QCM : Statistiques et outils mathématiques (51 questions)

Explication

La distributivité donne $2x^2+8x-3x-12$, soit $2x^2+5x-12$ après réduction. Le coefficient $11$ vient d’une erreur sur les termes croisés, le terme constant $12$ traduit un signe erroné, et $2x^2-3x+4$ omet des produits.

Explication

L’identité remarquable $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ donne $9x^2-12x+4$. L’absence de terme en $x$ oublie le terme double, le signe positif le confond avec le carré d’une somme, et $9x^2-4$ applique la différence de carrés.

Explication

En développant, on obtient $5x-10=2x+7$, donc $3x=17$ et $x=\frac{17}{3}$. La valeur $3$ vient d’une distributivité incomplète, $\frac{3}{17}$ inverse le quotient, et $\frac{7}{3}$ néglige la constante $-10$.

Explication

Le discriminant vaut $3^2-4\times2\times5=-31$, donc il est négatif et l’équation n’a pas de solution réelle. Une solution unique correspondrait à un discriminant nul, tandis que deux solutions réelles nécessitent un discriminant positif.

Explication

L’inégalité stricte en $-2$ exclut cette borne, tandis que $x\le5$ inclut la borne supérieure : l’intervalle est donc $]-2;5]$. $[-2;5]$ inclut à tort la borne inférieure, et les deux autres choix excluent ou incluent incorrectement la borne supérieure.

Explication

En divisant $-4x\le12$ par $-4$, on renverse le sens de l’inégalité et l’on obtient $x\ge-3$. $x\le-3$ oublie ce renversement, $x\ge3$ donne une borne de signe erroné, et $x>-3$ remplace à tort l’inégalité large par une stricte.

Explication

On développe et réduit : $3x+2<2x+5$, puis $x<3$. Le résultat $x<9$ correspond à une distributivité incorrecte, $x<1$ à une erreur de transfert de constante, et $x\le3$ modifie le caractère strict de l’inégalité.

Explication

Pour un trinôme ayant deux racines distinctes, le signe entre les racines est opposé à celui de $a$. Ici $a=-2$, donc le trinôme est positif entre ses racines ; « négatif » applique le signe de $a$ à l’intérieur, et « nul en tout point » confond les racines avec l’ensemble des zéros.

Explication

Le signe d’un quotient se détermine en étudiant d’abord le signe de son numérateur et celui de son dénominateur, puis en appliquant la règle des signes d’un quotient. Ignorer le dénominateur ou le numérateur omet une partie nécessaire, tandis que la règle du produit ne convient pas au quotient.

Explication

La moyenne pondérée est la somme des produits de chaque valeur par son effectif, divisée par l’effectif total, ici $5+3+2=10$. Diviser par trois revient à compter les valeurs distinctes, et additionner les effectifs sans pondérer les valeurs ne calcule pas la moyenne.

Explication

Les carrés des écarts à 3 sont $4,1,1,4$, dont la somme vaut 10; en divisant par l’effectif 4, on obtient $V=2,5$. La valeur 3,33 correspond à une division par $n-1$, tandis que la moyenne des écarts absolus et l’omission du carré sont d’autres calculs.

Explication

Avec un effectif pair, la médiane est la demi-somme des deux valeurs de rangs centraux : $(12+16)/2=14$. Prendre seulement 12 traiterait à tort la série comme si elle avait un rang central unique; 28 est la somme sans division par deux.

Explication

Le premier quartile est la plus petite valeur pour laquelle au moins 25 % des observations lui sont inférieures ou égales; pour 12 valeurs, le rang 3 atteint ce seuil. Le troisième quartile correspond au seuil d’au moins 75 %, atteint ici au rang 9; les rangs centraux concernent la médiane, et les extrémités ne définissent pas les quartiles.

Explication

Une fonction associe à chaque réel de son ensemble de définition une image unique. Une association à plusieurs images n’est pas une fonction, l’échange des rôles confond image et antécédent, et l’image n’est pas nécessairement dans E.

Explication

Les solutions de $f(x)=6$ sont les abscisses des points de la courbe dont l’ordonnée vaut 6 : ici 2 et 5. L’ordonnée 6 est la valeur recherchée, tandis que les images de 2 et 5 ou une seule abscisse ne donnent pas l’ensemble des antécédents.

Explication

La proportion est $\frac{28}{80}=0{,}35$, soit $35\%$ après multiplication par 100. Le rapport inversé donne une valeur supérieure à 100 %, et omettre la conversion laisse 0,35 sous forme décimale.

Explication

La proportion de la réunion est $32\%+24\%-9\%=47\%$ : l’intersection est retranchée une fois, car elle a été comptée dans les deux proportions. L’addition simple compte deux fois les personnes communes, tandis que les deux autres calculs retranchent excessivement l’intersection.

Explication

Le taux d’évolution se calcule par rapport à la valeur initiale : $\frac{46-40}{40}=0{,}15$, soit 15 %. Diviser par la valeur finale donne environ 13,0 %, le rapport final sur initial vaut 115 % avant soustraction de 100 %, et inverser la variation donne un signe négatif.

Explication

Les coefficients multiplicateurs se composent : $1{,}10\times0{,}90=0{,}99$, donc le taux global est $0{,}99-1=-0{,}01$, soit −1 %. Les taux ne s’additionnent pas, et la seconde baisse porte sur le prix après augmentation.

Explication

Une fonction affine s’écrit $f(x)=ax+b$, avec $a$ et $b$ réels ; ici, $a=5$ et $b=-2$. Le polynôme du second degré comporte un terme en $x^2$, tandis que les fonctions carrée et inverse ont des formes différentes.

Explication

La fonction carrée associe à $x$ la valeur $x^2$ ; ainsi, $(-4)^2=16$. $-16$ conserve à tort le signe négatif, $8$ correspond au double de $4$ et $2$ à sa racine carrée.

Explication

La fonction inverse est définie pour tout réel non nul, car son expression comporte une division par $x$. Inclure zéro rendrait le dénominateur nul, tandis que le domaine comprend aussi bien les réels positifs que les réels négatifs.

Explication

La fonction racine carrée est définie sur les réels positifs ou nuls : $0$ appartient donc à son domaine. Les trois autres valeurs sont négatives et ne peuvent pas être des entrées de cette fonction dans les réels.

Explication

L’univers, noté $\Omega$, est l’ensemble des issues possibles d’une expérience aléatoire. Une issue est un résultat particulier, un événement est une partie de l’univers et une probabilité est une valeur numérique associée.

Explication

La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des issues qui lui appartiennent : $0,15+0,35=0,50$. $0,0525$ résulte d’une multiplication, $0,20$ d’une soustraction et $0,35$ omet une issue.

Explication

La formule de la réunion est $p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)$. Le calcul donne $0,6+0,5-0,2=0,9$ ; $1,1$ oublie de retrancher l’intersection, tandis que $0,7$ la retranche deux fois et $0,2$ est la probabilité de l’intersection.

Explication

Une suite numérique est une liste numérotée de réels : $n$ indique le rang et $u_n$ est le terme situé à ce rang. Les réponses qui inversent rang et terme confondent les deux notations, tandis que celles faisant de l’un une raison attribuent à la notation un autre rôle.

Explication

Une définition par récurrence donne le premier terme, ici $u_0=4$, puis une relation qui calcule $u_{n+1}$ à partir de $u_n$. Une formule explicite donne directement un terme selon son rang, et les autres réponses inversent le sens de la relation ou omettent la valeur initiale.

Explication

Une suite arithmétique a une différence constante entre deux termes consécutifs ; ici cette raison est $12$. La multiplication par 12 correspond à une suite géométrique, la soustraction inverse l’augmentation et l’ajout de $12n$ ne conserve pas une différence constante.

Explication

Pour une suite arithmétique, $u_n=u_0+nr$ ; ainsi $u_5=7+5\times4=27$. La valeur 20 omet le premier terme, 28 multiplie le rang par la raison sans ajouter $u_0$, et 11 n’ajoute la raison qu’une fois.

Explication

Une suite géométrique de raison $q$ vérifie $u_{n+1}=q u_n$ ; doubler chaque mesure correspond donc à $q=2$. Ajouter 2 décrit une différence constante, multiplier par $\frac{1}{2}$ divise le terme par deux, et ajouter le rang ne donne pas un rapport constant.

Explication

Entre les rangs 2 et 5, il y a trois étapes : $u_5=q^{5-2}u_2=3^3\times6=162$. La valeur 486 utilise la puissance 5 au lieu de l’écart des rangs, 15 applique une progression additive et $\frac{2}{9}$ provient d’une opération qui inverse la raison.

Explication

Une variable aléatoire est une fonction qui attribue un réel à chaque issue de l’ensemble Ω. Associer une issue à un réel inverse le rôle de la fonction, tandis que l’événement ou la probabilité ne constitue pas la définition demandée.

Explication

La moyenne vaut $0,75\times0+0,25\times4=1$, puis la variance vaut $0,75(0-1)^2+0,25(4-1)^2=3$ ; l’écart-type est donc $\sqrt{3}$. La valeur 3 est la variance, 1 la moyenne, et 4 correspond à la valeur maximale de X.

Explication

Une épreuve de Bernoulli possède deux issues, le succès de probabilité p et l’échec de probabilité $1-p$ ; ici, son paramètre est donc 0,3. Le paramètre 0,7 attribue au succès la probabilité de l’échec, tandis que 0,5 suppose à tort des issues équiprobables.

Explication

Pour une loi binomiale, $\sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}$ ; ici, $\sigma(X)=\sqrt{20\times0,25\times0,75}=\sqrt{3,75}$. La valeur 5 est l’espérance, 3,75 la variance, et $\sqrt{5}$ omet le facteur $1-p$.

Explication

La fonction est dérivable en a si le taux de variation admet une limite finie lorsque h tend vers 0, et cette limite est f′(a). Une limite nulle ou infinie n’est pas la condition générale, et la différence des valeurs seule n’est pas le taux de variation.

Explication

La tangente en a a pour équation $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ ; avec a=3, f′(3)=−2 et f(3)=5, on obtient $y=-2(x-3)+5$. L’option avec pente 5 confond valeur et dérivée, celle avec pente 2 inverse le signe, et $y=-2x+5$ ne passe pas par le point (3 ; 5).

Explication

Si f′(x)≤0 sur un intervalle, alors f y est décroissante. Le signe opposé indique la croissance, tandis qu’une dérivée non positive n’implique pas à elle seule que f soit constante ou strictement décroissante.

Explication

Un ajustement affine est une droite qui passe au plus près des points d’un nuage de forme allongée. Le point moyen est un point, et non une droite ; une droite horizontale ou reliant les seuls points extrêmes ne caractérise pas cette définition.

Explication

La droite de régression de y en x est l’unique droite passant par le point moyen qui minimise la somme des carrés des écarts verticaux. La régression de x en y privilégie les écarts horizontaux ; le passage par le point moyen seul ne suffit pas, et minimiser les écarts non carrés est un autre critère.

Explication

Un numérateur tendant vers un réel positif non nul divisé par un dénominateur positif tendant vers zéro donne une limite $+\infty$ ; le signe constant du dénominateur permet de fixer le signe. La forme indéterminée ne s’applique pas ici, le dénominateur ne change pas de signe et le cas d’un quotient de deux limites non nulles ne convient pas.

Explication

La continuité en $a$ est définie par l’égalité entre la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $a$ et la valeur $f(a)$. La continuité sur un intervalle exige cette propriété en chaque point, tandis qu’une limite existante ou distincte de $f(a)$ ne suffit pas.

Explication

Par continuité sur l’intervalle, toute valeur comprise entre $f(a)$ et $f(b)$ est atteinte en au moins un point entre $a$ et $b$. La valeur intermédiaire n’a pas à être une valeur d’extrémité, son point d’atteinte n’est pas nécessairement unique, et rien ne garantit qu’il soit au milieu.

Explication

La première valeur de la dimension indique le nombre de lignes et la seconde le nombre de colonnes ; une matrice carrée d’ordre 3 est de dimension 3 × 3. Inverser lignes et colonnes donne 3 × 4, tandis que 3 lignes sans 3 colonnes ne définit pas une matrice carrée.

Explication

Le produit est défini lorsque le nombre de colonnes de A égale le nombre de lignes de B ; ses dimensions extérieures donnent alors une matrice 2 × 4. L’égalité lignes-colonnes dans l’autre sens confond la condition, conserver la dimension de A ignore le produit, et multiplier les dimensions ne donne pas sa forme.

Explication

Comme A est inversible, multiplier l’équation AX = B à gauche par A⁻¹ donne X = A⁻¹B. Le produit AB ne neutralise pas A, l’ordre BA⁻¹ n’est pas celui de l’isolement de X, et une soustraction ne résout pas cette équation matricielle.

Explication

Deux matrices de même dimension sont égales si et seulement si chacun de leurs coefficients correspondants est égal. Une somme identique ou des dimensions identiques ne garantissent pas cette égalité, et la comparaison de la diagonale ne vérifie pas tous les coefficients.

Explication

La marge vaut $\frac{1}{\sqrt{100}}=0,10$, donc l’intervalle est $[0,40-0,10\ ;\ 0,40+0,10]=[0,30\ ;\ 0,50]$. Une marge de 0,01 oublie la racine, un intervalle centré sur la fréquence relève de l’estimation, et une marge de 0,20 double la valeur correcte.

Explication

La règle de décision rejette la proportion supposée lorsque la fréquence observée est hors de l’intervalle de fluctuation. Accepter correspond au cas où elle appartient à l’intervalle, tandis qu’estimer une proportion inconnue relève de l’intervalle de confiance.

Explication

La marge est $\frac{1}{\sqrt{100}}=0,10$ ; on obtient donc $[0,60-0,10\ ;\ 0,60+0,10]=[0,50\ ;\ 0,70]$. L’intervalle doit être centré sur la fréquence observée, et les marges 0,01 ou 0,20 ne correspondent pas à la formule.