QCM : Racine carrée d’un réel (7 questions)

Questions et réponses du QCM

1. On compare les racines carrées de 4949 et de 22. Quelles propositions sont exactes ?

La racine carrée de 4949 est un entier, car 4949 est un carré parfait.
La racine carrée de 22 est rationnelle, car elle possède une écriture décimale périodique.
La racine carrée de 22 est un entier, car 22 est un carré parfait.
La racine carrée de 4949 est irrationnelle et possède une infinité de décimales non périodiques.
La racine carrée de 22 est irrationnelle et possède une infinité de décimales non périodiques.

La racine carrée de $$49$$ est un entier, car $$49$$ est un carré parfait. · La racine carrée de $$2$$ est irrationnelle et possède une infinité de décimales non périodiques.

Explication

49=7249=7^2, donc 49=7\sqrt{49}=7 est entier et correspond à un carré parfait. 2\sqrt2 est irrationnel : ses décimales sont infinies et non périodiques, contrairement aux propositions qui la qualifient de rationnelle ou d’entière.

2. On simplifie des racines en extrayant les facteurs carrés parfaits. Quelles propositions sont exactes ?

La simplification de 54\sqrt{54} donne 636\sqrt{3}.
La simplification de 75\sqrt{75} donne 535\sqrt{3}.
La simplification de 24\sqrt{24} donne 323\sqrt{2}.
La simplification de 24\sqrt{24} donne 262\sqrt{6}.
La simplification de 54\sqrt{54} donne 363\sqrt{6}.

La simplification de $$\sqrt{75}$$ donne $$5\sqrt{3}$$. · La simplification de $$\sqrt{24}$$ donne $$2\sqrt{6}$$. · La simplification de $$\sqrt{54}$$ donne $$3\sqrt{6}$$.

Explication

On extrait les facteurs carrés parfaits : 24=4×6=26\sqrt{24}=\sqrt{4\times6}=2\sqrt6, 54=9×6=36\sqrt{54}=\sqrt{9\times6}=3\sqrt6 et 75=25×3=53\sqrt{75}=\sqrt{25\times3}=5\sqrt3. Les expressions proposées comme résultats pour 24\sqrt{24} et 54\sqrt{54} dans les deux autres cas ne leur sont pas égales.

3. À propos des propriétés et usages de 2\sqrt2, quelles propositions sont exactes ?

La diagonale et le côté d’un carré ont été montrés commensurables par les Grecs vers le Vᵉ siècle av. J.-C.
Le rapport des fréquences de la quarte augmentée vaut 3\sqrt3.
Les formats de papier internationaux ISO 216 ont une proportion longueur/largeur égale à 2\sqrt2.
En photographie, les valeurs d’ouverture du diaphragme forment une suite géométrique de raison 3\sqrt3.
Les mathématiciens grecs ont établi l’irrationalité de 2\sqrt2 au Vᵉ siècle après J.-C.

Les formats de papier internationaux ISO 216 ont une proportion longueur/largeur égale à $$\sqrt2$$.

Explication

La proportion longueur/largeur des formats ISO 216 vaut 2\sqrt2. En musique, le rapport des fréquences de la quarte augmentée de la gamme tempérée vaut également 2\sqrt2, et non 3\sqrt3. En photographie, les valeurs d’ouverture du diaphragme sont les valeurs approchées d’une suite géométrique de raison 2\sqrt2, et non 3\sqrt3. Les Grecs ont établi vers le Vᵉ siècle av. J.-C. l’incommensurabilité de la diagonale et du côté du carré, ce qui signifie que 2\sqrt2 est irrationnel.

4. Une élève remplace xx par 2\sqrt{2} dans 3x2−62x+6=03x^2-6\sqrt{2}x+6=0. Quelle(s) proposition(s) est(sont) exacte(s) ?

Le premier terme devient 323\sqrt{2}, puisque le carré conserve la racine.
Le membre de gauche vaut 6−6+6=66-6+6=6, donc la substitution n’annule pas l’équation.
Le deuxième terme devient −6×2=−12-6\times2=-12 après substitution de x=2x=\sqrt{2}.
Le premier terme devient 3×2=63\times2=6, puisque (2)2=2\left(\sqrt{2}\right)^2=2.
Le terme constant devient 626\sqrt{2} lorsque x=2x=\sqrt{2}.

Le deuxième terme devient $$-6\times2=-12$$ après substitution de $$x=\sqrt{2}$$. · Le premier terme devient $$3\times2=6$$, puisque $$\left(\sqrt{2}\right)^2=2$$.

Explication

Comme (2)2=2\left(\sqrt{2}\right)^2=2, le premier terme vaut 66, et le deuxième vaut −62×2=−12-6\sqrt{2}\times\sqrt{2}=-12. Le terme constant reste 66, donc le membre de gauche vaut 6−12+6=06-12+6=0 : 2\sqrt{2} est bien une solution.

5. On résout l’équation 2x2+13=15\frac{2x^2+1}{3}=15. Parmi les propositions suivantes, lesquelles sont exactes ?

L’équation se ramène à x2=11x^2=11 après simplification.
Les solutions sont −22-\sqrt{22} et 22\sqrt{22}.
La soustraction de 1 conduit à 2x2=432x^2=43.
L’ensemble des solutions est {−22;22}\{-22;22\}.
Après multiplication par 3, on obtient 2x2+1=452x^2+1=45.

Les solutions sont $$-\sqrt{22}$$ et $$\sqrt{22}$$. · Après multiplication par 3, on obtient $$2x^2+1=45$$.

Explication

La multiplication par 3 donne 2x2+1=452x^2+1=45, puis x2=22x^2=22 : les deux solutions sont donc −22-\sqrt{22} et 22\sqrt{22}. La soustraction correcte donne 2x2=442x^2=44, et non 43 ; on ne divise pas par 2 pour obtenir 11, et les solutions ne sont pas ±22\pm22.

6. Pour vérifier si 2\sqrt2 est solution de 3x2−62x+6=03x^2-6\sqrt2x+6=0, quelle(s) proposition(s) est(sont) exacte(s) ?

La vérification consiste à résoudre l’équation avant d’examiner 2\sqrt2.
Le membre de gauche après substitution vaut 3×2−6×2+6=03\times2-6\times2+6=0.
La substitution donne 3×2−6×2+63\times2-6\times\sqrt2+6 comme membre de gauche.
La substitution de 2\sqrt2 donne un membre de gauche égal à 6.
On remplace l’inconnue xx par 2\sqrt2 dans chaque terme de l’équation.

Le membre de gauche après substitution vaut $$3\times2-6\times2+6=0$$. · On remplace l’inconnue $$x$$ par $$\sqrt2$$ dans chaque terme de l’équation.

Explication

Vérifier une solution consiste à substituer sa valeur à l’inconnue, puis à contrôler l’égalité obtenue. Ici, x2=2x^2=2 et 2×2=2\sqrt2\times\sqrt2=2, donc le membre de gauche vaut 6−12+6=06-12+6=0 ; les expressions proposées avec un terme non simplifié ou un résultat égal à 6 sont erronées.

7. Pour a≥0a\geq0, simplifiez les expressions suivantes :

5a−2a+a=4a5\sqrt a-2\sqrt a+\sqrt a=4\sqrt a
6a−3a+a=4a6\sqrt a-3\sqrt a+\sqrt a=4\sqrt a
7a−3a+a=3a7\sqrt a-3\sqrt a+\sqrt a=3\sqrt a
8a−5a+2a=6a8\sqrt a-5\sqrt a+2\sqrt a=6\sqrt a
9a−4a+a=7a9\sqrt a-4\sqrt a+\sqrt a=7\sqrt a

$$5\sqrt a-2\sqrt a+\sqrt a=4\sqrt a$$ · $$6\sqrt a-3\sqrt a+\sqrt a=4\sqrt a$$

Explication

Les racines de même radicande se réduisent en additionnant leurs coefficients : 6−3+1=46-3+1=4 et 5−2+1=45-2+1=4. Les autres coefficients donnent respectivement 66, 55 et 55, et non les résultats annoncés.

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Comment définit-on la racine carrée d’un réel positif ou nul aa ?

C’est l’unique réel positif dont le carré vaut aa.

Quelle est la racine carrée d’un réel négatif dans R\mathbb{R} ?

Elle n’existe pas dans R\mathbb{R}.

Pour quels nombres a et b vaut la formule ab=a×b\sqrt{ab}=\sqrt a\times\sqrt b ?

Pour a≥0a\geq 0 et b≥0b\geq 0.

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