QCM : Systèmes linéaires — 8 questions

Question 1

1. Quelle interprétation géométrique correspond à la résolution d’un système linéaire de deux équations à deux inconnues ?

Comparer les ordonnées à l’origine de deux paraboles

Calculer la pente moyenne d’une seule droite du plan

Déterminer le point d’intersection de deux droites du plan

Identifier le centre de symétrie d’un cercle du plan

Explication

Résoudre le système revient à chercher les coordonnées du point commun aux deux droites représentées par les équations. La comparaison des ordonnées à l’origine ne détermine pas, à elle seule, une solution commune.

Answer

Déterminer le point d’intersection de deux droites du plan

Question 2

2. Quelle suite d’étapes décrit correctement la résolution d’un système par substitution ?

Multiplier les deux équations, les additionner, puis lire directement les deux inconnues

Tracer les deux droites, comparer leurs pentes, puis choisir l’ordonnée à l’origine

Calculer le déterminant, inverser les coefficients, puis soustraire les deux résultats

Isoler une inconnue, la remplacer dans l’autre équation, puis retrouver l’autre inconnue

Explication

La substitution commence par l’expression d’une inconnue en fonction de l’autre, suivie de son remplacement dans l’autre équation pour calculer la seconde inconnue. L’élimination par addition ou soustraction relève de la combinaison linéaire, tandis que le déterminant correspond aux formules de Cramer.

Answer

Isoler une inconnue, la remplacer dans l’autre équation, puis retrouver l’autre inconnue

Question 3

3. Dans un système où l’on a facilement $y=2x+1$ , quelle opération caractérise la méthode de substitution ?

Comparer les deux pentes pour obtenir directement la valeur de

x

Remplacer

y

par

2x+1

dans l’autre équation

Calculer

ab'-ba'

avant toute transformation algébrique

Multiplier une équation par

-2

puis additionner les deux équations

Explication

La substitution utilise l’expression connue de $y$ en la remplaçant dans l’autre équation, ce qui permet de calculer $x$ puis de retrouver $y$ . Multiplier et additionner des équations correspond à la combinaison linéaire.

Answer

Remplacer $$y$$ par $$2x+1$$ dans l’autre équation

Question 4

4. Quelle opération constitue le principe central de la résolution par combinaison linéaire ?

Isoler une inconnue dans une équation, puis remplacer cette expression dans l’autre

Multiplier les équations pour créer des coefficients opposés ou égaux, puis les additionner ou les soustraire

Représenter les équations par des courbes, puis relever leur point commun

Calculer les deux déterminants associés avant de comparer leurs valeurs

Explication

La combinaison linéaire transforme les équations afin d’éliminer une inconnue par addition ou soustraction, puis applique une démarche analogue pour l’autre. Isoler une inconnue et la remplacer décrit la substitution, qui repose sur une opération différente.

Answer

Multiplier les équations pour créer des coefficients opposés ou égaux, puis les additionner ou les soustraire

Question 5

5. Pour un système $\begin{cases} ax+by=c\\ a'x+b'y=c'\end{cases}$ vérifiant $ab'-ba'\ne0$ , quelles sont les formules de Cramer pour ses solutions ?

x=\frac{cb'+c'b}{ab'+ba'}

et

y=\frac{ac'+ca'}{ab'+ba'}

x=\frac{cb'-c'b}{ab'-ba'}

et

y=\frac{ac'-ca'}{ab'-ba'}

x=\frac{c'b-cb'}{ab'-ba'}

et

y=\frac{ca'-ac'}{ab'-ba'}

x=\frac{ab'-ba'}{cb'-c'b}

et

y=\frac{ab'-ba'}{ac'-ca'}

Explication

Lorsque $ab'-ba'\ne0$ , le système est de Cramer et les inconnues se calculent en divisant les déterminants appropriés par le déterminant principal. L’inversion des fractions ou le changement des signes au numérateur ne respecte pas les formules de Cramer.

Answer

$$x=\frac{cb'-c'b}{ab'-ba'}$$ et $$y=\frac{ac'-ca'}{ab'-ba'}$$

Question 6

6. Comment s’écrit une équation d’un système linéaire de $n$ équations à $p$ inconnues ?

a_{i,1}x_1+a_{i,2}x_2+\cdots+a_{i,p}x_p=b_i

pour

i\in\{1,\ldots,n\}

a_{i,1}x_1+a_{i,2}x_2+\cdots+a_{i,n}x_n=b_i

pour

i\in\{1,\ldots,p\}

a_{i,1}x_1+a_{i,2}x_2+\cdots+a_{i,p}x_p=b_p

pour

i\in\{1,\ldots,n\}

a_{1,i}x_1+a_{2,i}x_2+\cdots+a_{p,i}x_p=b_i

pour

i\in\{1,\ldots,n\}

Explication

Une équation utilise les $p$ inconnues, des coefficients connus $a_{i,j}$ et le second membre correspondant $b_i$ , avec un indice d’équation allant de $1$ à $n$ . La deuxième expression inverse le rôle de $n$ et de $p$ en faisant intervenir $n$ inconnues et en indexant les équations jusqu’à $p$ .

Answer

$$a_{i,1}x_1+a_{i,2}x_2+\cdots+a_{i,p}x_p=b_i$$ pour $$i\in\{1,\ldots,n\}$$

Question 7

7. Quelle condition caractérise un système linéaire homogène ?

Chaque coefficient vérifie

a_{i,j}=0

pour tout

i,j

.

Chaque second membre vérifie

b_i=1

pour tout

i

.

Chaque inconnue vérifie

x_j=0

pour tout

j

.

Chaque second membre vérifie

b_i=0

pour tout

i

.

Explication

Un système est homogène lorsque tous ses seconds membres sont nuls, donc lorsque $b_i=0$ pour chaque équation. La nullité des coefficients ou des inconnues n’est pas la définition de l’homogénéité, tandis que $b_i=1$ décrit une condition non homogène.

Answer

Chaque second membre vérifie $$b_i=0$$ pour tout $$i$$.

Question 8

8. Quelle démarche décrit correctement la méthode du pivot de Gauss pour résoudre un système linéaire ?

Elle remplace chaque inconnue par son second membre avant de simplifier les équations.

Elle calcule directement des déterminants adaptés à un système de deux équations.

Elle impose que tous les coefficients diagonaux soient égaux à un même nombre.

Elle élimine progressivement des inconnues à l’aide de pivots jusqu’à obtenir une forme exploitable.

Explication

Le pivot de Gauss transforme successivement le système par élimination afin d’obtenir une forme permettant de déterminer les inconnues. Le calcul direct de déterminants pour un système $2\times2$ correspond plutôt à la méthode de Cramer, et les deux autres démarches ne décrivent pas ce procédé.

Answer

Elle élimine progressivement des inconnues à l’aide de pivots jusqu’à obtenir une forme exploitable.

QCM : Systèmes linéaires — 8 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle interprétation géométrique correspond à la résolution d’un système linéaire de deux équations à deux inconnues ?

2. Quelle suite d’étapes décrit correctement la résolution d’un système par substitution ?

3. Dans un système où l’on a facilement $y=2x+1$ , quelle opération caractérise la méthode de substitution ?

4. Quelle opération constitue le principe central de la résolution par combinaison linéaire ?

5. Pour un système $\begin{cases} ax+by=c\\ a'x+b'y=c'\end{cases}$ vérifiant $ab'-ba'\ne0$ , quelles sont les formules de Cramer pour ses solutions ?

6. Comment s’écrit une équation d’un système linéaire de $n$ équations à $p$ inconnues ?

7. Quelle condition caractérise un système linéaire homogène ?

8. Quelle démarche décrit correctement la méthode du pivot de Gauss pour résoudre un système linéaire ?

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QCM : Systèmes linéaires — 8 questions

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1. Quelle interprétation géométrique correspond à la résolution d’un système linéaire de deux équations à deux inconnues ?

2. Quelle suite d’étapes décrit correctement la résolution d’un système par substitution ?

3. Dans un système où l’on a facilement y=2x+1y=2x+1y=2x+1, quelle opération caractérise la méthode de substitution ?

4. Quelle opération constitue le principe central de la résolution par combinaison linéaire ?

5. Pour un système {ax+by=ca′x+b′y=c′\begin{cases} ax+by=c\\ a'x+b'y=c'\end{cases}{ax+by=ca′x+b′y=c′​ vérifiant ab′−ba′≠0ab'-ba'\ne0ab′−ba′=0, quelles sont les formules de Cramer pour ses solutions ?

6. Comment s’écrit une équation d’un système linéaire de nnn équations à ppp inconnues ?

7. Quelle condition caractérise un système linéaire homogène ?

8. Quelle démarche décrit correctement la méthode du pivot de Gauss pour résoudre un système linéaire ?

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5. Pour un système $\begin{cases} ax+by=c\\ a'x+b'y=c'\end{cases}$ vérifiant $ab'-ba'\ne0$ , quelles sont les formules de Cramer pour ses solutions ?

6. Comment s’écrit une équation d’un système linéaire de $n$ équations à $p$ inconnues ?