Fiche de révision : Systèmes linéaires

📋 Plan du Cours

1. Systèmes linéaires 2 × 2
2. Résolution par substitution
3. Résolution par combinaison et Cramer
4. Systèmes n × p et pivot de Gauss

📖 1. Systèmes linéaires 2 × 2

🔑 Notions clés & Définitions

• Système linéaire 2 × 2 : Système linéaire de deux équations à deux inconnues qui s’écrit $\begin{cases} ax+by=c\\ a'x+b'y=c'\end{cases}$.

📝 Points essentiels

• Géométriquement, résoudre un système linéaire 2 × 2 revient à déterminer l’intersection de deux droites dans le plan.

💡 Astuce mémo

Deux droites : une intersection, aucune ou une infinité

📖 2. Résolution par substitution

📝 Points essentiels

• 🔄 La résolution par substitution suit ces étapes:
  1. Exprimer une inconnue en fonction de l’autre
  2. Remplacer cette expression dans l’autre équation
  3. Calculer la seconde inconnue
  4. Calculer la première inconnue
  5. Conclure

💡 Astuce mémo

Exprimer → remplacer → calculer → conclure

📖 3. Résolution par combinaison et Cramer

★ À maîtriser

• 🔄 La résolution par combinaison linéaire suit ces étapes:
  1. Multiplier les équations par des nombres bien choisis
  2. Additionner ou soustraire les équations pour éliminer une inconnue
  3. Répéter l’élimination pour l’autre inconnue
  4. Conclure

📐 Formule — Si $ab'-ba'\ne0$, alors le système est un système de Cramer et ses solutions sont $x=\frac{cb'-c'b}{ab'-ba'}$ et $y=\frac{ac'-ca'}{ab'-ba'}$.

Compléments

📌 Pour un système de Cramer, le déterminant du système est non nul, ce qui permet d’obtenir une solution unique à l’aide des formules de Cramer.

💡 Astuce mémo

Combinaison élimine ; Cramer calcule par déterminants

📖 4. Systèmes n × p et pivot de Gauss

🔑 Notions clés & Définitions

• Système linéaire n × p : Système de n équations à p inconnues qui s’écrit $a_{i,1}x_1+a_{i,2}x_2+\cdots+a_{i,p}x_p=b_i$ pour $i\in\{1,\ldots,n\}$, où les coefficients $a_{i,j}$ et les seconds membres $b_i$ sont des réels connus.
• Système homogène : Système linéaire dont tous les seconds membres sont nuls, c’est-à-dire lorsque $b_i=0$.

📝 Points essentiels

• La méthode du pivot de Gauss résout un système linéaire en utilisant successivement des pivots pour éliminer les inconnues dans les équations, jusqu’à obtenir une forme permettant de déterminer les inconnues.

💡 Astuce mémo

Choisir un pivot → éliminer → poursuivre → conclure