Fiche de révision : Systèmes linéaires et applications économiques

📋 Plan du Cours

1. Solutions et intersections de plans
2. Fonctions linéaires de marché
3. Fonction de consommation agrégée
4. Représentation des contraintes
5. Systèmes et équilibre économique

📖 1. Solutions et intersections de plans

📝 Points essentiels

📌 Pour deux plans dans l’espace, le système associé possède soit aucune solution, soit une infinité de solutions.

• Pour trois plans dans l’espace, une possibilité supplémentaire apparaît : les trois plans peuvent s’intersecter en un seul point.

💡 Astuce mémo

Deux plans : aucune ou une infinité de solutions ; trois plans ajoutent le cas d’un point unique.

📖 2. Fonctions linéaires de marché

★ À maîtriser

• La fonction de demande linéaire d’un bien se détermine à partir de deux couples prix-quantité en recherchant la droite qui passe par ces deux points.

📐 Formule — Dans un marché donné, la demande et l’offre sont respectivement $q=-2p+6$ et $q=\frac{1}{2}p+1$, où $p$ est le prix et $q$ la quantité.

• Le prix et la quantité d’équilibre se déterminent en égalisant la quantité demandée et la quantité offerte, puis en utilisant la relation obtenue pour calculer l’autre variable.

Compléments

• Pour les montres SLOUK, la quantité demandée est de 10 unités au prix de 160 euros et de 20 unités au prix de 120 euros.

• Pour les appareils photos PISTOL, la quantité offerte est de 50 unités au prix de 100 euros et de 100 unités lorsque le prix est 50 % plus élevé.

💡 Astuce mémo

Le prix varie → la quantité demandée ou offerte varie selon une relation linéaire.

📖 3. Fonction de consommation agrégée

🔑 Notions clés & Définitions

• Consommation incompressible : Niveau de consommation observé lorsque le revenu disponible $Y$ est nul.

📝 Points essentiels

• La consommation agrégée $C$ est une fonction linéaire du revenu disponible hors taxes $Y$.

• Lorsque le revenu augmente de $x$, l’écart de consommation à son niveau incompressible, $C-C_0$, augmente de $0{,}8x$.

💡 Astuce mémo

Revenu disponible → consommation incompressible + consommation induite.

📖 4. Représentation des contraintes

★ À maîtriser

📐 Formule — L’expression $ax+by=R$ doit être réorganisée pour obtenir une forme explicite dans le plan $\left(0,x,y\right)$, avec $a>0$ et $R>0$.

📌 L’inégalité $ax+by\leq R$ représente un ensemble de points du plan et non seulement la droite frontière $ax+by=R$.

Compléments

📐 Formule — La contrainte de type Cobb-Douglas s’écrit $x_1^{\alpha_1}x_2^{\alpha_2}=\bar U$, avec $\alpha_1>0$, $\alpha_2>0$ et $\bar U>0$.

📐 Formule — La contrainte CES s’écrit $\left[\alpha x_1^{(\sigma-1)/\sigma}+(1-\alpha)x_2^{(\sigma-1)/\sigma}\right]^{\sigma/(\sigma-1)}=\bar U$, avec $0<\alpha<1$, $\sigma\neq0$, $\sigma\neq1$ et $\bar U>0$.

💡 Astuce mémo

Expression implicite → résolution pour une variable → représentation graphique.

📖 5. Systèmes et équilibre économique

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour le ménage de l’exercice 6, le revenu est $R=100$, le prix des bananes est $p_B=1$ et le prix des carottes est $p_C=\frac{1}{2}$ par kilogramme.

📐 Formule — Lorsque le ménage dépense tout son revenu en bananes et carottes, les quantités non négatives vérifient $q_B+\frac{1}{2}q_C=100$ avec $q_B\geq0$ et $q_C\geq0$.

📐 Formule — Lorsque le ménage ne dépense pas nécessairement tout son revenu, les quantités non négatives vérifient $q_B+\frac{1}{2}q_C\leq100$.

📐 Formule — Pour l’exercice 9, les fonctions d’offre et de demande sont $D(p):q=a-p$ et $S(p):q=b+2p$, avec $a>0$ et $b>0$.

• Pour déterminer le prix d’équilibre de l’exercice 9, il faut égaliser $a-p$ et $b+2p$, puis vérifier la condition garantissant un prix d’équilibre.

Compléments

📐 Formule — Le système de l’exercice 7 est $x+y+z=3$, $x-y+z=1$ et $-x+2y+z=4$, et ses solutions doivent être comparées aux triplets proposés.

📌 Le système de l’exercice 8 est $x+y+z=3$, $x-y+z=1$ et $x+z=4$, et les choix proposés sont un triplet, l’ensemble vide ou une famille paramétrée.

💡 Astuce mémo

Un système peut avoir un triplet unique, être vide ou contenir une famille de solutions.

📊 Tableaux de synthèse

Contraintes budgétaires du ménage