Fiche de révision : Statistiques et outils mathématiques

📋 Plan du Cours

1. Calcul algébrique et équations
2. Intervalles et inéquations
3. Signes des quotients
4. Statistiques à une variable
5. Généralités sur les fonctions
6. Informations chiffrées
7. Fonctions usuelles
8. Probabilités
9. Suites numériques
10. Suites arithmétiques et géométriques
11. Variables aléatoires et lois
12. Dérivation et variations des fonctions
13. Statistiques à deux variables
14. Limites et continuité
15. Calcul matriciel
16. Échantillonnage et intervalles

📖 1. Calcul algébrique et équations

🔑 Notions clés & Définitions

• Discriminant : Réel $\Delta=b^2-4ac$ associé au polynôme du second degré $ax^2+bx+c$.
• Équation du premier degré : Équation qui peut s’écrire sous la forme $ax+b=0$, avec $a\ne0$.
• Équation du second degré : Équation qui peut s’écrire sous la forme $ax^2+bx+c=0$, avec $a\ne0$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour tous réels $a,b,c,d,k$, la distributivité donne $k(a+b)=ka+kb$ et $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$.

📐 Formule - Pour tous réels $a$ et $b$, les identités remarquables sont $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ et $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.

• Pour résoudre une équation du premier degré, on développe et réduit chaque membre, puis on applique les propriétés algébriques permettant d’isoler l’inconnue.

📌 Pour $ax^2+bx+c=0$, si $\Delta>0$ les solutions sont $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$, si $\Delta=0$ l’unique solution est $x_0=\frac{-b}{2a}$, et si $\Delta<0$ il n’y a pas de solution réelle.

Compléments

• Dans l’expression polynomiale $4x^2-3x+5$, les termes $4x^2$ et $-3x$ ont respectivement les degrés 2 et 1, et 5 est le terme constant de degré 0.

📌 Développer une expression polynomiale consiste à l’écrire comme une somme, la factoriser consiste à l’écrire comme un produit, et la réduire consiste à l’écrire sous la forme la plus simple possible.

📌 Le théorème du produit nul donne $AB=0\iff A=0\text{ ou }B=0$ et permet de résoudre directement une équation lorsque son polynôme est factorisé.

📖 2. Intervalles et inéquations

★ À maîtriser

• Pour $a\le b$, les intervalles bornés sont $[a;b]$, $[a;b[$, $]a;b]$ et $]a;b[$, correspondant respectivement à $a\le x\le b$, $a\le x<b$, $a<x\le b$ et $a<x<b$.

📌 Pour tous réels $a,b,x$, $x+a\le b\iff x\le b-a$ ; si $a>0$, $ax\le b\iff x\le\frac ba$, tandis que $-ax\le b\iff x\ge-\frac ba$.

• Pour résoudre une inéquation du premier degré, on développe et réduit chaque membre, puis on applique les propriétés algébriques des inégalités.

📌 Pour un trinôme $ax^2+bx+c$, si $\Delta>0$ il a le signe de $a$ à l’extérieur des deux racines et le signe opposé entre elles ; si $\Delta=0$ il garde le signe de $a$ sauf en sa racine double ; si $\Delta<0$ il garde partout le signe de $a$.

Compléments

• Les intervalles non bornés sont $[a;+\infty[$ pour $x\ge a$, $]a;+\infty[$ pour $x>a$, $]-\infty;a]$ pour $x\le a$ et $]-\infty;a[$ pour $x<a$.

📌 Pour $ax+b$ avec $a\ne0$, l’expression s’annule en $x_0=-\frac ba$ ; elle est négative puis positive de part et d’autre de $x_0$ si $a>0$, et positive puis négative si $a<0$.

• Pour résoudre une inéquation du second degré, on écrit le trinôme comparé à zéro, on dresse son tableau de signes, puis on sélectionne les valeurs correspondant à la comparaison demandée.

• Pour établir le signe d’un produit de facteurs, on détermine le signe de chaque facteur selon les valeurs de la variable, puis on applique la règle des signes d’un produit.

📖 3. Signes des quotients

📝 Points essentiels

• Pour dresser le tableau de signes d’un quotient, on étudie le signe du numérateur et celui du dénominateur, puis on applique la règle des signes d’un quotient.

📖 4. Statistiques à une variable

🔑 Notions clés & Définitions

• Médiane : La médiane d’une liste ordonnée est la valeur de rang central si l’effectif est impair et la demi-somme des deux valeurs de rangs centraux si l’effectif est pair.
• Quartiles : Le premier quartile est la plus petite valeur telle qu’au moins 25 % des valeurs lui soient inférieures ou égales, et le troisième quartile est la plus petite valeur telle qu’au moins 75 % des valeurs lui soient inférieures ou égales.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une série statistique de taille $n=\sum_i n_i$, la moyenne est $\bar{x}=\frac{\sum_i n_i x_i}{n}$.

📐 Formule - La variance d’une série statistique peut se calculer par $V=\frac{\sum_i n_i(x_i-\bar{x})^2}{n}$ ou par $V=\frac{\sum_i n_i x_i^2}{n}-\bar{x}^2$.

Compléments

📐 Formule - L’écart-type d’une série statistique est la racine carrée de sa variance : $\sigma=\sqrt{V}$.

• Pour les salaires de 70 ouvriers à 1 500 euros, 20 agents de maîtrise à 2 000 euros et 10 cadres à 2 500 euros, la moyenne est de 1 700 euros, la variance de 110 000 et l’écart-type d’environ 332 euros.

• Le couple (moyenne ; écart-type) renseigne respectivement sur la tendance centrale et la dispersion globale, tandis que le couple (médiane ; écart inter-quartile) renseigne sur la tendance centrale et la dispersion des valeurs centrales.

• Plus l’écart-type est petit, plus les valeurs se concentrent autour de la moyenne et plus celle-ci est significative.

• L’intervalle inter-quartile est l’intervalle $[Q_1;Q_3]$, tandis que l’écart inter-quartile est le réel $Q_3-Q_1$.

• Pour la série ordonnée 6, 7, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 13, 14, 16, 18, la médiane est 10,5, le premier quartile est 9, le troisième quartile est 13 et l’écart inter-quartile est 4.

• Un diagramme en boîtes représente cinq valeurs :

  • xmin
  • Q1
  • Me
  • Q3
  • xmax

📖 5. Généralités sur les fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction : Une fonction définie sur un ensemble E associe à tout réel x de E un unique réel f(x) ; E est l’ensemble de définition, x la variable, f(x) l’image de x et x un antécédent de f(x).
• Courbe représentative : La courbe représentative Cf d’une fonction f est l’ensemble des points de coordonnées (x ; f(x)) pour x dans son ensemble de définition, et ses points vérifient l’équation y=f(x).
• Sens de variations : Étudier le sens de variations d’une fonction consiste à découper son ensemble de définition en intervalles les plus larges possibles sur lesquels elle est croissante ou décroissante.
• Fonction croissante : Une fonction f est croissante sur un intervalle E si, pour tous a et b de E tels que a≤b, f(a)≤f(b).
• Fonction décroissante : Une fonction f est décroissante sur un intervalle E si, pour tous a et b de E tels que a≤b, f(a)≥f(b).
• Maximum : Un réel M est le maximum de f sur E, atteint en x0, si f(x)≤M pour tout x de E et f(x0)=M.
• Minimum : Un réel m est le minimum de f sur E, atteint en x0, si f(x)≥m pour tout x de E et f(x0)=m.

★ À maîtriser

📌 Les solutions de $f(x)=k$ sont les abscisses des points de Cf d’ordonnée k, c’est-à-dire les antécédents de k.

Compléments

• Pour l’enclos rectangulaire de périmètre 16 mètres, si un côté mesure x mètres avec $0\leq x\leq 8$, l’autre mesure 8−x et l’aire est $f(x)=x(8-x)$.

• Pour représenter graphiquement une fonction, on dresse un tableau de valeurs, on place dans un repère les points de coordonnées (x ; f(x)) obtenus, puis on relie au mieux ces points.

• Pour lire l’image de x sur une courbe, on lit l’ordonnée du point d’abscisse x ; pour lire les antécédents de y, on lit les abscisses des points d’ordonnée y.

• Les solutions de $f(x)=g(x)$ sont les abscisses des points d’intersection des courbes Cf et Cg.

• Les solutions de $f(x)>k$ sont les abscisses des points de Cf dont l’ordonnée est supérieure à k.

• Les solutions de $f(x)>g(x)$ sont les abscisses des points où la courbe Cf est au-dessus de Cg à la même abscisse.

• Si f est croissante sur [a;c] puis décroissante sur [c;b], alors f(c) est le maximum de f sur [a;b].

• Si f est décroissante sur [a;c] puis croissante sur [c;b], alors f(c) est le minimum de f sur [a;b].

📖 6. Informations chiffrées

🔑 Notions clés & Définitions

• Proportion : La proportion p d’une sous-population A dans une population E est le rapport de leurs effectifs : $p=\frac{n_A}{n_E}$ ; exprimée en pourcentage, elle est multipliée par 100.
• Taux d’évolution : Le taux d’évolution d’une valeur initiale y1 à une valeur finale y2 est $t=\frac{y_2-y_1}{y_1}$ et s’exprime en pourcentage après multiplication par 100.
• Intersection de sous-populations : L’intersection A∩B contient les individus appartenant à la fois aux sous-populations A et B.
• Réunion de sous-populations : La réunion A∪B contient les individus appartenant au moins à l’une des sous-populations A ou B.
• Coefficient multiplicateur : Le coefficient multiplicateur d’une valeur initiale y1 à une valeur finale y2 est $c=\frac{y_2}{y_1}$.
• Indice simple : Un indice simple I2 à la date t2, avec base I1 à la date de référence t1, vérifie $\frac{I_2}{I_1}=\frac{y_2}{y_1}$, donc les indices sont proportionnels aux valeurs.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour deux sous-populations A et B, $p_{A\cup B}=p_A+p_B-p_{A\cap B}$ ; si elles sont disjointes, $p_{A\cup B}=p_A+p_B$.

📐 Formule - Pour des populations emboîtées, la proportion de A dans E vérifie $p_{A|E}=p_{A|B}\times p_{B|E}$.

📐 Formule - Le taux d’évolution t et le coefficient multiplicateur c vérifient $c=1+t$ et $t=c-1$.

📐 Formule - Pour deux évolutions successives de taux t1 et t2, le taux global vérifie $1+t_{global}=(1+t_1)(1+t_2)$ ; les taux ne s’additionnent donc pas.

Compléments

📐 Formule - Les effectifs et la proportion sont liés par $n_A=p\times n_E$ et $n_E=\frac{n_A}{p}$.

📌 Une hausse correspond à t>0 et c>1, tandis qu’une baisse correspond à t<0 et 0<c<1.

📐 Formule - Pour une évolution de taux t, la valeur finale vérifie $y_2=(1+t)y_1$ et la valeur initiale vérifie $y_1=\frac{y_2}{1+t}$.

📐 Formule - Le taux réciproque d’un taux t vérifie $1+t_{réc.}=\frac{1}{1+t}$.

📐 Formule - Pour n évolutions successives, le taux moyen vérifie $1+t_{moyen}=(1+t_{global})^{1/n}$.

📐 Formule - L’indice simple se calcule par $I_2=I_1\times\frac{y_2}{y_1}$.

📖 7. Fonctions usuelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction affine : Une fonction affine est définie sur R par $f(x)=ax+b$, où a et b sont des réels.
• Fonction carrée : La fonction carrée est définie sur R par $f(x)=x^2$.
• Fonction inverse : La fonction inverse est définie sur ]−∞;0[∪]0;+∞[ par $f(x)=\frac{1}{x}$.
• Fonction racine carrée : La fonction racine carrée est définie sur [0;+∞[ par $f(x)=\sqrt{x}$.
• Fonction polynôme du second degré : Une fonction polynôme du second degré est définie sur R par $f(x)=ax^2+bx+c$, où a, b et c sont réels et a≠0.
• Fonction exponentielle : La fonction exponentielle est définie sur R par $f(x)=e^x$.
• Logarithme népérien : Pour x>0, ln(x) est l’unique réel y tel que $e^y=x$ ; la fonction logarithme népérien est définie sur ]0;+∞[ par $f(x)=\ln(x)$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour $f(x)=ax^2+bx+c$ avec a≠0, le sommet de la parabole a pour coordonnées $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$, et son axe est $x=\alpha$.

Compléments

📌 Pour une fonction affine $f(x)=ax+b$, si a≥0 elle est croissante sur R, et si a≤0 elle est décroissante sur R.

• La représentation graphique d’une fonction affine est une droite.

📌 La fonction carrée est décroissante sur ]−∞;0] et croissante sur [0;+∞[ ; son minimum est 0, atteint en 0.

• La courbe de la fonction carrée est une parabole de sommet O et d’axe de symétrie l’axe des ordonnées.

📌 La fonction inverse est décroissante sur chacun des intervalles de son ensemble de définition.

• La courbe de la fonction inverse est une hyperbole de centre de symétrie l’origine O.

📌 La fonction racine carrée est croissante sur [0;+∞[.

📌 Pour un polynôme du second degré, si a>0 la parabole est tournée vers le haut et la fonction atteint son minimum β en α ; si a<0 elle est tournée vers le bas et atteint son maximum β en α.

📖 8. Probabilités

🔑 Notions clés & Définitions

• Expérience aléatoire : Une expérience aléatoire conduit à des résultats sans que l’on puisse déterminer lequel sera réalisé ; chaque résultat est une issue et l’ensemble des issues Ω est l’univers.
• Loi de probabilité : Une loi de probabilité sur Ω={e1;…;en} associe à chaque issue ei un réel positif ou nul p(ei), avec $\sum_{i=1}^{n}p(e_i)=1$.
• Probabilité d’un événement : La probabilité d’un événement A est la somme des probabilités des issues qui appartiennent à A.
• Probabilité conditionnelle : Si p(A)≠0, la probabilité de B sachant A est $p_A(B)=\frac{p(A\cap B)}{p(A)}$.
• Événement : Un événement est une partie de Ω ; un événement élémentaire contient une seule issue, Ω est l’événement certain et l’ensemble vide est l’événement impossible.
• Intersection d’événements : L’intersection A∩B contient les issues appartenant à la fois aux événements A et B.
• Réunion d’événements : La réunion A∪B contient les issues appartenant au moins à l’un des événements A ou B.
• Événement complémentaire : L’événement complémentaire de A contient les issues de Ω qui ne sont pas dans A.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour deux événements A et B, $p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)$.

Compléments

📌 En situation d’équiprobabilité sur un univers de n issues, chaque issue a pour probabilité $\frac{1}{n}$.

📐 Formule - En situation d’équiprobabilité, la probabilité de A est $p(A)=\frac{\text{nombre d’issues de A}}{\text{nombre d’issues de }\Omega}$.

📐 Formule - Pour tout événement A, $p(A)+p(\overline{A})=1$.

📐 Formule - Si p(A)≠0, alors $p(A\cap B)=p(A)\times p_A(B)$.

• Un arbre pondéré comporte des nœuds indiquant des événements, des branches auxquelles sont affectées des probabilités et des chemins assimilés à des intersections d’événements.

📖 9. Suites numériques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Une suite numérique (un) est une liste numérotée de réels ; n est le rang et un le terme de rang n.
• Suite définie par récurrence : Une suite est définie par récurrence lorsqu’on donne son premier terme u0 et une relation permettant de calculer chaque terme un+1 à partir du terme précédent un, sous la forme $u_{n+1}=f(u_n)$.
• Suite croissante : Une suite (un) est croissante si, pour tout n∈N, $u_n\leq u_{n+1}$.
• Suite décroissante : Une suite (un) est décroissante si, pour tout n∈N, $u_n\geq u_{n+1}$.
• Suite définie par une fonction : Une suite est définie par une relation fonctionnelle s’il existe une fonction f définie sur [0;+∞[ telle que $u_n=f(n)$ pour tout n∈N.

📝 Points essentiels

• La suite des nombres impairs peut être définie par u0=1 et $u_{n+1}=u_n+2$ ; elle donne u1=3 et u2=5.

• La suite des nombres impairs peut être définie par $u_n=2n+1$, ce qui donne u1000=2001 et u2018=4037.

• Pour étudier les variations d’une suite définie par récurrence, on peut étudier le signe de $u_{n+1}-u_n$ ; pour une suite définie par $u_n=f(n)$, on peut étudier le sens de variation de f.

📖 10. Suites arithmétiques et géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : arithmétique de raison r lorsque, pour tout n ∈ ℕ, $u_{n+1}=u_n+r$.
• Suite géométrique : géométrique de raison q lorsque, pour tout n ∈ ℕ, $u_{n+1}=q u_n$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une suite arithmétique de raison r, $u_n=u_0+nr$ et, pour tous n,p ∈ ℕ, $u_n=u_p+(n-p)r$.

📐 Formule - Pour une suite géométrique de raison q, $u_n=q^n u_0$ et, pour tous n,p ∈ ℕ, $u_n=q^{n-p}u_p$.

Compléments

📌 Une suite arithmétique de raison positive est croissante, tandis qu’une suite arithmétique de raison négative est décroissante.

📌 Pour une suite géométrique à termes positifs et de raison q > 0, la suite est croissante si q ≥ 1 et décroissante si 0 < q ≤ 1.

• Une population initiale de 10 000 habitants augmentant de 5 % par an suit une suite géométrique de raison 1,05 et vérifie $u_n=10\,000\times1{,}05^n$.

💡 Astuce mémo

Arithmétique : on ajoute r ; géométrique : on multiplie par q.

📖 11. Variables aléatoires et lois

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable aléatoire : sur l’ensemble Ω des issues d’une expérience associe un réel à chaque issue de Ω.
• Épreuve de Bernoulli : de paramètre p possède deux issues : le succès S de probabilité p et l’échec de probabilité 1 − p.
• Loi binomiale : la loi de la variable aléatoire qui compte le nombre de succès dans un schéma de Bernoulli de paramètres n et p.
• Loi de probabilité : l’ensemble des couples (xᵢ ; pᵢ), où pᵢ est la probabilité de l’événement {X = xᵢ}.
• Schéma de Bernoulli : de paramètres n et p consiste à répéter n fois, de manière indépendante, une même épreuve de Bernoulli de paramètre p.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une variable aléatoire prenant les valeurs xᵢ avec probabilités pᵢ, $E(X)=\sum_i p_i x_i$ et $V(X)=\sum_i p_i(x_i-E(X))^2=\sum_i p_i x_i^2-E(X)^2$, tandis que $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$.

📐 Formule - Si X suit B(n ; p), alors $E(X)=np$ et $\sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}$.

Compléments

• Pour la loi binomiale B(3 ; 0,4), les probabilités de X = 0, 1, 2 et 3 sont respectivement 0,216 ; 0,432 ; 0,288 et 0,064.

📖 12. Dérivation et variations des fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre dérivé : La fonction f est dérivable en a si le taux de variation $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ admet une limite finie quand h tend vers 0 ; cette limite est le nombre dérivé f′(a).

★ À maîtriser

📐 Formule - La tangente à la courbe de f au point d’abscisse a a pour équation $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.

📌 Si f′(x) ≥ 0 sur un intervalle, f y est croissante ; si f′(x) ≤ 0 sur cet intervalle, f y est décroissante.

Compléments

• Les dérivées usuelles sont : constante k, 0 ; ax + b, a ; x², 2x ; xⁿ, nxⁿ⁻¹ pour n > 1 ; 1/x, −1/x² ; √x, 1/(2√x) pour x > 0 ; eˣ, eˣ ; ln(x), 1/x pour x > 0.

📐 Formule - Pour des fonctions dérivables u et v, les règles sont $(ku)'=ku'$, $(u+v)'=u'+v'$, $(uv)'=u'v+uv'$, $(1/v)'=-v'/v^2$, $(u/v)'=(u'v-uv')/v^2$, $(u^n)'=nu'u^{n-1}$, $(e^u)'=u'e^u$ et $(\ln u)'=u'/u$ lorsque u > 0.

• Pour étudier les variations d’une fonction dérivable, on calcule sa dérivée, on étudie le signe de cette dérivée, puis on applique le théorème de variation.

💡 Astuce mémo

Dériver, étudier le signe, conclure sur les variations.

📖 13. Statistiques à deux variables

🔑 Notions clés & Définitions

• Ajustement affine : une droite qui passe au plus près des points d’un nuage statistique de forme allongée.
• Série statistique double : étudie deux variables X et Y et associe à chaque valeur xᵢ de X la valeur correspondante yᵢ de Y.
• Nuage de points : l’ensemble des points de coordonnées (xᵢ ; yᵢ) dans un repère orthogonal.
• Point moyen : le point du nuage de coordonnées (x̄ ; ȳ), où x̄ et ȳ sont les moyennes des valeurs des deux variables.

★ À maîtriser

• La droite de régression de y en x est l’unique droite passant par le point moyen qui minimise la somme des carrés des écarts verticaux des points à cette droite.

Compléments

• Pour les données de consommation de burgers présentées, la droite de régression obtenue est $y=0{,}091x+0{,}901$.

📖 14. Limites et continuité

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction continue : Une fonction f est continue en a si $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$ ; elle est continue sur un intervalle si elle l’est en tout point de cet intervalle.
• Limite finie à l’infini : La limite de f(x) en +∞ est le réel l si, pour x assez grand, toutes les valeurs de f(x) appartiennent à tout intervalle ouvert contenant l ; la définition en −∞ est analogue.
• Limite infinie : La limite de f(x) en +∞ vaut +∞ si, pour x assez grand, f(x) dépasse tout réel A ; des définitions analogues s’appliquent aux autres infinis et aux limites infinies en un réel.
• Limite finie en un réel : La limite de f(x) en a est le réel l si, lorsque x est assez proche de a, toutes les valeurs de f(x) appartiennent à tout intervalle ouvert contenant l.

★ À maîtriser

📌 Les limites d’une somme, d’un produit et d’un quotient se calculent avec les règles correspondantes ; pour un quotient de limite infinie sur zéro, le dénominateur doit garder un signe constant au voisinage considéré.

📌 Si f est continue sur un intervalle contenant a et b, toute valeur k comprise entre f(a) et f(b) est atteinte en au moins un point entre a et b.

Compléments

📌 Les fonctions usuelles et celles obtenues à partir d’elles par les quatre opérations ou par composition sont continues sur chaque intervalle de leur domaine de définition ; toute fonction dérivable sur I est continue sur I.

📌 Si f est continue et strictement monotone sur [a ; b], toute valeur k comprise entre f(a) et f(b) est prise une seule fois sur [a ; b].

📖 15. Calcul matriciel

🔑 Notions clés & Définitions

• Matrice : un tableau de réels à m lignes et n colonnes ; une matrice carrée d’ordre n a n lignes et n colonnes.
• Produit matriciel : Le produit AB est défini si le nombre de colonnes de A égale le nombre de lignes de B ; si A est de dimension m × n et B de dimension n × p, AB est de dimension m × p et chaque coefficient est le produit scalaire d’une ligne de A par une colonne de B.
• Matrice inversible : Une matrice carrée A d’ordre n est inversible s’il existe A⁻¹ telle que $AA^{-1}=A^{-1}A=I_n$.
• Matrice unité : une matrice carrée d’ordre n ayant des 1 sur sa diagonale principale et des 0 ailleurs.

★ À maîtriser

• Un système linéaire s’écrit AX = B ; si A est inversible, sa résolution revient à calculer X = A⁻¹B.

Compléments

📌 Deux matrices de même dimension sont égales si et seulement si leurs coefficients correspondants sont égaux.

📌 La somme de deux matrices de même dimension s’obtient en additionnant leurs coefficients correspondants, et le produit d’une matrice par un réel multiplie chacun de ses coefficients par ce réel.

📐 Formule - Une matrice carrée d’ordre deux A=\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix} est inversible si et seulement si $ad-bc\ne0$ ; alors $A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$.

💡 Astuce mémo

Le produit matriciel dépend de l’ordre : généralement AB ≠ BA.

📖 16. Échantillonnage et intervalles

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle de fluctuation : L’intervalle de fluctuation au seuil de 95 % est l’intervalle dans lequel la fréquence Fn se trouve avec une probabilité au moins égale à 0,95, sous les conditions d’application de la formule.
• Intervalle de confiance : L’intervalle de confiance au seuil de 95 % est l’intervalle construit à partir de la fréquence observée f pour estimer la proportion inconnue p.

★ À maîtriser

📐 Formule - Si n ≥ 25, np ≥ 5 et n(1 − p) ≥ 5, la fréquence d’échantillon Fn appartient à $[p-\frac{1}{\sqrt n};p+\frac{1}{\sqrt n}]$ avec une probabilité au moins égale à 0,95.

📌 Pour tester une proportion supposée p, on accepte la supposition si la fréquence observée Fn appartient à l’intervalle de fluctuation In, et on la rejette sinon.

📐 Formule - Si n ≥ 25, nf ≥ 5 et n(1 − f) ≥ 5, une proportion inconnue p appartient à $[f-\frac{1}{\sqrt n};f+\frac{1}{\sqrt n}]$ avec une probabilité au moins égale à 0,95.

Compléments

📐 Formule - Pour une variable X suivant une loi normale d’espérance μ et d’écart-type σ, $P(\mu-2\sigma\le X\le\mu+2\sigma)\simeq0{,}95$.

💡 Astuce mémo

Fluctuation : proportion supposée ; confiance : proportion inconnue.