QCM : Suites bornées et arithmético-géométriques — 6 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle relation définit une suite arithmético-géométrique ?

Elle vérifie Un+1=Un+bU_{n+1}=U_n+b, avec b réel.
Elle vérifie Un+1=Un2+bU_{n+1}=U_n^2+b, avec b réel.
Elle vérifie Un+1=aUn+bU_{n+1}=aU_n+b, avec a≠1a\neq1.
Elle vérifie Un+1=aUnU_{n+1}=aU_n, avec a réel.

Elle vérifie $$U_{n+1}=aU_n+b$$, avec $$a\neq1$$.

Explication

Une suite arithmético-géométrique est régie par une relation affine de la forme Un+1=aUn+bU_{n+1}=aU_n+b avec a≠1a\neq1. Une relation de proportionnalité sans terme additif définit plutôt une suite géométrique.

2. Pour établir que Zn=2nn+5Z_n=\frac{2n}{n+5} est bornée, quelle démarche fournit directement un encadrement valable ?

Montrer que Zn<0Z_n<0 et que Zn+2=10n+5>0Z_n+2=\frac{10}{n+5}>0, puis conclure que −2<Zn≤0-2<Z_n\leq0.
Montrer que Zn=2+10n+5Z_n=2+\frac{10}{n+5}, puis conclure que Zn>2Z_n>2.
Montrer que Zn=n+5Z_n=n+5, puis conclure que la suite reste dans un intervalle fixe.
Montrer que Zn>0Z_n>0 et que Zn−2=−10n+5<0Z_n-2=-\frac{10}{n+5}<0, puis conclure que 0≤Zn<20\leq Z_n<2.

Montrer que $$Z_n>0$$ et que $$Z_n-2=-\frac{10}{n+5}<0$$, puis conclure que $$0\leq Z_n<2$$.

Explication

La positivité de ZnZ_n et l’inégalité Zn−2<0Z_n-2<0 donnent l’encadrement 0≤Zn<20\leq Z_n<2. L’expression correcte de la différence est négative, ce qui exclut l’affirmation selon laquelle les termes seraient supérieurs à 2.

3. Quel énoncé décrit correctement la suite définie par Xn=n2X_n=n^2 ?

Elle est bornée entre 0 et 1.
Elle est minorée par 1 et majorée par 0.
Elle est minorée par 0 et non majorée.
Elle est majorée par 0 et non minorée.

Elle est minorée par 0 et non majorée.

Explication

Comme n2≥0n^2\geq0, la suite possède le minorant 0, tandis que ses termes deviennent arbitrairement grands lorsque n augmente. La borne inférieure ne suffit donc pas à rendre cette suite bornée.

4. Pour une suite vérifiant Un+1=aUn+bU_{n+1}=aU_n+b avec a≠1a\neq1, quelle transformation rend la suite géométrique ?

Définir Vn=Un−b1−aV_n=U_n-\frac{b}{1-a}, alors la raison de VnV_n est a.
Définir Vn=aUn+bV_n=aU_n+b, alors la raison de VnV_n est UnU_n.
Définir Vn=Un+b1−aV_n=U_n+\frac{b}{1-a}, alors la raison de VnV_n est b.
Définir Vn=Un−bV_n=U_n-b, alors la raison de VnV_n est a+1a+1.

Définir $$V_n=U_n-\frac{b}{1-a}$$, alors la raison de $$V_n$$ est a.

Explication

La translation Vn=Un−b1−aV_n=U_n-\frac{b}{1-a} supprime le terme constant de la récurrence et conduit à une suite géométrique de raison a. La suite initiale reste arithmético-géométrique ; c’est la suite auxiliaire qui devient géométrique.

5. Pourquoi la suite définie par Yn=(−1)nY_n=(-1)^n est-elle bornée ?

Elle possède des termes qui dépassent chaque réel positif.
Tous ses termes appartiennent à l’ensemble des valeurs {−1,1}\{-1,1\}.
Ses termes sont positifs et croissent vers une limite finie.
Ses termes sont négatifs et décroissent vers moins l’infini.

Tous ses termes appartiennent à l’ensemble des valeurs $$\{-1,1\}$$.

Explication

La suite alterne entre les valeurs 1 et −1, qui restent dans un intervalle borné. Elle ne croît donc pas vers l’infini, contrairement à une suite non majorée.

6. Quelle condition caractérise une suite réelle bornée ?

Il existe un réel m tel que, pour tout n, Un≤mU_n\leq m.
Il existe deux réels m et M tels que, pour tout n, m≤Un≤Mm\leq U_n\leq M.
La suite admet une limite réelle lorsque n tend vers l’infini.
Il existe un réel M tel que, pour tout n, Un≥MU_n\geq M.

Il existe deux réels m et M tels que, pour tout n, $$m\leq U_n\leq M$$.

Explication

Une suite est bornée lorsqu’elle possède à la fois un minorant m et un majorant M qui encadrent tous ses termes. Une suite possédant une seule borne, par exemple un minorant, n’est pas nécessairement bornée.

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Qu'impose la définition d'une suite bornée ?

Il existe deux réels m et M tels que pour tout n, m≤Un≤Mm \leq U_n \leq M.

Pourquoi la suite Xn=n2X_n = n^2 n'est-elle pas majorée ?

Sa limite tend vers +∞+\infty quand nn tend vers +∞+\infty.

Par quelle valeur la suite Xn=n2X_n = n^2 est-elle minorée ?

Elle est minorée par 0.

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