Fiche de révision : Racine carrée d’un réel

📋 Plan du Cours

1. Définition et nature des racines
2. Propriétés et calculs sur les radicaux
3. Rationalisation des dénominateurs
4. Histoire et usages de √2
5. Équations et racines carrées
6. Résolution d’équations du second degré
7. Vérification et équation linéaire
8. Propriétés des racines carrées

📖 1. Définition et nature des racines

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine carrée : L’unique réel positif dont le carré est égal à a.

★ À maîtriser

📌 La racine carrée d’un réel négatif n’existe pas dans l’ensemble des réels ℝ.

Compléments

• Une racine carrée qui est un entier correspond à un carré parfait, tandis que √2 est irrationnel et possède une infinité de décimales non périodiques.

💡 Astuce mémo

√(−5) n’existe pas dans ℝ ; −√5 existe et est négatif

📖 2. Propriétés et calculs sur les radicaux

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour a ≥ 0 et b ≥ 0, $\sqrt{ab}=\sqrt a\times\sqrt b$.

📐 Formule - Pour a ≥ 0 et b > 0, $\frac{\sqrt a}{\sqrt b}=\sqrt{\frac ab}$.

📌 La racine d’une somme ne se sépare pas en somme de racines : √(a+b) n’est pas égal à √a + √b.

Compléments

📐 Formule - Pour tout réel a, $\sqrt{a^2}=|a|$.

• Pour simplifier une racine, on peut extraire un facteur carré parfait : √24 = 2√6.

📖 3. Rationalisation des dénominateurs

★ À maîtriser

• Pour rendre entier le dénominateur d’un quotient comportant une racine, on multiplie le numérateur et le dénominateur par une expression qui élimine la racine du dénominateur.

• Pour rendre entier le dénominateur d’un quotient contenant une racine carrée, on multiplie le numérateur et le dénominateur par cette racine ; pour un dénominateur de la forme $\sqrt a-\sqrt b$, on multiplie par son conjugué $\sqrt a+\sqrt b$.

Compléments

• Pour rationaliser 1/(√14 − √5), on multiplie par le conjugué √14 + √5 et l’on obtient (√14 + √5)/9.

• La rationalisation donne $\frac{2}{\sqrt2}=\sqrt2$, $\frac{2\sqrt2}{\sqrt3}=\frac{2\sqrt6}{3}$ et $\frac{\sqrt2+1}{\sqrt5}=\frac{\sqrt{10}+\sqrt5}{5}$.

• En multipliant par le conjugué, $\frac{1}{\sqrt5-\sqrt2}=\frac{\sqrt5+\sqrt2}{3}$.

💡 Astuce mémo

Multiplier en haut et en bas par le conjugué fait disparaître la racine du dénominateur

📖 4. Histoire et usages de √2

★ À maîtriser

• Les formats de papier internationaux ISO 216 ont une proportion longueur/largeur égale à √2.

Compléments

• Les mathématiciens grecs ont montré vers le Vᵉ siècle av. J.-C. que la diagonale et le côté d’un carré sont incommensurables, ce qui revient à dire que √2 est irrationnel.

• Dans les formats de papier A et B de la norme ISO 216 et C de la norme ISO 269, couper une feuille en deux parties égales par la largeur produit deux feuilles semblables à l’original lorsque le rapport longueur/largeur vaut √2.

• Le rapport √2 intervient aussi dans le rapport des fréquences de la quarte augmentée, dans la tension maximale par rapport à la tension efficace du courant alternatif monophasé domestique et dans la raison de la suite des valeurs d’ouverture du diaphragme photographique.

💡 Astuce mémo

Rapport longueur/largeur égal à √2 → deux feuilles ISO semblables après découpe

📖 5. Équations et racines carrées

★ À maîtriser

• Pour résoudre une équation de la forme $x^2=q$ dans ℝ, si q > 0, les solutions sont $x=\sqrt q$ et $x=-\sqrt q$.

Compléments

📌 Pour résoudre ax − b = cx + d lorsque a, b, c et d sont réels et a − c ≠ 0, on obtient $x=\frac{b+d}{a-c}$.

• Dans l’équation 3x² − 6√2x + 6 = 0, √2 est une solution, car le membre de gauche vaut 3 × 2 − 6 × 2 + 6 = 0 en remplaçant x par √2.

📖 6. Résolution d’équations du second degré

★ À maîtriser

• Pour résoudre une équation ramenée à $x^2=q$ avec $q>0$, on prend les deux solutions $x=\sqrt q$ et $x=-\sqrt q$, puis on les rassemble dans l’ensemble solution.

Compléments

• L’équation $x^2+1=17$ a pour solutions $-4$ et $4$.

• L’équation $\frac{2x^2+1}{3}=15$ a pour solutions $-\sqrt{22}$ et $\sqrt{22}$.

📖 7. Vérification et équation linéaire

★ À maîtriser

• Pour vérifier qu’un nombre est solution d’une équation, on le substitue à l’inconnue et on vérifie que l’égalité obtenue est vraie.

• Si $a-c\ne0$, l’équation $ax-b=cx+d$ se résout en isolant $x$, ce qui donne $x=\frac{b+d}{a-c}$.

Compléments

• Le nombre $\sqrt2$ est solution de $3x^2-6\sqrt2x+6=0$, car la substitution donne $3\times2-6\times2+6=0$.

📖 8. Propriétés des racines carrées

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour $a\geq0$ et $b\geq0$, $\sqrt{ab}=\sqrt a\times\sqrt b$.

Compléments

📐 Formule - Pour $a\geq0$, $8\sqrt a-7\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a$.