans la base canonique de $\mathbb{K}^n$ ?

Pourquoi $((1,1),(1,-1))$ est-elle une base de $\mathbb{R}^2$ ?

Quelles sont les coordonnées de $(x,y)$ dans la base $((1,1),(1,-1))$ ?

Quelles sont les coordonnées de $P=a+bX+cX^2$ dans la base canonique de $\mathbb{K}_2[X]$ ?

Combien de lignes possède la matrice colonne des coordonnées d’un vecteur dans une base de $E$ ?

Comment comparer le rang d’une famille de vecteurs de $K^n$ au rang de sa matrice de coordonnées ?

Quelle matrice forme-t-on pour tester si une famille de vecteurs est libre ou génératrice ?

Quel critère de rang détermine si une famille est libre ?

Quel critère de rang détermine si une famille est génératrice du sous-espace considéré ?