Fiche de révision : Suites arithmétiques et géométriques

📋 Plan du Cours

1. Sens de variation des suites
2. Variation des suites explicites
3. Définition des suites arithmétiques
4. Formules et applications arithmétiques
5. Sommes des suites arithmétiques
6. Définition des suites géométriques
7. Variation des suites géométriques
8. Sommes des suites géométriques

📖 1. Sens de variation des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite croissante : Lorsque chaque terme est inférieur au terme suivant, soit $u_n<u_{n+1}$.
• Suite décroissante : Lorsque chaque terme est supérieur au terme suivant, soit $u_{n+1}<u_n$.

📝 Points essentiels

• La suite définie par $u_n=(-1)^n$ alterne entre 1 et −1 et n’est donc pas monotone.

📖 2. Variation des suites explicites

★ À maîtriser

📌 Si une suite est définie par $u_n=f(n)$ et que f est croissante sur $\mathbb{R}^+$, alors la suite est croissante.

• Pour comparer deux termes consécutifs, on peut étudier le signe de $W_{n+1}-W_n$ ; si cette différence est positive, alors la suite est croissante.

Compléments

📌 Si une suite est définie par $u_n=f(n)$ et que f est décroissante sur $\mathbb{R}^+$, alors la suite est décroissante.

• Pour $W_n=3^n-8$, on obtient $W_{n+1}-W_n=2\times3^n>0$, donc la suite est croissante.

📖 3. Définition des suites arithmétiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Définie par la relation $u_{n+1}=u_n+r$, où r est un réel appelé raison, et par la donnée d’un terme initial, tel que $u_0$ ou $u_1$.

📝 Points essentiels

• Dans une suite arithmétique, chaque terme s’obtient en ajoutant la raison au terme précédent.

• Pour une suite arithmétique de premier terme $u_0=7$ et de raison $r=3$, les termes suivants sont $u_1=10$, $u_2=13$ et $u_3=16$.

📖 4. Formules et applications arithmétiques

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une suite arithmétique de premier terme $u_0$ et de raison r, le terme général est $u_n=u_0+nr$.

• La capacité de 8275 t est dépassée lorsque $8200+2{,}8n>8275$, soit pour la première fois à $n=27$, correspondant à 2027.

Compléments

📐 Formule - Pour une suite arithmétique et des indices $0\leq p\leq n$, on a $u_n=u_p+(n-p)r$.

• Une usine traitant 8200 t en 2010 et augmentant sa capacité de 2,8 t par an est modélisée par $u_0=8200$ et $u_n=8200+2{,}8n$.

• Une suite arithmétique de premier terme 3 et de raison 2 est représentée par des points isolés alignés dans un repère.

📖 5. Sommes des suites arithmétiques

★ À maîtriser

📐 Formule - La somme des n premiers entiers naturels non nuls est $1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}$.

📐 Formule - Pour une suite arithmétique, la somme des termes de $u_0$ à $u_n$ vaut $\sum_{i=0}^{n}u_i=(n+1)\frac{u_0+u_n}{2}$.

Compléments

• La somme des entiers de 1 à 26 vaut $\frac{26\times27}{2}=351$.

• Pour une suite arithmétique de premier terme 5 et de raison 2, la somme de $u_0$ à $u_{10}$ vaut 165.

📖 6. Définition des suites géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite géométrique : Définie par $u_n=u_{n-1}q$, où q est la raison, et par la donnée d’un terme initial, tel que $u_0$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison q, le terme général est $u_n=u_0q^n$.

Compléments

• Une production de 70 210 en 2010 qui augmente de 5 % par an est modélisée par $u_0=70210$ et $u_n=70210\times1{,}05^n$.

• La représentation graphique d’une suite géométrique est constituée de points isolés qui ne sont pas alignés dans les exemples présentés.

📖 7. Variation des suites géométriques

📝 Points essentiels

📌 Pour une suite géométrique avec $u_0>0$, la suite est décroissante si $0<q<1$, croissante si $q>1$ et non monotone si $q<0$.

💡 Astuce mémo

Avec q positif, le signe de u₀ conserve ou inverse le sens de variation.

📖 8. Sommes des suites géométriques

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour $q\ne1$, la somme des puissances de 0 à n est $1+q+q^2+\cdots+q^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$.

📐 Formule - Pour une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q\ne1$, la somme des termes de $u_0$ à $u_n$ vaut $\sum_{i=0}^{n}u_i=u_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$.

Compléments

• La somme $1+2+2^2+\cdots+2^7$ vaut 255.

• Pour une production de 714 t en 2013 qui augmente de 7 % par an, le modèle est $u_n=714\times1{,}07^n$.