Fiche de révision : Systèmes du premier ordre

📋 Plan du Cours

1. Réponse impulsionnelle du premier ordre
2. Indicateurs de performance dynamique
3. Modélisation du vérin pneumatique
4. Blocs fonctionnels et associations
5. Boucle ouverte et boucle fermée

📖 1. Réponse impulsionnelle du premier ordre

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une entrée impulsionnelle de Dirac d’aire A et une fonction de transfert $H(p)=\frac{K}{1+\tau p}$, la réponse est $s(t)=\frac{KA}{\tau}e^{-t/\tau}$.

• La tangente à l’origine de la réponse impulsionnelle coupe son asymptote en $t=\tau$, où la réponse a diminué de 63 % par rapport à sa valeur initiale.

Compléments

• La réponse impulsionnelle d’un système du premier ordre décroît exponentiellement vers zéro pour t > 0 et présente une discontinuité à t = 0, passant de zéro à KA/τ pour une impulsion d’aire A.

📐 Formule - La valeur initiale de la réponse impulsionnelle est $s(0^+)=\frac{KA}{\tau}$.

📐 Formule - La dérivée de la réponse impulsionnelle est $\frac{ds(t)}{dt}=-\frac{KA}{\tau^2}e^{-t/\tau}$, et sa pente à l’origine vaut $-\frac{KA}{\tau^2}$.

📖 2. Indicateurs de performance dynamique

🔑 Notions clés & Définitions

• Gain statique : Caractérise le comportement du système en régime établi, lorsque le régime transitoire est terminé.
• Constante de temps : Caractérise le comportement dynamique du système ; au bout d’une constante de temps, l’écart entre la réponse et sa valeur finale est réduit d’environ 63 %, la valeur finale étant atteinte asymptotiquement.

★ À maîtriser

• Le temps de réponse à 5 % d’un système du premier ordre vaut $3\tau$ et caractérise la fin du régime transitoire.

Compléments

📐 Formule - Pour un échelon de consigne de valeur $E_0$, l’erreur statique est $\varepsilon_s=(1-K)E_0$.

📐 Formule - Pour une rampe de pente a et lorsque K=1, l’erreur dynamique est $\varepsilon_d=\tau a$.

💡 Astuce mémo

K décrit le régime établi, tandis que τ décrit la dynamique transitoire.

📖 3. Modélisation du vérin pneumatique

★ À maîtriser

• Le vérin pneumatique est modélisé par un système masse-ressort-amortisseur, avec le ressort et l’amortisseur montés en parallèle.

📌 Un vérin pneumatique utilise de l’air comprimé, fluide compressible, tandis qu’un vérin hydraulique utilise un fluide incompressible auquel le modèle présenté ne s’applique pas.

📐 Formule - L’application du principe fondamental de la dynamique au solide mobile conduit à $F(t)=m\frac{d^2x(t)}{dt^2}+\mu\frac{dx(t)}{dt}+Rx(t)$.

Compléments

📐 Formule - La force exercée par la pression du fluide sur le piston vérifie $F(t)=p(t)S$.

• Dans le modèle, le ressort représente la partie élastique et sa raideur R s’exprime en N·m⁻¹ ; l’amortisseur représente la partie visqueuse et son coefficient μ s’exprime en N·m⁻¹·s.

📐 Formule - Les forces de rappel du ressort et de l’amortisseur sont respectivement $F_1(t)=-Rx(t)$ et $F_2(t)=-\mu\frac{dx(t)}{dt}$.

• Dans le modèle du vérin, la sortie est le déplacement $s(t)=x(t)$, l’entrée est l’effort $e(t)=F(t)$, et les conditions initiales sont $x(0)=0$ et $\frac{dx}{dt}(0)=0$.

📖 4. Blocs fonctionnels et associations

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction de transfert : Définie dans le domaine de Laplace, elle relie la sortie S(p) à l’entrée E(p) par $S(p)=F(p)E(p)$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Deux blocs en série de fonctions de transfert A(p) et B(p) sont équivalents à un bloc de fonction de transfert $F(p)=A(p)B(p)$.

📐 Formule - Deux blocs en parallèle de fonctions de transfert A(p) et B(p), dont les sorties s’additionnent, sont équivalents à un bloc de fonction de transfert $F(p)=A(p)+B(p)$.

Compléments

• Un système monovariable possède une entrée e(t) et une sortie s(t), représentées dans le domaine de Laplace par E(p) et S(p).

📖 5. Boucle ouverte et boucle fermée

🔑 Notions clés & Définitions

• Système asservi : Système en boucle fermée comportant une boucle de retour.

📝 Points essentiels

📌 La chaîne directe (CD) conduit le signal depuis le comparateur vers la sortie, tandis que la chaîne de retour (CR) ramène le signal de sortie vers le comparateur par le capteur.

• L’ouverture fictive de la boucle de retour se fait juste avant le comparateur de cette boucle.

• La boucle ouverte désigne la partie de la boucle fermée qui inclut le capteur.