QCM : Statistique descriptive — 24 questions

Explication

Un moment est une moyenne pondérée des écarts à la référence $a$ élevés à la puissance $r$. La formule sans les effectifs ne tient pas compte de la pondération par les observations répétées.

Explication

La différence porte sur la valeur de référence : le moment simple utilise $0$ et le moment centré utilise $\bar X$. Les puissances choisies déterminent l’ordre du moment, et non son caractère simple ou centré.

Explication

Le moment simple utilise directement les valeurs $X_i$ élevées à la puissance $r$ et pondérées par leurs effectifs. L’expression avec $\bar X$ correspond à un moment centré.

Explication

Le calcul suit trois étapes : obtenir chaque écart à la référence, appliquer la puissance de l’ordre, puis pondérer les résultats par les effectifs. Le classement ou l’utilisation d’une moyenne non pondérée ne fait pas partie de cette procédure.

Explication

La somme pondérée des écarts à la moyenne est nulle, car les écarts au-dessus et au-dessous de celle-ci se compensent. Le carré intervient dans le moment d’ordre $2$, qui mesure la dispersion.

Explication

Le moment centré d’ordre $2$ est la variance et quantifie la dispersion autour de la moyenne. Le moment d’ordre $1$ s’annule, tandis que les ordres $3$ et $4$ renseignent sur la forme de la distribution.

Explication

Le moment centré d’ordre $3$ utilise les écarts à la moyenne élevés au cube, ce qui permet d’étudier l’asymétrie. La dispersion est associée à l’ordre $2$ et l’aplatissement à l’ordre $4$.

Explication

Le moment centré d’ordre $4$ est fondé sur les écarts à la moyenne élevés à la quatrième puissance et renseigne sur l’aplatissement. L’asymétrie est étudiée par le moment centré d’ordre $3$.

Explication

Dans une distribution parfaitement symétrique, la moyenne, la médiane et le mode coïncident. Les inégalités proposées caractérisent des ordres de position associés à des asymétries.

Explication

Une queue vers la gauche correspond à une asymétrie négative, pour laquelle la moyenne est tirée vers les petites valeurs et vérifie $\text{moyenne}<\text{médiane}<\text{mode}$. La relation inverse correspond à une asymétrie positive.

Explication

L’asymétrie positive se traduit par une queue vers la droite et une moyenne déplacée vers les grandes valeurs, d’où $\text{mode}<\text{médiane}<\text{moyenne}$. Une queue vers la gauche correspond à l’asymétrie négative.

Explication

La loi normale, également appelée loi de Gauss ou loi de Laplace-Gauss, constitue la référence pour évaluer l’aplatissement. La loi uniforme n’est pas utilisée comme étalon dans cette comparaison.

Explication

Une courbe platykurtique présente un sommet plus aplati que celui de la loi normale, tandis qu’une courbe leptokurtique est plus pointue. La symétrie ou la dissymétrie décrit une autre caractéristique que l’aplatissement.

Explication

Pour la loi normale, le coefficient de Fisher est égal à 0, tandis que le coefficient de Pearson est égal à 3. Intervertir ces valeurs constitue une confusion entre les deux conventions de mesure.

Explication

La courbe de Lorenz, aussi appelée courbe de concentration, décrit graphiquement la concentration ou l’inégalité d’une distribution. La droite d’équirépartition, et non la courbe de Lorenz, représente l’égalité parfaite.

Explication

L’axe des abscisses porte les fréquences cumulées croissantes des individus, tandis que l’axe des ordonnées porte les fréquences cumulées croissantes de $n_iX_i$. Les revenus cumulés ne sont donc pas placés sur l’axe horizontal.

Explication

La diagonale reliant A à C est la droite d’équirépartition et représente une égalité parfaite. La courbe de Lorenz mesure au contraire l’écart entre la répartition observée et cette situation idéale.

Explication

Plus la courbe de Lorenz s’éloigne de la droite d’équirépartition, plus la concentration et les inégalités sont importantes. Cet éloignement ne permet pas, à lui seul, de conclure que le revenu moyen est plus élevé.

Explication

L’indice de Gini est défini comme le double de l’aire de concentration, selon $G=2\times\text{aire de concentration}$. La division par 2 réduirait l’indice au lieu de suivre sa définition.

Explication

L’indice de Gini ne possède pas d’unité et respecte $0\leq G\leq1$. Une mesure monétaire dépendrait de l’unité utilisée pour les revenus et ne correspondrait pas à la nature du Gini.

Explication

Un Gini égal à 0 correspond à une égalité parfaite, alors qu’un indice proche de 1 traduit une distribution très inégalitaire. Le Gini mesure la répartition des revenus, et non leur niveau moyen ou leur stabilité.

Explication

La construction repose sur le classement croissant des revenus, les calculs cumulés, le placement des points et le tracé de la courbe avec la diagonale $y=x$. Une moyenne ne remplace pas les fréquences cumulées ni les parts cumulées nécessaires à cette représentation.

Explication

La fréquence cumulée se calcule par $F_i=\frac{\text{effectif cumulé}}{N}=\frac{80}{200}=0{,}40$. La part cumulée du revenu utiliserait, elle, le revenu cumulé rapporté au revenu total, et non l’effectif cumulé.

Explication

Un point $(x;y)$ indique que les $x\%$ des individus les moins riches possèdent $y\%$ du revenu ou du patrimoine total. Comme $0{,}45<0{,}80$, le point est sous la diagonale, ce qui traduit une part détenue inférieure à la part de population considérée.