Fiche de révision : Suites et systèmes SysML

📋 Plan du Cours

1. Notion et définition des suites
2. Suites explicites et récurrentes
3. Suites arithmétiques
4. Suites géométriques
5. Variations des suites
6. Principes du langage SysML
7. Diagrammes SysML du système
8. Chaînes d’information et d’énergie

📖 1. Notion et définition des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite : Une liste de nombres notés $u_0, u_1, u_2, u_3, \ldots$ et généralement représentée par $(u_n)$.
• Indice et terme : Dans une suite, $n$ est l’indice et $u_n$ est le terme de rang $n$.

📝 Points essentiels

• Pour la suite définie par $u_n=2n+3$, les premiers termes sont $u_0=3$, $u_1=5$, $u_2=7$ et $u_3=9$.

📖 2. Suites explicites et récurrentes

★ À maîtriser

📌 Une suite définie explicitement donne directement $u_n$ en fonction de $n$, tandis qu’une suite définie par récurrence donne un premier terme et une relation permettant de calculer le terme suivant.

Compléments

• Pour la suite explicitement définie par $u_n=3n+2$, on calcule $u_5=3\times5+2=17$.

• Pour la suite définie par $u_0=2$ et $u_{n+1}=u_n+3$, on obtient successivement $u_1=5$, $u_2=8$ et $u_3=11$.

💡 Astuce mémo

Explicite : on connaît directement le terme ; récurrence : on calcule le suivant.

📖 3. Suites arithmétiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Une suite dans laquelle on ajoute toujours le même nombre, appelé raison et noté $r$, pour passer d’un terme au suivant.

★ À maîtriser

📐 Formule — La relation de récurrence d’une suite arithmétique est $u_{n+1}=u_n+r$.

📐 Formule — Pour une suite arithmétique de premier terme $u_0$, la formule explicite est $u_n=u_0+n\times r$, tandis que pour un premier terme $u_1$ elle est $u_n=u_1+(n-1)r$.

Compléments

• Pour reconnaître une suite arithmétique, on calcule $u_{n+1}-u_n$ et la suite est arithmétique si cette différence est constante.

• Dans la suite $3{,}7{,}11{,}15{,}19$, les différences successives valent $4$, donc la raison est $r=4$.

💡 Astuce mémo

A = Addition : une même raison s’ajoute.

📖 4. Suites géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite géométrique : Une suite dans laquelle on multiplie toujours par le même nombre, appelé raison et noté $q$, pour passer d’un terme au suivant.

★ À maîtriser

📐 Formule — La relation de récurrence d’une suite géométrique est $u_{n+1}=u_n\times q$.

📐 Formule — Pour une suite géométrique de premier terme $u_0$, la formule explicite est $u_n=u_0\times q^n$, tandis que pour un premier terme $u_1$ elle est $u_n=u_1\times q^{n-1}$.

Compléments

• Pour reconnaître une suite géométrique, on calcule $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ et la suite est géométrique si ce quotient est constant.

• Dans la suite $2{,}6{,}18{,}54$, les quotients successifs valent $3$, donc la raison est $q=3$.

💡 Astuce mémo

G = Grossissement par multiplication : une même raison multiplie.

📖 5. Variations des suites

📝 Points essentiels

📌 Une suite est croissante si $u_{n+1}>u_n$, décroissante si $u_{n+1}<u_n$ et constante si $u_{n+1}=u_n$.

📌 Pour étudier les variations d’une suite, on examine $u_{n+1}-u_n$ : si cette différence est positive la suite est croissante, si elle est négative la suite est décroissante et si elle est nulle la suite est constante.

💡 Astuce mémo

Différence positive : les termes montent ; différence négative : ils descendent.

📖 6. Principes du langage SysML

🔑 Notions clés & Définitions

• SysML : Systems Modeling Language et désigne un langage utilisé pour modéliser un système.

📝 Points essentiels

• Le SysML représente notamment:
  • les fonctions d’un système
  • ses composants
  • ses échanges
  • ses contraintes
  • son fonctionnement

📖 7. Diagrammes SysML du système

🔑 Notions clés & Définitions

• Diagramme de contexte : Le diagramme de contexte représente le système étudié et son environnement, notamment les utilisateurs, les autres systèmes et les éléments extérieurs qui interagissent avec lui.
• Diagramme des exigences : Le diagramme des exigences indique ce que le système doit respecter ou réaliser, notamment une fonction, une performance, une contrainte, une norme ou une limite de sécurité.
• Cas d’utilisation : Le diagramme des cas d’utilisation représente ce que le système doit faire pour l’utilisateur au moyen des acteurs, du système et des cas d’utilisation.
• BDD : Le diagramme de définition de blocs, ou BDD, représente la structure du système et les différents blocs qui le composent.
• IBD : Le diagramme de blocs internes, ou IBD, représente les échanges entre les composants internes, comme l’énergie, les informations, la matière ou les signaux.

💡 Astuce mémo

BDD = composition des blocs ; IBD = échanges entre les blocs.

📖 8. Chaînes d’information et d’énergie

★ À maîtriser

• La chaîne d’information suit la séquence $Acquérir \rightarrow Traiter \rightarrow Communiquer$ pour gérer les informations.

• La chaîne d’énergie suit la séquence $Alimenter \rightarrow Distribuer \rightarrow Convertir \rightarrow Transmettre \rightarrow Agir$ pour gérer et transmettre l’énergie nécessaire au fonctionnement.

Compléments

• Dans un portail automatique, le capteur acquiert l’information en détectant un obstacle, la carte électronique la traite et un ordre de communication arrête le moteur.

• Pour un portail automatique, la batterie ou le secteur alimente, la carte de puissance distribue, le moteur convertit, le mécanisme transmet et le portail se déplace.

💡 Astuce mémo

Information : Acquérir → Traiter → Communiquer ; énergie : Alimenter → Distribuer → Convertir → Transmettre → Agir.

📊 Tableaux de synthèse

Suites arithmétiques et géométriques

Diagrammes SysML