Fiche de révision : Statistique descriptive

📋 Plan du Cours

1. Définition et types de moments
2. Moments centrés d’ordre 1 à 4
3. Asymétrie et position
4. Aplatissement et courbes
5. Courbe de Lorenz
6. Indice de Gini
7. Construction et lecture de Lorenz

📖 1. Définition et types de moments

🔑 Notions clés & Définitions

• Moment d’ordre r : Moyenne pondérée des écarts à a élevés à la puissance r, donnée par $M_r(a)=\frac{1}{N}\sum_i n_i(X_i-a)^r$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Le moment simple d’ordre r est donné par $m_r=\frac{1}{N}\sum_i n_iX_i^r$.

📐 Formule — Le moment centré d’ordre r est donné par $\mu_r=\frac{1}{N}\sum_i n_i(X_i-\bar X)^r$.

📌 Un moment simple utilise 0 comme valeur de référence, tandis qu’un moment centré utilise la moyenne empirique \bar X comme valeur de référence.

Compléments

📐 Formule — Dans la formule d’un moment, $N=\sum_i n_i$ représente l’effectif total, tandis que X_i est une valeur de la variable, n_i son effectif associé, a la valeur de référence et r l’ordre du moment.

• 🔄 Le calcul d’un moment suit quatre étapes:
  1. Prendre chaque valeur X_i
  2. Calculer l’écart X_i-a
  3. Élever l’écart à la puissance r
  4. Effectuer une moyenne pondérée par les effectifs

💡 Astuce mémo

Simple : origine 0 ; centré : moyenne

📖 2. Moments centrés d’ordre 1 à 4

📝 Points essentiels

📐 Formule — Le moment centré d’ordre 2, $\mu_2=\frac{1}{N}\sum_i n_i(X_i-\bar X)^2$, correspond à la variance et mesure la dispersion autour de la moyenne.

📐 Formule — Le moment centré d’ordre 3, $\mu_3=\frac{1}{N}\sum_i n_i(X_i-\bar X)^3$, permet d’étudier l’asymétrie de la distribution.

📐 Formule — Le moment centré d’ordre 4, $\mu_4=\frac{1}{N}\sum_i n_i(X_i-\bar X)^4$, permet d’étudier l’aplatissement de la distribution.

• Le moment centré d’ordre 1 est toujours nul, car les écarts positifs et négatifs à la moyenne se compensent.

💡 Astuce mémo

1 nul, 2 dispersion, 3 asymétrie, 4 aplatissement

📖 3. Asymétrie et position

★ À maîtriser

• Une distribution parfaitement symétrique vérifie moyenne = médiane = mode.

• Une asymétrie négative correspond à une queue vers la gauche et vérifie moyenne < médiane < mode.

• Une asymétrie positive correspond à une queue vers la droite et vérifie mode < médiane < moyenne.

Compléments

• Lorsque l’asymétrie est nulle, la distribution est symétrique.

💡 Astuce mémo

Queue à gauche ou à droite → moyenne tirée vers la queue

📖 4. Aplatissement et courbes

📝 Points essentiels

• La loi normale, aussi appelée loi de Gauss ou loi de Laplace-Gauss, sert de référence pour comparer l’aplatissement des distributions.

📌 Une courbe platykurtique est plus aplatie que la distribution normale, tandis qu’une courbe leptokurtique est plus pointue.

• Le coefficient de Fisher a une valeur de référence égale à 0 pour la loi normale, tandis que le coefficient de Pearson a une valeur de référence égale à 3.

💡 Astuce mémo

Platykurtique : plus plate ; leptokurtique : plus pointue

📖 5. Courbe de Lorenz

🔑 Notions clés & Définitions

• Courbe de Lorenz : Ou courbe de concentration, représente graphiquement la concentration ou l’inégalité d’une distribution.

★ À maîtriser

📌 Plus la courbe de Lorenz s’éloigne de la droite d’équirépartition, plus les inégalités sont fortes.

• Sur la courbe de Lorenz, l’axe des abscisses représente les fréquences cumulées croissantes des individus et l’axe des ordonnées les fréquences cumulées croissantes de n_iX_i.

• La droite d’équirépartition est la diagonale du carré allant de A à C et représente la parfaite égalité.

Compléments

📐 Formule — La masse salariale est donnée par $\text{Masse salariale}=\sum_i n_iX_i$, où n_i est le nombre de salariés et X_i leur salaire.

• L’aire située entre la droite d’équirépartition et la courbe de Lorenz est appelée aire de concentration, et elle augmente avec la concentration ou l’inégalité.

💡 Astuce mémo

Diagonale : égalité ; éloignement : inégalité

📖 6. Indice de Gini

★ À maîtriser

📐 Formule — L’indice de Gini est égal au double de l’aire de concentration, soit $G=2\times\text{aire de concentration}$.

📌 L’indice de Gini est sans dimension et vérifie $0\leq G\leq1$.

📌 Un indice de Gini égal à 0 correspond à l’égalité parfaite, tandis qu’un indice proche de 1 correspond à une distribution très inégalitaire.

Compléments

📌 Quand l’indice de Gini augmente, les inégalités augmentent également, et quand il diminue, l’égalité augmente.

💡 Astuce mémo

Aire faible → Gini faible → égalité ; aire forte → Gini fort → inégalité

📖 7. Construction et lecture de Lorenz

★ À maîtriser

📐 Formule — La fréquence cumulée des individus est donnée par $F_i=\frac{\text{effectif cumulé}}{N}$ et la part cumulée du revenu par $F(n_iX_i)=\frac{\text{revenu cumulé}}{\text{revenu total}}$.

• 🔄 La construction d’une courbe de Lorenz suit ces étapes:

  1. Classer les revenus du plus faible au plus élevé
  2. Calculer les revenus cumulés
  3. Calculer les fréquences cumulées des individus
  4. Calculer les parts cumulées de revenu
  5. Placer les points
  6. Tracer la courbe et la diagonale y=x
  7. Interpréter l’écart à la diagonale

• Un point de coordonnées (x;y) sur une courbe de Lorenz signifie que les x % des individus les moins riches détiennent y % du revenu ou du patrimoine total.

Compléments

• Dans une population divisée en dix déciles, chaque décile représente 10 % de la population.

• Si les 80 % les moins riches détiennent 45 % du patrimoine, les 20 % les plus riches détiennent 55 % du patrimoine.

💡 Astuce mémo

Classer, cumuler, calculer, placer, tracer, interpréter

📊 Tableaux de synthèse

Moments centrés et interprétation

Formes des distributions