QCM : Suites et séries numériques (11 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Que représente une suite réelle (un) (u_n) et que désigne unu_n ?

Une liste finie de réels, dont unu_n désigne la somme des termes jusqu’à l’indice nn.
Une application de N\mathbb{N} dans R\mathbb{R}, dont unu_n est la limite lorsque l’indice vaut nn.
Une application de N\mathbb{N} dans R\mathbb{R}, dont unu_n est le terme d’indice nn.
Une application de R\mathbb{R} dans N\mathbb{N}, dont unu_n est l’indice du terme.

Une application de $$\mathbb{N}$$ dans $$\mathbb{R}$$, dont $$u_n$$ est le terme d’indice $$n$$.

Explication

Une suite réelle associe à chaque entier naturel un réel, et unu_n désigne la valeur associée à l’indice nn. L’application de R\mathbb{R} dans N\mathbb{N} inverse les ensembles de départ et d’arrivée.

2. Une suite vérifie un≤8u_n\leq 8 pour tout nn, mais aucune borne inférieure n’est connue. Quelle propriété peut-on affirmer ?

Elle est majorée, mais on ne peut pas conclure qu’elle est bornée.
Elle est bornée, car une borne supérieure suffit à limiter ses termes.
Elle est monotone, car tous ses termes respectent la même inégalité.
Elle est minorée, car tous ses termes restent sous une valeur fixe.

Elle est majorée, mais on ne peut pas conclure qu’elle est bornée.

Explication

La condition un≤8u_n\leq 8 fournit une borne supérieure, donc la suite est majorée, mais cela ne garantit pas l’existence d’une borne inférieure. Une suite bornée doit être à la fois majorée et minorée.

3. Quelle condition caractérise la convergence d’une suite (un) (u_n) vers ℓ\ell ?

Les termes sont exactement égaux à ℓ\ell dès qu’ils dépassent un certain rang.
Il existe un ε>0\varepsilon>0 tel que tous les termes soient à distance inférieure à ε\varepsilon de ℓ\ell.
Pour tout ε>0\varepsilon>0, les termes sont à distance inférieure à ε\varepsilon de ℓ\ell à partir d’un certain rang.
Pour tout rang NN, on peut trouver un terme à distance inférieure à chaque ε>0\varepsilon>0 de ℓ\ell.

Pour tout $$\varepsilon>0$$, les termes sont à distance inférieure à $$\varepsilon$$ de $$\ell$$ à partir d’un certain rang.

Explication

La convergence exige que, pour chaque précision positive, tous les termes à partir d’un certain rang soient à moins de cette précision de ℓ\ell. La simple existence d’un terme proche pour chaque précision ne garantit pas que les termes suivants le restent.

4. La suite un=(−1)nu_n=(-1)^n est bornée mais ne converge pas. Quelle conclusion générale illustre-t-elle ?

La convergence et la bornitude sont équivalentes pour toute suite réelle.
La bornitude entraîne la convergence, sauf lorsque les termes sont tous positifs.
La divergence entraîne la non-bornitude, sauf si les termes alternent entre deux valeurs.
La convergence entraîne la bornitude, mais la bornitude ne garantit pas la convergence.

La convergence entraîne la bornitude, mais la bornitude ne garantit pas la convergence.

Explication

Toute suite convergente est bornée, mais la réciproque est fausse, comme le montre la suite alternant entre 11 et −1-1. La bornitude à elle seule n’empêche donc pas une suite de diverger.

5. Que désigne une forme indéterminée lorsqu’on étudie la limite d’une suite ?

Une expression dont la limite est déterminée par les limites de ses termes
Une forme de limite qui ne permet pas de conclure sans transformation supplémentaire
Une expression qui prouve que la suite diverge vers l’infini
Une limite dont la valeur est nécessairement égale à zéro

Une forme de limite qui ne permet pas de conclure sans transformation supplémentaire

Explication

Une forme indéterminée, comme 0/00/0 ou ∞/∞\infty/\infty, ne suffit pas à déterminer la limite et demande une transformation supplémentaire. À l’inverse, connaître séparément les limites des termes ne garantit pas à elle seule une conclusion pour une forme indéterminée.

6. Dans R\mathbb{R} ou C\mathbb{C}, quelle propriété caractérise le lien entre convergence et condition de Cauchy pour une suite ?

Une suite converge si et seulement si elle est croissante et majorée.
Une suite converge si et seulement si elle est de Cauchy.
Une suite converge si et seulement si elle est monotone et bornée.
Une suite est de Cauchy si et seulement si elle est bornée.

Une suite converge si et seulement si elle est de Cauchy.

Explication

Dans R\mathbb{R} et C\mathbb{C}, la propriété de Cauchy est une condition à la fois nécessaire et suffisante pour la convergence d’une suite. La monotonie et le bornage fournissent certains critères de convergence, mais ne caractérisent pas toutes les suites convergentes.

7. Quel est le rôle de la raison rr dans le comportement à la limite d’une suite arithmétique définie par un=u0+nru_n=u_0+nr ?

Elle modifie le premier terme, tandis que la limite dépend uniquement de u0u_0.
Elle détermine si la suite tend vers +∞+\infty, vers −∞-\infty ou reste constante.
Elle fixe la limite de la suite à la valeur u0+ru_0+r, quel que soit son signe.
Elle détermine si la suite converge vers zéro ou diverge en oscillant.

Elle détermine si la suite tend vers $$+\infty$$, vers $$-\infty$$ ou reste constante.

Explication

La raison fixe la variation à chaque rang : positive, elle entraîne une limite +∞+\infty ; négative, une limite −∞-\infty ; nulle, la suite reste égale à u0u_0. La limite n’est donc pas déterminée par la seule somme u0+ru_0+r, comme le suggère un distracteur.

8. Quelle différence distingue une suite extraite d’une suite adjacente ?

Une suite extraite converge vers une valeur d’adhérence, tandis que des suites adjacentes sont deux suites ayant nécessairement des limites différentes.
Une suite extraite est définie par récurrence, tandis que des suites adjacentes sont deux suites dont la différence reste constante.
Une suite extraite est une suite monotone, tandis que des suites adjacentes sont deux suites dont les termes alternent entre des valeurs positives et négatives.
Une suite extraite sélectionne des termes selon des indices strictement croissants, tandis que des suites adjacentes sont deux suites monotones encadrées dont l’écart tend vers zéro.

Une suite extraite sélectionne des termes selon des indices strictement croissants, tandis que des suites adjacentes sont deux suites monotones encadrées dont l’écart tend vers zéro.

Explication

Une suite extraite reprend des termes d’une suite initiale à des indices strictement croissants, alors que l’adjacence décrit une relation entre deux suites monotones ordonnées dont la différence tend vers zéro. La convergence vers une valeur d’adhérence caractérise une sous-suite convergente, mais n’est pas la définition d’une suite extraite en général.

9. Si une série converge vers SS, quelle conséquence le reste Rn=S−SnR_n=S-S_n vérifie-t-il lorsque l’indice nn tend vers l’infini ?

Il tend vers la somme SS, car les sommes partielles tendent vers zéro.
Il tend vers zéro, car les sommes partielles tendent vers la somme de la série.
Il diverge, car chaque reste dépend de l’indice choisi.
Il devient constant, car les sommes partielles cessent de varier.

Il tend vers zéro, car les sommes partielles tendent vers la somme de la série.

Explication

La convergence des sommes partielles vers SS entraîne que leur différence avec SS tend vers zéro. La somme partielle tend vers SS, et non vers zéro, ce qui écarte l’idée que le reste tende vers SS.

10. Pour établir la convergence de ∑un\sum u_n, on sait que les termes sont positifs et que un=O(vn)u_n=O(v_n), tandis que ∑vn\sum v_n converge. Quel raisonnement permet de conclure ?

Utiliser le fait que unu_n est majoré à partir d’un certain rang par un multiple fixe de vnv_n, ce qui entraîne la convergence de ∑un\sum u_n.
Utiliser le fait que unu_n tend vers zéro, ce qui suffit à établir la convergence de ∑un\sum u_n.
Utiliser le fait que ∑vn\sum v_n converge, ce qui implique que un∼vnu_n\sim v_n et que les séries ont même nature.
Utiliser le fait que les termes sont positifs, ce qui entraîne la convergence de ∑un\sum u_n sans autre condition.

Utiliser le fait que $$u_n$$ est majoré à partir d’un certain rang par un multiple fixe de $$v_n$$, ce qui entraîne la convergence de $$\sum u_n$$.

Explication

La relation un=O(vn)u_n=O(v_n) fournit une majoration de unu_n par un multiple constant de vnv_n à partir d’un certain rang, et la convergence de la série positive ∑vn\sum v_n permet alors de conclure par comparaison. Le fait que unu_n tende vers zéro ne suffit pas à lui seul pour assurer la convergence de sa série.

11. Pour quelles valeurs de α\alpha et de β\beta la série ∑n≥21nαlog⁡βn\sum_{n\geq2}\frac{1}{n^\alpha\log^\beta n} converge-t-elle ?

Si α<1\alpha<1, ou si α=1\alpha=1 et β<1\beta<1
Si α≥1\alpha\geq1, ou si α<1\alpha<1 et β>1\beta>1
Si α>1\alpha>1 et β>1\beta>1, ou si α=1\alpha=1
Si α>1\alpha>1, ou si α=1\alpha=1 et β>1\beta>1

Si $$\alpha>1$$, ou si $$\alpha=1$$ et $$\beta>1$$

Explication

La série converge dès que α>1\alpha>1, quelle que soit la valeur de β\beta, et, au cas limite α=1\alpha=1, elle converge précisément lorsque β>1\beta>1. En particulier, la condition β>1\beta>1 ne suffit pas lorsque α<1\alpha<1.

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Comment définit-on une suite réelle et son terme général ?

C’est une application de N\mathbb{N} dans R\mathbb{R}, notée (un)(u_n), dont unu_n est le terme d’indice nn.

Quelle condition définit la convergence de la suite (un) (u_n) vers ℓ\ell ?

Pour tout ε>0\varepsilon>0, il existe N∈NN\in\mathbb{N} tel que ∣un−ℓ∣<ε|u_n-\ell|<\varepsilon pour tout n≥Nn\geq N.

Quelle propriété relie la convergence d’une suite à son caractère borné ?

Toute suite convergente est bornée.

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