QCM : Sous-espaces vectoriels et engendrement (30 questions)

Question 1

1. Dans $\mathbb{C}^3$ , comment s’appelle $(2-i, 0, 4)$ et quel est l’ensemble auquel appartiennent ses coordonnées ?

Un scalaire de

\mathbb{C}

, dont les coordonnées appartiennent à

\mathbb{C}^3

Un vecteur de

\mathbb{C}

, dont les coordonnées appartiennent à

\mathbb{C}^3

Un vecteur de

\mathbb{C}^3

, dont les coordonnées appartiennent à

\mathbb{C}

Le vecteur nul de

\mathbb{C}^3

, dont les coordonnées sont toutes nulles

Explication

Les éléments de $\mathbb{C}^3$ sont des 3-listes complexes appelées vecteurs, tandis que leurs coordonnées sont des éléments de $\mathbb{C}$ , les scalaires. L’erreur « scalaire » confond les deux types d’objets, « vecteur de $\mathbb{C}$ » inverse les ensembles, et « vecteur nul » méconnaît les coordonnées données.

Answer

Un vecteur de $$\mathbb{C}^3$$, dont les coordonnées appartiennent à $$\mathbb{C}$$

Question 2

2. Pour $u=(3,-2,1)$ et $v=(-1,4,5)$ dans $\mathbb{R}^3$ , quel est le résultat de leur addition ?

(2,2,6)

(4,6,4)

(8,2,0)

(2,-6,-4)

Explication

L’addition dans $\mathbb{R}^3$ se fait terme à terme : $(3+(-1),-2+4,1+5)=(2,2,6)$ . Le résultat $(4,6,4)$ vient de valeurs absolues, $(2,-6,-4)$ d’une soustraction, et $(8,2,0)$ d’un décalage des coordonnées.

Answer

$$(2,2,6)$$

Question 3

3. Si $u=(2,-3,0)$ et que l’on multiplie ce vecteur par le scalaire $-2$ , quel vecteur obtient-on ?

(-4,6,0)

(0,-5,-2)

(-2,3,0)

(-4,-3,0)

Explication

La multiplication par un scalaire agit sur chaque coordonnée : $-2(2,-3,0)=(-4,6,0)$ . $(-4,-3,0)$ ne modifie que la première coordonnée, $(0,-5,-2)$ correspond à une addition, et $(-2,3,0)$ oublie le facteur 2.

Answer

$$(-4,6,0)$$

Question 4

4. Dans $\mathbb{R}^2$ , on forme le vecteur $3u-2v$ à partir de $u=(1,2)$ et $v=(2,-1)$ . Quel calcul décrit bien une combinaison linéaire de ces vecteurs et donne son résultat ?

3u+(-2)v=(-1,8)

u+v=(3,1)

3u+2v=(7,4)

3(u+v)=(9,3)

Explication

Une combinaison linéaire associe à chaque vecteur un coefficient scalaire : $3u-2v=(3,-2)- (4,-2)=(-1,8)$ . $u+v$ omet les coefficients, $3u+2v$ inverse le signe de celui de $v$ , et $3(u+v)$ applique un même coefficient aux deux vecteurs.

Answer

$$3u+(-2)v=(-1,8)$$

Question 5

5. Quel énoncé caractérise $\mathbb{R}^4$ comme espace vectoriel sur $\mathbb{R}$ ?

Il est constitué de scalaires réels muni de deux opérations scalaires

Il est muni de l’addition et de la multiplication par un scalaire réel

Il est muni de l’addition réelle et de la multiplication par un scalaire complexe

Il est muni de l’addition réelle sans loi de multiplication par un scalaire

Explication

Un $K$ -espace vectoriel est un ensemble muni d’une addition et d’une multiplication par des scalaires de $K$ ; ainsi $\mathbb{R}^4$ muni de ces opérations est un espace vectoriel sur $\mathbb{R}$ . L’option « scalaire complexe » change le corps, « scalaires réels » confond vecteurs et scalaires, et l’absence de multiplication par un scalaire omet une opération constitutive.

Answer

Il est muni de l’addition et de la multiplication par un scalaire réel

Question 6

6. Un ensemble E de vecteurs de $\mathbb{R}^3$ contient le vecteur nul, et la somme de deux de ses vecteurs ainsi que tout multiple scalaire de chacun de ses vecteurs appartiennent à E. Quelle conclusion s’impose ?

E est un sous-espace seulement s’il est égal à

\mathbb{R}^3

E n’est pas un sous-espace sans être de dimension trois

E est seulement stable par combinaison de deux vecteurs

E est un sous-espace vectoriel de

\mathbb{R}^3

Explication

Contenir le vecteur nul et être stable par addition et par multiplication scalaire sont les conditions définissant un sous-espace vectoriel. La stabilité par combinaison de deux vecteurs ne remplace pas à elle seule le critère complet sans l’hypothèse de non-vacuité.

Answer

E est un sous-espace vectoriel de $$\mathbb{R}^3$$

Question 7

7. Un ensemble non vide E de $\mathbb{R}^2$ est tel que, pour tous $u,v\in E$ et tous réels $\lambda,\mu$ , le vecteur $\lambda u+\mu v$ appartient à E. Quel critère permet de conclure qu'E est un sous-espace vectoriel ?

La stabilité par combinaison linéaire avec des coefficients égaux

La non-vacuité et la stabilité par multiplication par un réel positif

La non-vacuité et la stabilité par combinaison linéaire de deux vecteurs

La seule stabilité par addition de deux vecteurs

Explication

Pour un ensemble non vide, la stabilité par combinaison linéaire de deux vecteurs regroupe la stabilité par addition et par multiplication scalaire, ce qui suffit à établir qu’il s’agit d’un sous-espace. La stabilité avec des coefficients égaux ou positifs est trop restrictive pour exprimer ce critère.

Answer

La non-vacuité et la stabilité par combinaison linéaire de deux vecteurs

Question 8

8. Dans $\mathbb{R}^3$ , deux sous-espaces vectoriels A et B sont donnés. Quel statut possède leur intersection A ∩ B ?

Un ensemble qui peut ne pas contenir le vecteur nul

Un sous-espace vectoriel de

\mathbb{R}^3

Un sous-espace seulement si A et B sont égaux

Un ensemble généralement non stable par addition

Explication

L’intersection contient le vecteur nul commun aux deux sous-espaces et reste stable par combinaison linéaire; elle est donc un sous-espace. L’idée que l’opération échoue généralement concerne la réunion, non l’intersection.

Answer

Un sous-espace vectoriel de $$\mathbb{R}^3$$

Question 9

9. Dans $\mathbb{R}^2$ , soit A l’axe horizontal et B l’axe vertical. Pourquoi leur réunion n’est-elle pas un sous-espace vectoriel ?

Les deux axes ne sont pas eux-mêmes des sous-espaces

La réunion ne contient pas le vecteur nul des deux axes

La somme d’un vecteur non nul de chaque axe peut sortir de la réunion

Un multiple scalaire d’un vecteur de la réunion sort des axes

Explication

Par exemple, $(2,0)$ et $(0,1)$ appartiennent à la réunion, mais leur somme $(2,1)$ n’appartient à aucun des deux axes; la réunion n’est donc pas stable par addition. Le vecteur nul appartient bien aux deux axes, et chacun est un sous-espace à part entière.

Answer

La somme d’un vecteur non nul de chaque axe peut sortir de la réunion

Question 10

10. Pour deux vecteurs fixés $u$ et $v$ de $K^n$ , quel ensemble constitue $\mathrm{Vect}(u,v)$ ?

Les vecteurs

\lambda u+\mu v

, avec

\lambda,\mu\in K

Les couples

(\lambda,\mu)\in K^2

, considérés comme vecteurs de

K^n

Les vecteurs

\lambda u+\mu v

, avec

\lambda,\mu\in K\setminus\{0\}

Les vecteurs

\lambda u+\lambda v

, avec

\lambda\in K

Explication

Le sous-espace engendré est l’ensemble de toutes les combinaisons linéaires des vecteurs de la famille, les coefficients pouvant prendre toutes les valeurs de $K$ . L’option des couples confond coefficients et vecteurs engendrés, celle des coefficients non nuls exclut à tort des combinaisons, et celle des coefficients égaux restreint les combinaisons possibles.

Answer

Les vecteurs $$\lambda u+\mu v$$, avec $$\lambda,\mu\in K$$

Question 11

11. Un sous-espace vectoriel $F$ de $K^n$ contient les vecteurs $u_1,\ldots,u_p$ . Quelle relation doit-on alors avoir entre $\mathrm{Vect}(u_1,\ldots,u_p)$ et $F$ ?

F\cap\mathrm{Vect}(u_1,\ldots,u_p)=\{0\}

F=\mathrm{Vect}(u_1,\ldots,u_p)

\mathrm{Vect}(u_1,\ldots,u_p)\subseteq F

F\subseteq\mathrm{Vect}(u_1,\ldots,u_p)

Explication

Tout sous-espace contenant les vecteurs générateurs contient aussi toutes leurs combinaisons linéaires; le sous-espace engendré est donc inclus dans $F$ . L’inclusion inverse renverse la relation, l’égalité suppose que $F$ n’a pas d’autres vecteurs, et l’intersection réduite à zéro contredit l’inclusion des générateurs.

Answer

$$\mathrm{Vect}(u_1,\ldots,u_p)\subseteq F$$

Question 12

12. Dans $\mathbb{R}^3$ , un sous-espace est défini par $x+y+z=0$ et $x-y=0$ . En choisissant $z=t$ comme paramètre, quelle paramétrisation obtient-on ?

(x,y,z)=(-t,t,t)

, avec

t\in\mathbb{R}

(x,y,z)=(t,t,t)

, avec

t\in\mathbb{R}

(x,y,z)=(-t,-t,t)

, avec

t\in\mathbb{R}

(x,y,z)=(s,s,t)

, avec

s,t\in\mathbb{R}

Explication

De $x-y=0$ , on obtient $x=y$ ; en remplaçant dans $x+y+z=0$ et en posant $z=t$ , on trouve $x=y=-t$ . L’option $(t,t,t)$ ne satisfait généralement pas la première équation, $(-t,t,t)$ ne satisfait pas la seconde, et l’option à deux paramètres ne résout pas les contraintes.

Answer

$$(x,y,z)=(-t,-t,t)$$, avec $$t\in\mathbb{R}$$

Question 13

13. Un sous-espace de $\mathbb{R}^3$ est paramétré par les vecteurs $(2s,-s,3s)$ , où $s\in\mathbb{R}$ . Quelle famille génératrice obtient-on en regroupant les coordonnées selon le paramètre ?

\{(2,-1,3)\}

\{(2s,-s,3s)\}

\{(2,1,3)\}

\{(2,-1,3),(0,0,0)\}

Explication

On factorise le paramètre : $(2s,-s,3s)=s(2,-1,3)$ , donc le vecteur fixe de la combinaison linéaire est $(2,-1,3)$ . Garder les coordonnées dépendantes de $s$ ne donne pas une famille fixe, ajouter le vecteur nul ne change pas la factorisation, et changer le signe produit un autre vecteur.

Answer

$$\{(2,-1,3)\}$$

Question 14

14. Pour trouver des équations cartésiennes à partir d’une famille génératrice, quelle démarche permet d’éliminer les coefficients de combinaison linéaire ?

Attribuer une valeur fixe à chaque coefficient et calculer un vecteur de la famille

Décomposer le vecteur en fonction de paramètres et conserver ces paramètres comme équations

Résoudre le système en choisissant les composantes du vecteur comme inconnues auxiliaires

Écrire l’appartenance comme un système, puis imposer les compatibilités entre ses équations

Explication

On exprime l’appartenance par un système où les coefficients de la combinaison sont les inconnues auxiliaires et les composantes du vecteur sont données; les conditions de compatibilité fournissent les équations cartésiennes. Utiliser les composantes comme inconnues inverse leurs rôles, conserver les paramètres conduit à une paramétrisation, et fixer les coefficients ne décrit qu’un vecteur particulier.

Answer

Écrire l’appartenance comme un système, puis imposer les compatibilités entre ses équations

Question 15

15. Une famille de vecteurs $u_1,\ldots,u_p$ engendre un sous-espace $E$ dans quel cas ?

Lorsque la famille

u_1,\ldots,u_p

est libre

Lorsque

E=\{u_1,\ldots,u_p\}

Lorsque

E=\operatorname{Vect}(u_1,\ldots,u_p)

Lorsque

E\subseteq\operatorname{Vect}(u_1,\ldots,u_p)

Explication

Une famille est génératrice de $E$ lorsque l’ensemble de ses combinaisons linéaires est exactement $E$ . L’inclusion seule ne garantit pas l’égalité, la liberté est une propriété distincte, et la famille n’est pas nécessairement l’ensemble de ses propres combinaisons linéaires.

Answer

Lorsque $$E=\operatorname{Vect}(u_1,\ldots,u_p)$$

Question 16

16. Dans un sous-espace $E$ , une famille $F$ engendre déjà $E$ . On lui ajoute des vecteurs appartenant tous à $E$ ; quelle est la conséquence ?

La famille augmentée engendre un sous-espace contenant strictement

E

La famille augmentée devient nécessairement libre

La famille augmentée cesse d’engendrer

E

La famille augmentée engendre encore

E

Explication

La famille augmentée contient toujours la famille génératrice initiale et ses nouveaux vecteurs sont dans $E$ ; elle engendre donc encore $E$ . La perte de génération, la liberté automatique et l’agrandissement strict du sous-espace sont des conclusions injustifiées.

Answer

La famille augmentée engendre encore $$E$$

Question 17

17. Pour établir qu’une famille $u_1,\ldots,u_p$ est libre, que doit-on vérifier pour toute relation $\lambda_1u_1+\cdots+\lambda_pu_p=0$ ?

Que tous les vecteurs

u_i

soient non nuls

Qu’au moins un coefficient

\lambda_i

soit non nul

Que tous les coefficients

\lambda_i

soient nuls

Que les vecteurs engendrent l’espace considéré

Explication

Une famille est libre si toute combinaison linéaire nulle impose que chacun de ses coefficients soit nul. Une relation non triviale caractérise au contraire une famille liée ; la non-nullité des vecteurs ou la génération ne constitue pas à elle seule le critère de liberté.

Answer

Que tous les coefficients $$\lambda_i$$ soient nuls

Question 18

18. Dans un espace vectoriel, une famille réduite au vecteur $u=(0,0)$ est-elle libre ou liée ?

Elle est libre, car le vecteur nul engendre son espace

Elle est libre, car elle ne contient qu’un vecteur

Elle est liée, car elle contient plusieurs vecteurs colinéaires

Elle est liée, car son unique vecteur est nul

Explication

Une famille formée d’un seul vecteur est libre si et seulement si ce vecteur est non nul ; le vecteur nul seul forme donc une famille liée. Le nombre d’éléments de la famille ne suffit pas à garantir la liberté, et la génération ne change pas ce critère.

Answer

Elle est liée, car son unique vecteur est nul

Question 19

19. Dans un sous-espace vectoriel $E$ , quelle propriété caractérise une base ?

Être génératrice de

E

, sans condition de liberté

Être libre et génératrice de l’espace ambiant

Être libre, sans condition de génération de

E

Être à la fois libre et génératrice de

E

Explication

Une base de $E$ est une famille qui est simultanément libre et génératrice de $E$ . La génération seule ou la liberté seule ne suffit pas, et il n’est pas nécessaire que la famille engendre l’espace ambiant.

Answer

Être à la fois libre et génératrice de $$E$$

Question 20

20. Deux familles sont toutes deux des bases du même sous-espace $E$ . Que peut-on conclure sur leur nombre de vecteurs ?

Elles ont des nombres de vecteurs nécessairement différents

Elles sont constituées des mêmes vecteurs

Elles ont le même nombre de vecteurs que l’espace ambiant

Elles ont le même nombre de vecteurs

Explication

Toutes les bases d’un même sous-espace ont le même cardinal. Ce cardinal n’est pas nécessairement celui de l’espace ambiant, et l’égalité du nombre de vecteurs n’implique pas que les bases soient constituées des mêmes vecteurs.

Answer

Elles ont le même nombre de vecteurs

Question 21

21. Une base d’un sous-espace $E$ comporte $4$ vecteurs. Quelle est la valeur de $\dim(E)$ ?

4

3

Le cardinal de l’espace ambiant

Le nombre de combinaisons linéaires de la base

Explication

La dimension d’un sous-espace est le nombre de vecteurs d’une de ses bases ; ici, $\dim(E)=4$ . Elle ne se calcule pas à partir de la dimension de l’espace ambiant ni en dénombrant les combinaisons linéaires.

Answer

La famille est une base de $$E$$

Answer

Elle peut être complétée en une base et n’est pas encore une base.

Answer

Les deux sous-espaces sont égaux.

Answer

$$(2,-1,4)$$

Answer

$$\begin{pmatrix}5\\-2\end{pmatrix}$$

Answer

$$\begin{pmatrix}5\\1\end{pmatrix}$$

Answer

La dimension du sous-espace qu’elle engendre

Answer

Il est inférieur ou égal à trois et à cinq

Answer

Elle est libre, mais elle n’est pas génératrice de l’espace

Question 22

22. Un sous-espace $E$ est de dimension $3$ et une famille de $3$ vecteurs le génère. Quelle conclusion s’applique ?

La famille est une base de

E

La famille est génératrice, mais ne peut pas être une base

La famille doit être complétée par un quatrième vecteur

La famille est une base de l’espace ambiant

Explication

Une famille génératrice d’un espace de dimension $p$ qui comporte exactement $p$ vecteurs est une base de cet espace ; ici, les deux nombres valent $3$ . Il n’est donc pas nécessaire d’ajouter un vecteur, et cela ne permet pas de conclure que la famille engendre l’espace ambiant.

Question 23

23. Dans un espace vectoriel $E$ de dimension $4$ , une famille libre $F$ contient trois vecteurs. Quelle conclusion s’applique à $F$ ?

Elle ne peut pas être complétée en une base de

E

.

Elle est déjà une base et ne peut pas être complétée.

Elle peut être complétée en une base et n’est pas encore une base.

Elle peut être complétée, mais compte déjà quatre vecteurs.

Explication

Une famille libre de trois vecteurs dans un espace de dimension $4$ peut être complétée en une base; comme elle a moins de quatre vecteurs, elle n’est pas encore une base. « Déjà une base » oublie que son cardinal est inférieur à la dimension, tandis que les deux autres réponses méconnaissent la possibilité de complétion ou le cardinal donné.

Question 24

24. Deux sous-espaces vectoriels $E$ et $F$ vérifient $E\subset F$ et $\dim(E)=\dim(F)=3$ . Que peut-on conclure ?

Les deux sous-espaces ont une intersection non nulle, sans être nécessairement égaux.

Les deux sous-espaces sont égaux.

Le sous-espace

F

est strictement contenu dans

E

.

Le sous-espace

E

est strictement contenu dans

F

.

Explication

Si un sous-espace est inclus dans un autre et qu’ils ont la même dimension, ils sont égaux. L’inclusion stricte entraînerait une dimension strictement plus petite pour $E$ ; inverser l’inclusion ou conclure à une simple intersection ne respecte pas les hypothèses.

Question 25

25. Dans une base $B=(e_1,e_2,e_3)$ , un vecteur $u$ s’écrit $u=2e_1-e_2+4e_3$ . Quelles sont ses coordonnées dans $B$ ?

(2,-1,4)

(4,-1,2)

(2,1,4)

(2e_1,-e_2,4e_3)

Explication

Les coordonnées sont les scalaires qui multiplient les vecteurs de base, dans leur ordre : $(2,-1,4)$ . Le tuple $(2,1,4)$ perd le signe du deuxième coefficient, et les autres réponses permutent les coefficients ou donnent des multiples de vecteurs plutôt que des scalaires.

Question 26

26. Dans une base $B=(e_1,e_2)$ , un vecteur $u$ a pour coordonnées $(5,-2)$ . Quelle est sa matrice colonne de coordonnées ?

\begin{pmatrix}5&-2\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}e_1\e_2\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}5\\-2\end{pmatrix}

Explication

La matrice colonne place les coordonnées du vecteur verticalement, dans l’ordre, soit $\begin{pmatrix}5\\-2\end{pmatrix}$ . Une écriture horizontale est une ligne, et les autres erreurs portent sur le signe ou substituent les vecteurs de base aux coordonnées.

Question 27

27. Dans une base $B$ , $\operatorname{Mat}_B(u)=\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}$ et $\operatorname{Mat}_B(v)=\begin{pmatrix}4\\-2\end{pmatrix}$ . Quelle est $\operatorname{Mat}_B(u+v)$ ?

\begin{pmatrix}4\\-6\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}5\\-1\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}-3\\5\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}5\\1\end{pmatrix}

Explication

L’application de coordonnées est linéaire : on additionne les coordonnées terme à terme, donc $(1+4,3+(-2))=(5,1)$ . La soustraction, le changement de signe de la seconde somme et la multiplication terme à terme correspondent à des opérations différentes.

Question 28

28. Une famille de vecteurs engendre un sous-espace vectoriel donné. Que désigne le rang de cette famille ?

La dimension du sous-espace qu’elle engendre

La dimension de l’espace vectoriel ambiant

Le nombre de vecteurs qui la composent

Le nombre de vecteurs non nuls de la famille

Explication

Le rang est, par définition, la dimension du sous-espace vectoriel engendré par la famille. Le nombre de vecteurs est sa cardinalité, tandis que la dimension de l’espace ambiant peut être différente.

Question 29

29. Une famille de cinq vecteurs appartient à un espace vectoriel de dimension trois. Quelles bornes son rang doit-il respecter ?

Il est inférieur ou égal à trois, sans borne liée à la famille

Il est inférieur ou égal à cinq, sans borne liée à l’espace

Il est inférieur ou égal à trois et à cinq

Il est inférieur ou égal à huit

Explication

Le rang ne dépasse ni le nombre de vecteurs, ici cinq, ni la dimension de l’espace, ici trois. La borne la plus restrictive est donc trois; retenir une seule borne ou les additionner méconnaît l’une des deux contraintes.

Question 30

30. Dans un espace de dimension quatre, une famille de trois vecteurs a un rang égal à trois. Quelle conclusion peut-on tirer ?

Elle n’est ni libre ni génératrice de l’espace

Elle est génératrice de l’espace, mais elle n’est pas libre

Elle est libre, mais elle n’est pas génératrice de l’espace

Elle est à la fois libre et génératrice de l’espace

Explication

Une famille est libre lorsque son rang égale son nombre de vecteurs; ici, les deux valent trois. Elle est génératrice de l’espace si son rang égale la dimension de celui-ci, or trois est différent de quatre.

QCM : Sous-espaces vectoriels et engendrement (30 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Dans C3\mathbb{C}^3C3, comment s’appelle (2−i,0,4) (2-i, 0, 4) (2−i,0,4) et quel est l’ensemble auquel appartiennent ses coordonnées ?

2. Pour u=(3,−2,1)u=(3,-2,1)u=(3,−2,1) et v=(−1,4,5)v=(-1,4,5)v=(−1,4,5) dans R3\mathbb{R}^3R3, quel est le résultat de leur addition ?

3. Si u=(2,−3,0)u=(2,-3,0)u=(2,−3,0) et que l’on multiplie ce vecteur par le scalaire −2-2−2, quel vecteur obtient-on ?

4. Dans R2\mathbb{R}^2R2, on forme le vecteur 3u−2v3u-2v3u−2v à partir de u=(1,2)u=(1,2)u=(1,2) et v=(2,−1)v=(2,-1)v=(2,−1). Quel calcul décrit bien une combinaison linéaire de ces vecteurs et donne son résultat ?

5. Quel énoncé caractérise R4\mathbb{R}^4R4 comme espace vectoriel sur R\mathbb{R}R ?

6. Un ensemble E de vecteurs de R3\mathbb{R}^3R3 contient le vecteur nul, et la somme de deux de ses vecteurs ainsi que tout multiple scalaire de chacun de ses vecteurs appartiennent à E. Quelle conclusion s’impose ?

7. Un ensemble non vide E de R2\mathbb{R}^2R2 est tel que, pour tous u,v∈Eu,v\in Eu,v∈E et tous réels λ,μ\lambda,\muλ,μ, le vecteur λu+μv\lambda u+\mu vλu+μv appartient à E. Quel critère permet de conclure qu'E est un sous-espace vectoriel ?

8. Dans R3\mathbb{R}^3R3, deux sous-espaces vectoriels A et B sont donnés. Quel statut possède leur intersection A ∩ B ?

9. Dans R2\mathbb{R}^2R2, soit A l’axe horizontal et B l’axe vertical. Pourquoi leur réunion n’est-elle pas un sous-espace vectoriel ?

10. Pour deux vecteurs fixés uuu et vvv de KnK^nKn, quel ensemble constitue Vect(u,v)\mathrm{Vect}(u,v)Vect(u,v) ?

11. Un sous-espace vectoriel FFF de KnK^nKn contient les vecteurs u1,…,upu_1,\ldots,u_pu1​,…,up​. Quelle relation doit-on alors avoir entre Vect(u1,…,up)\mathrm{Vect}(u_1,\ldots,u_p)Vect(u1​,…,up​) et FFF ?

12. Dans R3\mathbb{R}^3R3, un sous-espace est défini par x+y+z=0x+y+z=0x+y+z=0 et x−y=0x-y=0x−y=0. En choisissant z=tz=tz=t comme paramètre, quelle paramétrisation obtient-on ?

13. Un sous-espace de R3\mathbb{R}^3R3 est paramétré par les vecteurs (2s,−s,3s)(2s,-s,3s)(2s,−s,3s), où s∈Rs\in\mathbb{R}s∈R. Quelle famille génératrice obtient-on en regroupant les coordonnées selon le paramètre ?

14. Pour trouver des équations cartésiennes à partir d’une famille génératrice, quelle démarche permet d’éliminer les coefficients de combinaison linéaire ?

15. Une famille de vecteurs u1,…,upu_1,\ldots,u_pu1​,…,up​ engendre un sous-espace EEE dans quel cas ?

16. Dans un sous-espace EEE, une famille FFF engendre déjà EEE. On lui ajoute des vecteurs appartenant tous à EEE ; quelle est la conséquence ?

17. Pour établir qu’une famille u1,…,upu_1,\ldots,u_pu1​,…,up​ est libre, que doit-on vérifier pour toute relation λ1u1+⋯+λpup=0\lambda_1u_1+\cdots+\lambda_pu_p=0λ1​u1​+⋯+λp​up​=0 ?

18. Dans un espace vectoriel, une famille réduite au vecteur u=(0,0)u=(0,0)u=(0,0) est-elle libre ou liée ?

19. Dans un sous-espace vectoriel EEE, quelle propriété caractérise une base ?

20. Deux familles sont toutes deux des bases du même sous-espace EEE. Que peut-on conclure sur leur nombre de vecteurs ?

21. Une base d’un sous-espace EEE comporte 444 vecteurs. Quelle est la valeur de dim⁡(E)\dim(E)dim(E) ?

22. Un sous-espace EEE est de dimension 333 et une famille de 333 vecteurs le génère. Quelle conclusion s’applique ?

23. Dans un espace vectoriel EEE de dimension 444, une famille libre FFF contient trois vecteurs. Quelle conclusion s’applique à FFF ?

24. Deux sous-espaces vectoriels EEE et FFF vérifient E⊂FE\subset FE⊂F et dim⁡(E)=dim⁡(F)=3\dim(E)=\dim(F)=3dim(E)=dim(F)=3. Que peut-on conclure ?

25. Dans une base B=(e1,e2,e3)B=(e_1,e_2,e_3)B=(e1​,e2​,e3​), un vecteur uuu s’écrit u=2e1−e2+4e3u=2e_1-e_2+4e_3u=2e1​−e2​+4e3​. Quelles sont ses coordonnées dans BBB ?

26. Dans une base B=(e1,e2)B=(e_1,e_2)B=(e1​,e2​), un vecteur uuu a pour coordonnées (5,−2)(5,-2)(5,−2). Quelle est sa matrice colonne de coordonnées ?

27. Dans une base BBB, Mat⁡B(u)=(13)\operatorname{Mat}_B(u)=\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}MatB​(u)=(13​) et Mat⁡B(v)=(4−2)\operatorname{Mat}_B(v)=\begin{pmatrix}4\\-2\end{pmatrix}MatB​(v)=(4−2​). Quelle est Mat⁡B(u+v)\operatorname{Mat}_B(u+v)MatB​(u+v) ?

28. Une famille de vecteurs engendre un sous-espace vectoriel donné. Que désigne le rang de cette famille ?

29. Une famille de cinq vecteurs appartient à un espace vectoriel de dimension trois. Quelles bornes son rang doit-il respecter ?

30. Dans un espace de dimension quatre, une famille de trois vecteurs a un rang égal à trois. Quelle conclusion peut-on tirer ?

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1. Dans $\mathbb{C}^3$ , comment s’appelle $(2-i, 0, 4)$ et quel est l’ensemble auquel appartiennent ses coordonnées ?

2. Pour $u=(3,-2,1)$ et $v=(-1,4,5)$ dans $\mathbb{R}^3$ , quel est le résultat de leur addition ?

3. Si $u=(2,-3,0)$ et que l’on multiplie ce vecteur par le scalaire $-2$ , quel vecteur obtient-on ?

4. Dans $\mathbb{R}^2$ , on forme le vecteur $3u-2v$ à partir de $u=(1,2)$ et $v=(2,-1)$ . Quel calcul décrit bien une combinaison linéaire de ces vecteurs et donne son résultat ?

5. Quel énoncé caractérise $\mathbb{R}^4$ comme espace vectoriel sur $\mathbb{R}$ ?

6. Un ensemble E de vecteurs de $\mathbb{R}^3$ contient le vecteur nul, et la somme de deux de ses vecteurs ainsi que tout multiple scalaire de chacun de ses vecteurs appartiennent à E. Quelle conclusion s’impose ?

7. Un ensemble non vide E de $\mathbb{R}^2$ est tel que, pour tous $u,v\in E$ et tous réels $\lambda,\mu$ , le vecteur $\lambda u+\mu v$ appartient à E. Quel critère permet de conclure qu'E est un sous-espace vectoriel ?

8. Dans $\mathbb{R}^3$ , deux sous-espaces vectoriels A et B sont donnés. Quel statut possède leur intersection A ∩ B ?

9. Dans $\mathbb{R}^2$ , soit A l’axe horizontal et B l’axe vertical. Pourquoi leur réunion n’est-elle pas un sous-espace vectoriel ?

10. Pour deux vecteurs fixés $u$ et $v$ de $K^n$ , quel ensemble constitue $\mathrm{Vect}(u,v)$ ?

11. Un sous-espace vectoriel $F$ de $K^n$ contient les vecteurs $u_1,\ldots,u_p$ . Quelle relation doit-on alors avoir entre $\mathrm{Vect}(u_1,\ldots,u_p)$ et $F$ ?

12. Dans $\mathbb{R}^3$ , un sous-espace est défini par $x+y+z=0$ et $x-y=0$ . En choisissant $z=t$ comme paramètre, quelle paramétrisation obtient-on ?

13. Un sous-espace de $\mathbb{R}^3$ est paramétré par les vecteurs $(2s,-s,3s)$ , où $s\in\mathbb{R}$ . Quelle famille génératrice obtient-on en regroupant les coordonnées selon le paramètre ?

15. Une famille de vecteurs $u_1,\ldots,u_p$ engendre un sous-espace $E$ dans quel cas ?

16. Dans un sous-espace $E$ , une famille $F$ engendre déjà $E$ . On lui ajoute des vecteurs appartenant tous à $E$ ; quelle est la conséquence ?

17. Pour établir qu’une famille $u_1,\ldots,u_p$ est libre, que doit-on vérifier pour toute relation $\lambda_1u_1+\cdots+\lambda_pu_p=0$ ?

18. Dans un espace vectoriel, une famille réduite au vecteur $u=(0,0)$ est-elle libre ou liée ?

19. Dans un sous-espace vectoriel $E$ , quelle propriété caractérise une base ?

20. Deux familles sont toutes deux des bases du même sous-espace $E$ . Que peut-on conclure sur leur nombre de vecteurs ?

21. Une base d’un sous-espace $E$ comporte $4$ vecteurs. Quelle est la valeur de $\dim(E)$ ?

22. Un sous-espace $E$ est de dimension $3$ et une famille de $3$ vecteurs le génère. Quelle conclusion s’applique ?

23. Dans un espace vectoriel $E$ de dimension $4$ , une famille libre $F$ contient trois vecteurs. Quelle conclusion s’applique à $F$ ?

24. Deux sous-espaces vectoriels $E$ et $F$ vérifient $E\subset F$ et $\dim(E)=\dim(F)=3$ . Que peut-on conclure ?

25. Dans une base $B=(e_1,e_2,e_3)$ , un vecteur $u$ s’écrit $u=2e_1-e_2+4e_3$ . Quelles sont ses coordonnées dans $B$ ?

26. Dans une base $B=(e_1,e_2)$ , un vecteur $u$ a pour coordonnées $(5,-2)$ . Quelle est sa matrice colonne de coordonnées ?

27. Dans une base $B$ , $\operatorname{Mat}_B(u)=\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}$ et $\operatorname{Mat}_B(v)=\begin{pmatrix}4\\-2\end{pmatrix}$ . Quelle est $\operatorname{Mat}_B(u+v)$ ?