Suites bornées et arithmético-géométriques

📋 Plan du Cours

1. Bornes et exemples de suites
2. Suites arithmético-géométriques

📖 1. Bornes et exemples de suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite bornée : Une suite $(U_n)$ est bornée s’il existe deux réels m et M tels que, pour tout entier naturel n, $m \leq U_n \leq M$.

📝 Points essentiels

📌 La suite $(X_n)$ définie par $X_n=n^2$ est minorée par 0 mais non majorée, car sa limite quand n tend vers +∞ est +∞.

• La suite $(Y_n)$ définie par $Y_n=(-1)^n$ est bornée car, pour tout entier naturel n, $-1<Y_n<1$.

• Pour montrer que la suite $(Z_n)$ définie par $Z_n=\frac{2n}{n+5}$ est bornée, on établit d’abord que $Z_n>0$, puis que $Z_n-2=-\frac{10}{n+5}<0$, d’où $Z_n<2$ et finalement $0\leq Z_n<2$.

💡 Astuce mémo

Minorée par 0, bornée entre −1 et 1, ou non majorée vers +∞

📖 2. Suites arithmético-géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmético-géométrique : Suite vérifiant, pour tout entier naturel n, $U_{n+1}=aU_n+b$, où a et b sont des réels avec $a\neq1$.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour une suite vérifiant $U_{n+1}=aU_n+b$ avec $a\neq1$, la suite auxiliaire définie par $V_n=U_n-\frac{b}{1-a}$ est une suite géométrique de raison a.

💡 Astuce mémo

Le décalage par la valeur fixe transforme la suite en suite géométrique