Fiche de révision : Suites et séries numériques

📋 Plan du Cours

1. Définitions et propriétés des suites
2. Limites et opérations sur les suites
3. Comparaison et formes indéterminées
4. Suites monotones et suites de Cauchy
5. Suites de référence
6. Suites adjacentes et extraites
7. Sommes partielles et séries
8. Comparaisons asymptotiques des séries
9. Séries de Riemann et Bertrand
10. Critères de comparaison des séries
11. Séries alternées et règle d’Abel
12. Convergence absolue et produit de Cauchy

📖 1. Définitions et propriétés des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite : Une suite réelle est une application de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{R}$, notée $(u_n)$, et $u_n$ est son terme général d’indice $n$.
• Suite monotone : Une suite est croissante si $u_n\leq u_{n+1}$ pour tout $n$, décroissante si $u_n\geq u_{n+1}$ pour tout $n$, et monotone si elle est croissante ou décroissante.
• Suite bornée : Une suite est majorée s’il existe $M\in\mathbb{R}$ tel que $u_n\leq M$ pour tout $n$, minorée s’il existe $m\in\mathbb{R}$ tel que $u_n\geq m$, et bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

📝 Points essentiels

📌 Une suite est définie par son terme général lorsque chaque terme s’exprime en fonction de $n$, tandis qu’une suite définie par récurrence est déterminée à partir d’un terme initial et d’une relation entre termes successifs.

📖 2. Limites et opérations sur les suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Convergence : Une suite $(u_n)$ converge vers $\ell$ si, pour tout $\varepsilon>0$, il existe $N\in\mathbb{N}$ tel que $|u_n-\ell|<\varepsilon$ pour tout $n\geq N$.
• Limite infinie : Une suite tend vers $+\infty$ si, pour tout $A\geq0$, elle vérifie $u_n\geq A$ à partir d’un certain rang ; elle tend vers $-\infty$ si, pour tout $A\leq0$, elle vérifie $u_n\leq A$ à partir d’un certain rang.

📝 Points essentiels

• La limite d’une suite convergente est unique.

• Toute suite convergente est bornée, mais une suite bornée peut diverger, comme $u_n=(-1)^n$.

📖 3. Comparaison et formes indéterminées

★ À maîtriser

• Si $u_n\to\ell$ et $v_n\to\ell'$, alors $u_n+v_n\to\ell+\ell'$ et $u_nv_n\to\ell\ell'$.

• Si $u_n\to\ell$ et $v_n\to\ell'\neq0$, alors $u_n/v_n\to\ell/\ell'$.

📌 Si $u_n\leq v_n$ à partir d’un certain rang et si les deux suites convergent vers $\ell$ et $\ell'$, alors $\ell\leq\ell'$.

📌 Si $u_n\leq w_n\leq v_n$ à partir d’un certain rang et si $u_n$ et $v_n$ convergent vers la même limite $\ell$, alors $w_n\to\ell$.

• Les formes $+\infty-\infty$, $0\cdot\infty$, $\infty/\infty$ et $0/0$ sont indéterminées et ne permettent pas de conclure sans transformation supplémentaire.

Compléments

📌 Si $u_n\to+\infty$ et $u_n\leq v_n$ à partir d’un certain rang, alors $v_n\to+\infty$ ; si $u_n\to-\infty$ et $u_n\geq v_n$ à partir d’un certain rang, alors $v_n\to-\infty$.

💡 Astuce mémo

Le sens des inégalités distingue comparaison des limites et théorème des gendarmes.

📖 4. Suites monotones et suites de Cauchy

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite de Cauchy : Une suite est de Cauchy si, pour tout $\varepsilon>0$, il existe $N\in\mathbb{N}$ tel que $|u_p-u_q|\leq\varepsilon$ pour tous $p,q\geq N$.

📝 Points essentiels

📌 Toute suite croissante et majorée converge vers sa borne supérieure, et toute suite décroissante et minorée converge vers sa borne inférieure.

📌 Toute suite croissante non majorée tend vers $+\infty$, et toute suite décroissante non minorée tend vers $-\infty$.

• Dans $\mathbb{R}$ et $\mathbb{C}$, une suite converge si et seulement si elle est de Cauchy.

💡 Astuce mémo

Monotonie avec borne → convergence ; monotonie sans borne → divergence vers l’infini.

📖 5. Suites de référence

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Une suite arithmétique de premier terme $u_0$ et de raison $r$ vérifie $u_n=u_0+nr$.
• Suite géométrique : Une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$ vérifie $u_n=u_0q^n$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour $q\neq1$, la somme géométrique vérifie $\sum_{k=0}^{n}u_0q^k=u_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ ; si $|q|<1$, sa limite est $u_0/(1-q)$.

Compléments

• Pour une suite arithmétique $u_n=u_0+nr$, la limite vaut $+\infty$ si $r>0$, $-\infty$ si $r<0$ et $u_0$ si $r=0$.

📐 Formule - La somme des termes d’une suite arithmétique vérifie $\sum_{k=0}^{n}(u_0+kr)=\frac{(n+1)(2u_0+nr)}{2}$.

• Pour une suite géométrique de raison $q$, si $|q|<1$ alors $u_n\to0$, si $q=1$ la suite est constante égale à $u_0$, et si $q<-1$ elle diverge en oscillant.

• Pour $\alpha\in\mathbb{R}$, $n^\alpha\to0$ si $\alpha<0$, vaut constamment $1$ si $\alpha=0$, et tend vers $+\infty$ si $\alpha>0$ ; si $r>1$ et $\alpha>0$, alors $r^n/n^\alpha\to+\infty$.

📖 6. Suites adjacentes et extraites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suites adjacentes : Deux suites sont adjacentes si la première est croissante, la seconde décroissante, si $u_n\leq v_n$ pour tout $n$ et si $u_n-v_n\to0$.
• Suite extraite : Une suite $(v_n)$ est extraite de $(u_n)$ s’il existe une application strictement croissante $\varphi:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ telle que $v_n=u_{\varphi(n)}$.
• Valeur d’adhérence : Un réel $x$ est une valeur d’adhérence de $(u_n)$ s’il existe une suite extraite de $(u_n)$ qui converge vers $x$.

★ À maîtriser

• Deux suites adjacentes convergent vers la même limite.

• Toute suite extraite d’une suite convergeant vers $\ell$ converge elle aussi vers $\ell$.

• Toute suite bornée admet une sous-suite convergente, selon le théorème de Bolzano-Weierstrass. - Bolzano-Weiestrass

Compléments

📌 Une suite réelle ou complexe bornée admettant une seule valeur d’adhérence converge.

📌 Une suite converge vers $\ell$ si et seulement si ses suites de termes pairs $(u_{2n})$ et impairs $(u_{2n+1})$ convergent toutes deux vers $\ell$.

📖 7. Sommes partielles et séries

🔑 Notions clés & Définitions

• Série numérique : La série de terme général $u_n$ est la suite de sommes partielles $S_n=\sum_{k=0}^{n}u_k$ ; elle converge si cette suite converge, et sa somme est alors sa limite.
• Reste d’une série : Pour une série convergente de somme $S$, le reste d’indice $n$ est $R_n=S-S_n$ et tend vers zéro.

★ À maîtriser

📌 Toute série convergente vérifie $u_n\to0$, mais la convergence de $u_n$ vers zéro n’implique pas celle de la série.

📌 Une série à termes positifs dont les sommes partielles sont majorées converge.

Compléments

• La série géométrique $\sum_{n\geq0}u_0q^n$ converge vers $u_0/(1-q)$ si $|q|<1$.

📖 8. Comparaisons asymptotiques des séries

🔑 Notions clés & Définitions

• Grand O : On écrit $u_n=O(v_n)$ s’il existe $K>0$ et un rang $N$ tels que $|u_n|\leq K|v_n|$ pour tout $n\geq N$.
• Petit o : On écrit $u_n=o(v_n)$ si, pour tout $\varepsilon>0$, il existe $N$ tel que $|u_n|\leq\varepsilon|v_n|$ pour tout $n\geq N$.
• Équivalence asymptotique : On écrit $u_n\sim v_n$ lorsque $u_n-v_n=o(v_n)$.

★ À maîtriser

📌 Pour deux séries à termes positifs, si $\sum v_n$ converge et si $u_n=O(v_n)$, alors $\sum u_n$ converge.

📌 Pour deux séries à termes positifs, si $u_n\sim v_n$, les deux séries sont de même nature ; leurs restes sont équivalents en cas de convergence et leurs sommes partielles le sont en cas de divergence.

Compléments

• La série télescopique $\sum_{n\geq1}\left(\frac1{n^2}-\frac1{(n+1)^2}\right)$ converge et sa somme vaut $1$.

📖 9. Séries de Riemann et Bertrand

📝 Points essentiels

📌 La série $\sum_{n\geq1}1/n^\alpha$ converge si et seulement si $\alpha>1$.

📌 La série $\sum_{n\geq2}1/(n^\alpha\log^\beta n)$ converge si et seulement si $\alpha>1$, ou si $\alpha=1$ et $\beta>1$.

📖 10. Critères de comparaison des séries

★ À maîtriser

📌 Pour une série à termes strictement positifs, si $u_{n+1}/u_n\leq M<1$ à partir d’un rang, alors la série converge ; si $u_{n+1}/u_n\geq1$ à partir d’un rang, elle diverge.

📌 Pour une série à termes strictement positifs, si $u_{n+1}/u_n\to\ell<1$, la série converge, et si $\ell>1$, elle diverge ; le critère ne permet pas de conclure si $\ell=1$. - D’Alembert

Compléments

📌 Si $u_n,v_n$ sont strictement positifs à partir d’un rang et si $u_{n+1}/u_n\leq v_{n+1}/v_n$, la convergence de $\sum v_n$ entraîne celle de $\sum u_n$, et la divergence de $\sum u_n$ entraîne celle de $\sum v_n$.

• La série $\sum_{n\geq0}2^n/n!$ converge car le rapport de deux termes consécutifs tend vers zéro.

📖 11. Séries alternées et règle d’Abel

🔑 Notions clés & Définitions

• Série alternée : Une série alternée est de la forme $\sum(-1)^n v_n$, où $v_n$ est une suite positive.

📝 Points essentiels

📌 Si $v_n$ est positive, décroissante et tend vers zéro, alors la série alternée $\sum(-1)^n v_n$ converge et son reste vérifie $|R_n|\leq v_{n+1}$.

📌 La règle d’Abel assure la convergence de $\sum a_nv_n$ lorsque $a_n$ est positive, décroissante et tend vers zéro, et que les sommes partielles de $\sum v_n$ sont bornées.

📖 12. Convergence absolue et produit de Cauchy

🔑 Notions clés & Définitions

• Convergence absolue : Une série $\sum u_n$ est absolument convergente si la série $\sum|u_n|$ converge ; si elle converge sans être absolument convergente, elle est semi-convergente.
• Produit de Cauchy : Le produit de Cauchy de $\sum u_n$ et $\sum v_n$ est la série $\sum c_n$ définie par $c_n=\sum_{k=0}^{n}u_kv_{n-k}$.

★ À maîtriser

📌 Si $\sum u_n$ et $\sum v_n$ convergent absolument, leur produit de Cauchy converge absolument et sa somme vaut $\left(\sum u_n\right)\left(\sum v_n\right)$.

Compléments

• La série $\sum_{n\geq1}(-1)^n/n$ converge mais n’est pas absolument convergente, car la série harmonique $\sum_{n\geq1}1/n$ diverge.