Fiche de révision : Suites numériques et récurrence

📋 Plan du Cours

1. Définition et génération des suites
2. Suites arithmétiques et géométriques
3. Représentation graphique des récurrences
4. Principe du raisonnement par récurrence
5. Étude du sens de variation
6. Suites majorées minorées bornées

📖 1. Définition et génération des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Fonction définie de ℕ dans ℝ, qui associe à chaque entier naturel n le réel uₙ.
• Suite explicite : Définie lorsqu’il existe une fonction f définie sur un ensemble D⊂ℝ telle que, pour tout n∈ℕ, uₙ=f(n).
• Suite récurrente : Définie lorsqu’il existe une fonction f définie sur un ensemble D⊂ℝ et un nombre u₀∈D tels que, pour tout n∈ℕ, uₙ₊₁=f(uₙ).

💡 Astuce mémo

Explicite : n → uₙ ; récurrente : uₙ → uₙ₊₁

📖 2. Suites arithmétiques et géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Lorsque l’on passe d’un terme au suivant en ajoutant toujours le même réel r, appelé raison, ce qui donne uₙ₊₁=uₙ+r.
• Suite géométrique : Lorsque l’on passe d’un terme au suivant en multipliant toujours par le même réel q, appelé raison, ce qui donne uₙ₊₁=q×uₙ.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour une suite arithmétique de raison r, le terme général est $u_n=u_0+nr$.

📐 Formule — Pour une suite géométrique de raison q, le terme général est $u_n=u_0q^n$.

Compléments

📐 Formule — La somme des termes d’une suite arithmétique vérifie $u_0+u_1+\cdots+u_n=\frac{(u_0+u_n)(n+1)}{2}$.

📐 Formule — Pour une suite géométrique de raison q≠1, la somme des termes vérifie $u_0+u_1+\cdots+u_n=u_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$.

💡 Astuce mémo

Arithmétique : on ajoute r ; géométrique : on multiplie par q

📖 3. Représentation graphique des récurrences

📝 Points essentiels

• Pour construire graphiquement les termes d’une suite définie par uₙ₊₁=f(uₙ), on trace la courbe de f et la droite y=x, on place u₀ sur l’axe des abscisses, puis on reporte successivement f(u₀), f(u₁), f(u₂), etc., sur cet axe à l’aide de la droite y=x.

💡 Astuce mémo

Courbe de f → droite y=x → report successif des termes

📖 4. Principe du raisonnement par récurrence

★ À maîtriser

• Le raisonnement par récurrence permet de démontrer qu’une propriété est vraie pour une infinité d’entiers, car une accumulation d’exemples particuliers ne suffit pas à établir sa généralité.

📌 Si une propriété P(n) est vraie au premier rang n₀ et si, pour tout entier k≥n₀, P(k) vraie entraîne P(k+1) vraie, alors P(n) est vraie pour tout entier n≥n₀.

• 🔄 Une démonstration par récurrence suit quatre étapes:
  1. Énoncer précisément la propriété P(n)
  2. Vérifier que P(n₀) est vraie
  3. Supposer P(k) vraie et démontrer P(k+1)
  4. Conclure par le principe de récurrence

Compléments

📐 Formule — Pour tout entier naturel n≥1, la somme des n premiers entiers vérifie $1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}$.

💡 Astuce mémo

Deux dominos : le premier tombe, puis chacun entraîne le suivant

📖 5. Étude du sens de variation

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite monotone : Croissante, décroissante ou constante.

★ À maîtriser

📌 Une suite est strictement croissante si uₙ₊₁>uₙ, strictement décroissante si uₙ₊₁<uₙ et stationnaire si uₙ₊₁=uₙ pour tout n.

📌 L’étude du signe de uₙ₊₁−uₙ permet de déterminer les variations : un signe positif indique une croissance stricte, un signe négatif une décroissance stricte et un signe nul une suite constante.

Compléments

📌 Le quotient uₙ₊₁/uₙ peut être comparé à 1 pour étudier les variations uniquement lorsque tous les termes de la suite sont strictement positifs.

📌 Si une suite explicite vérifie uₙ=f(n) et que f est monotone sur [0;+∞[, alors la suite a le même sens de variation que f.

💡 Astuce mémo

Différence positive : croissance ; différence négative : décroissance

📖 6. Suites majorées minorées bornées

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite majorée : Une suite est majorée par un réel M si, pour tout n∈ℕ, uₙ≤M.
• Suite minorée : Une suite est minorée par un réel m si, pour tout n∈ℕ, uₙ≥m.
• Suite bornée : À la fois majorée et minorée.

📝 Points essentiels

• Toute suite croissante est minorée par son premier terme, et toute suite décroissante est majorée par son premier terme.

• Si une suite est comprise entre 1 et 2, alors tous ses points de coordonnées (n;uₙ) sont situés entre les droites d’équations y=1 et y=2.

💡 Astuce mémo

Minorée en bas, majorée en haut, bornée entre les deux

📊 Tableaux de synthèse

Suites arithmétiques et géométriques