QCM : Suites numériques : généralités — 12 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle caractéristique définit une suite numérique $(u_n)$ ?

Elle associe à chaque entier $n$ un nombre réel noté $u_n$.
Elle associe à chaque terme précédent un unique terme suivant.
Elle regroupe des nombres réels sans leur attribuer d’indice.
Elle associe à chaque nombre réel un entier noté $u_n$.

Elle associe à chaque entier $n$ un nombre réel noté $u_n$.

Explication

Une suite numérique est une liste ordonnée qui associe à tout entier $n$ un nombre réel $u_n$. Une liste de nombres dépourvue d’indices ne constitue pas nécessairement une suite numérique.

2. Dans une suite $(u_n)$, que désigne le nombre $u_n$ ?

L’ensemble des termes de la suite.
La règle qui permet de définir la suite.
Le terme de rang $n$ de la suite.
Le rang du terme situé après $u_n$.

Le terme de rang $n$ de la suite.

Explication

Le nombre $u_n$ est le terme de rang, ou d’indice, $n$. Il ne représente donc pas la suite entière, mais une valeur particulière de celle-ci.

3. Quelle situation correspond à une formule explicite définissant une suite ?

Calculer $u_n$ directement à partir de $n$, sans utiliser les termes précédents.
Placer les points $(n;u_n)$ dans un repère du plan.
Comparer deux termes successifs pour étudier leur ordre.
Calculer chaque terme à partir d’un ou plusieurs termes précédents.

Calculer $u_n$ directement à partir de $n$, sans utiliser les termes précédents.

Explication

Une formule explicite donne directement chaque terme en fonction de son rang $n$. Une relation de récurrence, en revanche, utilise des termes précédemment calculés.

4. Une suite est définie par $u_0=3$ et $u_{n+1}=2u_n+1$. De quel type de définition s’agit-il ?

D’une définition par liste, car les valeurs sont données dans un ordre.
D’une représentation graphique, car les termes sont associés à des points.
D’une formule explicite, car chaque terme dépend directement de son rang.
D’une relation de récurrence, car chaque terme dépend d’un terme précédent.

D’une relation de récurrence, car chaque terme dépend d’un terme précédent.

Explication

La relation $u_{n+1}=2u_n+1$ permet d’obtenir un terme à partir du terme précédent, avec une valeur initiale. Il s’agit donc d’une relation de récurrence et non d’une formule explicite.

5. Quelle condition caractérise une suite $(u_n)$ croissante à partir du rang $p$ ?

Pour tout $n\ge p$, on a $u_{n+1}=u_n+1$.
Pour tout $n\ge p$, on a $u_{n+1}\ge u_n$.
Pour tout $n\ge p$, on a $u_n\ge u_{n+1}+1$.
Pour tout $n\ge p$, on a $u_{n+1}\le u_n$.

Pour tout $n\ge p$, on a $u_{n+1}\ge u_n$.

Explication

Une suite est croissante à partir du rang $p$ lorsque chaque terme suivant est supérieur ou égal au précédent pour tout $n\ge p$. La condition $u_{n+1}\le u_n$ caractérise au contraire une suite décroissante.

6. Quelle condition caractérise une suite $(u_n)$ décroissante à partir du rang $p$ ?

Pour tout $n\ge p$, on a $u_{n+1}\ge u_n$.
Pour tout $n\ge p$, on a $u_n\le u_{n+1}-1$.
Pour tout $n\ge p$, on a $u_{n+1}=u_n-1$.
Pour tout $n\ge p$, on a $u_{n+1}\le u_n$.

Pour tout $n\ge p$, on a $u_{n+1}\le u_n$.

Explication

Une suite est décroissante à partir du rang $p$ lorsque chaque terme suivant est inférieur ou égal au précédent pour tout $n\ge p$. L’inégalité inverse décrit la croissance de la suite.

7. La fonction $f$ est croissante sur $[p;+e4[$ et $u_n=f(n)$. Quelle conclusion peut-on tirer ?

La suite $(u_n)$ est décroissante à partir du rang $p$.
La suite $(u_n)$ n’a pas de sens de variation déterminable.
La suite $(u_n)$ est croissante à partir du rang $p$.
La suite $(u_n)$ est constante à partir du rang $p$.

La suite $(u_n)$ est croissante à partir du rang $p$.

Explication

Les entiers $n$ et $n+1$ appartiennent à l’intervalle considéré, et la croissance de $f$ donne $f(n+1)\ge f(n)$. Ainsi, $u_{n+1}\ge u_n$ à partir du rang $p$, donc la suite est croissante.

8. On sait que $u_n=f(n)$ et que $f$ est décroissante sur $[p;+e4[$. Quel est le sens de variation de $(u_n)$ à partir de $p$ ?

La suite $(u_n)$ est croissante à partir du rang $p$.
La suite $(u_n)$ est décroissante à partir du rang $p$.
La suite $(u_n)$ alterne entre croissance et décroissance.
La suite $(u_n)$ est constante dès que $n$ dépasse $p$.

La suite $(u_n)$ est décroissante à partir du rang $p$.

Explication

La décroissance de $f$ implique que $f(n+1)\le f(n)$ pour tout $n\ge p$. Comme $u_n=f(n)$, on obtient $u_{n+1}\le u_n$, donc la suite est décroissante.

9. Que signifie l’écriture lim⁡n→+∞un=2\lim_{n\to+\infty} u_n = 2 pour la suite considérée ?

Les termes de la suite s’éloignent de 2 lorsque n augmente
Tous les termes de la suite sont égaux à 2 dès un certain rang
Les termes de la suite se rapprochent de 2 lorsque n augmente
La suite prend la valeur 2 pour le premier terme

Les termes de la suite se rapprochent de 2 lorsque n augmente

Explication

Cette écriture indique que les termes deviennent de plus en plus proches de 2 lorsque le rang tend vers l’infini. Les termes présentés peuvent rester différents de 2 tout en ayant cette limite.

10. Pour un=2n+1nu_n=\frac{2n+1}{n}, quelle valeur se rapproche des termes lorsque n augmente ?

22
11
1n\frac{1}{n}
2n+12n+1

$$2$$

Explication

Les valeurs données, comme 33, 2,52{,}5 et environ 2,3332{,}333, se rapprochent de 22 quand n augmente. L’expression 1n\frac{1}{n} décrit un terme de la formule, mais pas la valeur limite recherchée.

11. Quelle caractéristique définit une suite convergente lorsque n devient de plus en plus grand ?

Ses termes alternent entre deux valeurs fixes
Ses termes se rapprochent d’une valeur appelée limite
Ses termes deviennent tous égaux à leur premier terme
Ses termes augmentent sans se rapprocher d’une valeur

Ses termes se rapprochent d’une valeur appelée limite

Explication

Une suite convergente possède des termes qui se rapprochent d’une valeur déterminée, appelée sa limite. Une suite qui ne présente pas ce comportement relève de la notion de divergence.

12. Comment définit-on une suite divergente ?

C’est une suite qui n’est pas convergente
C’est une suite dont les termes sont tous positifs
C’est une suite qui se rapproche d’une valeur finie
C’est une suite dont la limite vaut zéro

C’est une suite qui n’est pas convergente

Explication

Une suite divergente est définie comme une suite qui n’est pas convergente. Le fait d’avoir une limite nulle ou des termes positifs ne suffit pas à caractériser la divergence.

Révisez avec les flashcards

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Qu'est-ce qu'une suite numérique (uₙ) ?

Une liste ordonnée de nombres réels associant à chaque entier n un réel uₙ.

Comment appelle-t-on le nombre uₙ dans une suite ?

Le terme de rang n ou d’indice n de la suite.

Comment représente-t-on une suite dans un repère du plan ?

Par le nuage de points de coordonnées (n ; uₙ).

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