QCM : Tableau des dérivées usuelles — 11 questions

Question 1

1. Si $f(x)=x^2$ , quelle valeur prend $f'(3)$ ?

3

6

9

0

Explication

La dérivée de $x^2$ est $2x$ , donc son évaluation en $x=3$ donne $2\times 3=6$ . La valeur $9$ correspond à $f(3)$ et non à sa dérivée.

Answer

$$f'(x)=5x^4$$

Answer

$$f'(x)=\frac{1}{4x^{3/4}}$$ sur $$]0;+\infty[$$

Answer

$$\mathbb{R}^*$$

Answer

$$f'(x)=0$$

Answer

$$\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi\ ;\ k\in\mathbb{Z}\right\}$$

Answer

$$f'(x)=-\frac{3}{x^4}$$

Answer

$$f'(x)=-3$$

Answer

$$f'(x)=-\frac{1}{x^2}$$ sur $$\mathbb{R}^*$$

Answer

$$a\left(1+\tan^2(ax+b)\right)$$

Answer

$$x=-\frac{b}{a}+\frac{\pi}{2a}+\frac{k\pi}{a},\quad k\in\mathbb{Z}$$

Question 2

2. Pour $f(x)=x^5$ , quelle est l’expression correcte de la dérivée ?

f'(x)=x^4

f'(x)=5x^4

f'(x)=5x^6

f'(x)=4x^5

Explication

La règle générale donne $\left(x^n\right)'=nx^{n-1}$ ; avec $n=5$ , on obtient $5x^4$ . L’exposant diminue donc de une unité et le facteur multiplicatif devient l’ancien exposant.

Question 3

3. Pour $f(x)=\sqrt[4]{x}$ , quelle expression de la dérivée et quel domaine correspondent à la règle des fonctions racines ?

f'(x)=4x^{3/4}

sur

]0;+\infty[

f'(x)=\frac{1}{4x^{3/4}}

sur

]0;+\infty[

f'(x)=-\frac{1}{4x^{3/4}}

sur

\mathbb{R}

f'(x)=\frac{1}{4x^{3/4}}

sur

\mathbb{R}^*

Explication

Pour un indice pair $n=4$ , la formule donne $f'(x)=1/(4x^{3/4})$ et le domaine de dérivabilité indiqué est $]0;+\infty[$ . Le domaine $\mathbb{R}^*$ convient à l’indice impair dans la règle fournie, pas à cet indice pair.

Question 4

4. Quel domaine est associé à la dérivée de $f(x)=\sqrt[3]{x}$ dans la règle donnée ?

[-1;+\infty[

\mathbb{R}

\mathbb{R}^*

]0;+\infty[

Explication

L’indice $3$ est impair, et la règle associe alors à la dérivée le domaine $\mathbb{R}^*$ . Le domaine ouvert des réels strictement positifs correspond à l’indice pair dans cette classification.

Question 5

5. Quelle est la dérivée de la fonction constante $f(x)=7$ sur son domaine de définition ?

f'(x)=7

f'(x)=x

f'(x)=0

f'(x)=1

Explication

Une fonction constante ne varie pas lorsque $x$ change, donc son taux de variation est nul. La valeur constante $7$ ne devient pas la dérivée, contrairement à ce qui se produit pour une fonction affine dont le coefficient de $x$ est $7$ .

Question 6

6. Quel ensemble décrit le domaine de définition de $f(x)=\tan x$ ainsi que celui de sa dérivée ?

\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi\ ;\ k\in\mathbb{Z}\right\}

\mathbb{R}\setminus\left\{k\pi\ ;\ k\in\mathbb{Z}\right\}

\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{\pi}{2}+2k\pi\ ;\ k\in\mathbb{Z}\right\}

\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{\pi}{4}+k\pi\ ;\ k\in\mathbb{Z}\right\}

Explication

La tangente et sa dérivée sont définies pour tous les réels sauf les nombres de la forme $\frac{\pi}{2}+k\pi$ , où le cosinus s’annule. Les valeurs $k\pi$ sont au contraire des points où la tangente est définie et vaut zéro.

Question 7

7. Pour $f(x)=\frac{1}{x^3}$ , quelle formule donne sa dérivée ?

f'(x)=\frac{3}{x^2}

f'(x)=-\frac{1}{x^4}

f'(x)=\frac{3}{x^4}

f'(x)=-\frac{3}{x^4}

Explication

La règle $\left(\frac{1}{x^n}\right)'=-\frac{n}{x^{n+1}}$ donne ici $-3/x^4$ avec $n=3$ . Le signe négatif et le facteur $3$ distinguent cette formule de celle de $x^3$ .

Question 8

8. Pour la fonction affine $f(x)=-3x+5$ , quelle expression donne sa dérivée ?

f'(x)=-3

f'(x)=5

f'(x)=-3x

f'(x)=2

Explication

La dérivée d’une fonction affine $ax+b$ est le coefficient directeur constant $a$ ; ici, ce coefficient vaut $-3$ . Le terme constant $5$ n’intervient pas dans la dérivée.

Question 9

9. Quelle est la dérivée de $f(x)=\frac{1}{x}$ et sur quel ensemble cette fonction est-elle définie ?

f'(x)=-\frac{1}{x}

sur

\mathbb{R}^*

f'(x)=-\frac{1}{x^2}

sur

\mathbb{R}^*

f'(x)=0

sur

\mathbb{R}

f'(x)=\frac{1}{x^2}

sur

\mathbb{R}

Explication

La dérivée de $1/x$ est $-1/x^2$ , et la division par $x$ impose $x\neq 0$ , d’où le domaine $\mathbb{R}^*$ . L’expression n’est donc pas définie en zéro, contrairement à une fonction constante.

Question 10

10. Quelle est la dérivée de $f(x)=\tan(ax+b)$ lorsque $a$ et $b$ sont des constantes et que la fonction est définie ?

b\left(1+\tan^2(ax+b)\right)

a\left(1-\tan^2(ax+b)\right)

1+\tan^2(ax+b)

a\left(1+\tan^2(ax+b)\right)

Explication

La dérivation de la fonction composée introduit le facteur $a$ provenant de la dérivée de $ax+b$ , puis utilise la dérivée de la tangente. L’expression sans ce facteur traite à tort l’argument $ax+b$ comme s’il s’agissait simplement de $x$ .

Question 11

11. Pour quelles valeurs la fonction $f(x)=\tan(ax+b)$ et sa dérivée ne sont-elles pas définies, en supposant $a\neq 0$ ?

x=\frac{b}{a}+\frac{\pi}{2a}+\frac{k\pi}{a},\quad k\in\mathbb{Z}

x=-\frac{b}{a}+\frac{\pi}{2a}+\frac{k\pi}{a},\quad k\in\mathbb{Z}

x=-\frac{b}{a}+\frac{\pi}{a}+\frac{2k\pi}{a},\quad k\in\mathbb{Z}

x=-\frac{b}{a}+\frac{k\pi}{a},\quad k\in\mathbb{Z}

Explication

Les valeurs interdites sont obtenues lorsque $ax+b=\frac{\pi}{2}+k\pi$ , ce qui donne $x=-\frac{b}{a}+\frac{\pi}{2a}+\frac{k\pi}{a}$ . La forme contenant $-\frac{b}{a}+\frac{k\pi}{a}$ correspond plutôt aux zéros de la tangente qu’à ses points d’indéfinition.

QCM : Tableau des dérivées usuelles — 11 questions

Questions et réponses du QCM

1. Si $f(x)=x^2$ , quelle valeur prend $f'(3)$ ?

2. Pour $f(x)=x^5$ , quelle est l’expression correcte de la dérivée ?

3. Pour $f(x)=\sqrt[4]{x}$ , quelle expression de la dérivée et quel domaine correspondent à la règle des fonctions racines ?

4. Quel domaine est associé à la dérivée de $f(x)=\sqrt[3]{x}$ dans la règle donnée ?

5. Quelle est la dérivée de la fonction constante $f(x)=7$ sur son domaine de définition ?

6. Quel ensemble décrit le domaine de définition de $f(x)=\tan x$ ainsi que celui de sa dérivée ?

7. Pour $f(x)=\frac{1}{x^3}$ , quelle formule donne sa dérivée ?

8. Pour la fonction affine $f(x)=-3x+5$ , quelle expression donne sa dérivée ?

9. Quelle est la dérivée de $f(x)=\frac{1}{x}$ et sur quel ensemble cette fonction est-elle définie ?

10. Quelle est la dérivée de $f(x)=\tan(ax+b)$ lorsque $a$ et $b$ sont des constantes et que la fonction est définie ?

11. Pour quelles valeurs la fonction $f(x)=\tan(ax+b)$ et sa dérivée ne sont-elles pas définies, en supposant $a\neq 0$ ?

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QCM : Tableau des dérivées usuelles — 11 questions

Questions et réponses du QCM

1. Si f(x)=x2f(x)=x^2f(x)=x2, quelle valeur prend f′(3)f'(3)f′(3) ?

2. Pour f(x)=x5f(x)=x^5f(x)=x5, quelle est l’expression correcte de la dérivée ?

3. Pour f(x)=x4f(x)=\sqrt[4]{x}f(x)=4x​, quelle expression de la dérivée et quel domaine correspondent à la règle des fonctions racines ?

4. Quel domaine est associé à la dérivée de f(x)=x3f(x)=\sqrt[3]{x}f(x)=3x​ dans la règle donnée ?

5. Quelle est la dérivée de la fonction constante f(x)=7f(x)=7f(x)=7 sur son domaine de définition ?

6. Quel ensemble décrit le domaine de définition de f(x)=tan⁡xf(x)=\tan xf(x)=tanx ainsi que celui de sa dérivée ?

7. Pour f(x)=1x3f(x)=\frac{1}{x^3}f(x)=x31​, quelle formule donne sa dérivée ?

8. Pour la fonction affine f(x)=−3x+5f(x)=-3x+5f(x)=−3x+5, quelle expression donne sa dérivée ?

9. Quelle est la dérivée de f(x)=1xf(x)=\frac{1}{x}f(x)=x1​ et sur quel ensemble cette fonction est-elle définie ?

10. Quelle est la dérivée de f(x)=tan⁡(ax+b)f(x)=\tan(ax+b)f(x)=tan(ax+b) lorsque aaa et bbb sont des constantes et que la fonction est définie ?

11. Pour quelles valeurs la fonction f(x)=tan⁡(ax+b)f(x)=\tan(ax+b)f(x)=tan(ax+b) et sa dérivée ne sont-elles pas définies, en supposant a≠0a\neq 0a=0 ?

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1. Si $f(x)=x^2$ , quelle valeur prend $f'(3)$ ?

2. Pour $f(x)=x^5$ , quelle est l’expression correcte de la dérivée ?

3. Pour $f(x)=\sqrt[4]{x}$ , quelle expression de la dérivée et quel domaine correspondent à la règle des fonctions racines ?

4. Quel domaine est associé à la dérivée de $f(x)=\sqrt[3]{x}$ dans la règle donnée ?

5. Quelle est la dérivée de la fonction constante $f(x)=7$ sur son domaine de définition ?

6. Quel ensemble décrit le domaine de définition de $f(x)=\tan x$ ainsi que celui de sa dérivée ?

7. Pour $f(x)=\frac{1}{x^3}$ , quelle formule donne sa dérivée ?

8. Pour la fonction affine $f(x)=-3x+5$ , quelle expression donne sa dérivée ?

9. Quelle est la dérivée de $f(x)=\frac{1}{x}$ et sur quel ensemble cette fonction est-elle définie ?

10. Quelle est la dérivée de $f(x)=\tan(ax+b)$ lorsque $a$ et $b$ sont des constantes et que la fonction est définie ?

11. Pour quelles valeurs la fonction $f(x)=\tan(ax+b)$ et sa dérivée ne sont-elles pas définies, en supposant $a\neq 0$ ?