Fiche de révision : Thalès et proportionnalité

📋 Plan du Cours

1. Proportionnalité et quatrième proportionnelle
2. Divisibilité et fractions irréductibles
3. Triangles semblables et angles
4. Théorème de Thalès
5. Configurations de Thalès
6. Réciproque du théorème de Thalès
7. Choisir la propriété géométrique
8. Volumes des cônes
9. Agrandissements et réductions
10. Homothéties et rapports
11. Homothéties et grandeurs géométriques
12. Proportionnalité et calcul mental
13. Évaluation des agrandissements
14. Mission sur le transport de l’eau

📖 1. Proportionnalité et quatrième proportionnelle

🔑 Notions clés & Définitions

• Proportionnalité : Deux grandeurs sont proportionnelles lorsque l’on passe de l’une à l’autre en multipliant toujours par le même nombre, appelé coefficient de proportionnalité.

★ À maîtriser

📌 Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux.

📌 Dans un mouvement uniforme à vitesse constante, les distances et les durées sont proportionnelles, et le coefficient de proportionnalité est la vitesse.

Compléments

📌 Sur une carte, les distances mesurées sur la carte sont proportionnelles aux distances réelles, et le coefficient de proportionnalité est l’échelle.

• Un nœud correspond à 1,852 km.h⁻¹.

• Pour calculer une quatrième proportionnelle, on isole le quotient contenant l’inconnue puis on effectue un produit en croix.

💡 Astuce mémo

Vitesse constante → distance et durée proportionnelles

📖 2. Divisibilité et fractions irréductibles

🔑 Notions clés & Définitions

• Diviseur : Un entier a est un diviseur d’un entier b s’il existe un entier c tel que b = a × c.
• Fraction irréductible : Une fraction est irréductible si son numérateur et son dénominateur n’ont pas de diviseur commun autre que 1.

★ À maîtriser

📌 Pour simplifier une fraction, on divise son numérateur et son dénominateur par un même diviseur commun.

• Un entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3, et il est divisible par 9 si cette somme est un multiple de 9.

Compléments

• Tout nombre entier possède au moins deux diviseurs : 1 et lui-même.

• Un entier est divisible par 2 lorsque son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8, et il est divisible par 5 lorsque son chiffre des unités est 0 ou 5.

💡 Astuce mémo

Fraction réductible ≠ fraction irréductible

📖 3. Triangles semblables et angles

🔑 Notions clés & Définitions

• Triangles semblables : Deux triangles sont semblables si leurs angles sont de même mesure deux à deux ; leurs côtés homologues sont alors proportionnels.

★ À maîtriser

📌 La somme des mesures des angles d’un triangle est égale à 180°.

📌 Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors deux angles alternes-internes ont la même mesure.

Compléments

• Dans un triangle rectangle, la somme des angles aigus est égale à 90°.

• Dans un triangle équilatéral, chacun des trois angles mesure 60°.

💡 Astuce mémo

Angles égaux → triangles semblables → côtés proportionnels

📖 4. Théorème de Thalès

★ À maîtriser

• 🔄 Pour appliquer le théorème de Thalès, on: vérifie les alignements et le parallélisme, repère les triangles semblables et leurs côtés homologues, écrit les rapports égaux, calcule la longueur inconnue par produit en croix

Compléments

• Dans l’exemple étudié, AB = 5,4 cm, BC = 6 cm, AC = 6,3 cm et AM = 3,6 cm, avec (MN) parallèle à (BC).

💡 Astuce mémo

Droites parallèles → triangles semblables → rapports égaux

📖 5. Configurations de Thalès

★ À maîtriser

📌 Dans la configuration classique, A, M, B et A, N, C sont alignés sur deux droites sécantes et (MN) est parallèle à (BC).

📌 Dans la configuration papillon, M, A, B et N, A, C sont alignés sur deux droites sécantes et (MN) est parallèle à (BC).

📌 Le théorème de Thalès s’écrit de la même façon dans les configurations classique et papillon : AM/AB = AN/AC = MN/BC, en associant les côtés homologues.

Compléments

• Pour calculer une longueur dans une configuration papillon, on écrit les alignements, on indique le parallélisme, puis on applique les rapports de Thalès avant le produit en croix.

💡 Astuce mémo

Configuration classique ≠ configuration papillon

📖 6. Réciproque du théorème de Thalès

📝 Points essentiels

📌 Si A, M, B et A, N, C sont alignés dans le même ordre sur deux droites sécantes et si $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$, alors les droites (MN) et (BC) sont parallèles d’après la réciproque du théorème de Thalès.

• 🔄 Pour appliquer la réciproque du théorème de Thalès, il faut: vérifier l’alignement dans le même ordre, écrire les deux rapports contenant le point d’intersection, remplacer les longueurs connues, réduire les fractions, comparer les rapports, conclure sur le parallélisme

📌 Si les deux rapports comparés ne sont pas égaux, les deux droites ne sont pas parallèles, car des droites parallèles produiraient des rapports égaux d’après le théorème de Thalès.

💡 Astuce mémo

Thalès calcule des longueurs ; sa réciproque prouve le parallélisme.

📖 7. Choisir la propriété géométrique

★ À maîtriser

📌 Le théorème de Pythagore sert à calculer une longueur dans un triangle rectangle, tandis que sa réciproque sert à prouver qu’un triangle est rectangle.

📌 Le théorème de Thalès sert à calculer des longueurs dans une configuration où des droites sont parallèles, tandis que sa réciproque sert à prouver que deux droites sont parallèles.

Compléments

📌 Pour appliquer la réciproque du théorème de Pythagore dans un triangle ABC, il faut vérifier l’égalité $BC^2=AC^2+AB^2$ afin de conclure que le triangle ABC est rectangle en A.

📌 Si deux droites sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l’une est également perpendiculaire à l’autre.

💡 Astuce mémo

Pythagore concerne le triangle rectangle ; Thalès concerne deux droites sécantes.

📖 8. Volumes des cônes

★ À maîtriser

📐 Formule — Le volume d’un cône de rayon r et de hauteur h est donné par $V_{\text{cône}}=\frac{1}{3}\pi r^2h$.

📌 Un calcul exact conserve le nombre π dans l’expression du volume, tandis qu’un calcul approché remplace π par sa valeur calculée et arrondit le résultat selon la précision demandée.

Compléments

• Pour calculer le volume d’un cône tronqué obtenu entre un grand cône et un petit cône semblable, on peut soustraire le volume du petit cône du volume du grand cône.

💡 Astuce mémo

Rayon, hauteur, formule, valeur exacte puis valeur approchée.

📖 9. Agrandissements et réductions

🔑 Notions clés & Définitions

• Agrandissement : multiplie toutes les dimensions d’un objet par un nombre positif k supérieur à 1
• Réduction : multiplie toutes les dimensions d’un objet par un nombre positif k inférieur à 1

★ À maîtriser

📌 Lors d’un agrandissement ou d’une réduction de rapport k, les longueurs sont multipliées par k, les aires par $k^2$ et les volumes par $k^3$.

Compléments

• Un agrandissement ou une réduction conserve la nature géométrique de l’objet et les mesures de ses angles.

💡 Astuce mémo

Multiplier les longueurs par k entraîne des aires multipliées par k² et des volumes par k³.

📖 10. Homothéties et rapports

🔑 Notions clés & Définitions

• Homothétie : Une homothétie de centre donné et de rapport k transforme une figure géométrique en un agrandissement si k>1 ou en une réduction si 0<k<1.

★ À maîtriser

📌 Pour déterminer le rapport d’une homothétie, on compare deux longueurs homologues et on calcule le quotient longueur de l’image sur longueur de la figure initiale.

📌 Pour une homothétie de rapport k, les longueurs sont multipliées par k, les aires par $k^2$ et les volumes par $k^3$.

Compléments

📌 Lorsque le rapport d’une homothétie est négatif, la figure et son image se trouvent de part et d’autre du centre de l’homothétie.

• Une homothétie de rapport -1 est une symétrie centrale.

💡 Astuce mémo

Rapport positif : figures du même côté ; rapport négatif : figures de part et d’autre du centre.

📖 11. Homothéties et grandeurs géométriques

★ À maîtriser

• Pour résoudre les exercices d’homothétie, il faut déterminer le centre et le rapport, puis calculer les périmètres, les aires ou les volumes à partir de ce rapport.

📐 Formule — Le volume d’une pyramide se calcule avec la relation $V=\frac{1}{3}\times\text{base}\times\text{hauteur}$.

📌 Une homothétie de centre O et de rapport -2 construit les images en plaçant les points images sur les demi-droites opposées et en multipliant les longueurs par 2.

📐 Formule — Pour une homothétie de rapport -2, l’aire du triangle A’B’C’ est multipliée par $(-2)^2=4$ par rapport à l’aire du triangle ABC.

Compléments

• Dans l’exercice du cube, le volume du cube ABCDEFGH est calculé à partir de ses dimensions, puis le volume du cube agrandi A’B’C’D’E’F’G’H’ est déduit grâce au rapport de l’homothétie et vaut 216 cm3.

• Dans l’exercice de la pyramide, la base IJKL est parallèle à la face ABCD et le point I est le milieu du segment [DH].

💡 Astuce mémo

Rapport linéaire → périmètre, rapport au carré → aire, rapport au cube → volume.

📖 12. Proportionnalité et calcul mental

★ À maîtriser

• Un tableau de proportionnalité permet de déterminer une valeur manquante en conservant le même coefficient de proportionnalité entre les deux lignes.

Compléments

• Le calcul mental porte notamment sur:
  • les distances
  • les prix
  • les multiples
  • les diviseurs
  • la mise sous forme irréductible de fractions

📖 13. Évaluation des agrandissements

★ À maîtriser

• Un monstre miniature mesure 16 cm de hauteur et son image projetée sur un écran est obtenue par agrandissement.

• Dans une homothétie de rapport 15, le volume de la figurine est multiplié par $15^3$.

Compléments

• Le volume initial de la figurine est supposé égal à 0,0012 m3 dans la question sur l’agrandissement en trois dimensions.

💡 Astuce mémo

Longueur → aire → volume.

📖 14. Mission sur le transport de l’eau

🔑 Notions clés & Définitions

• Hydrie : Récipient antique assimilé à un vase muni de trois anses, dont deux servent à la porter et une à verser l’eau.

★ À maîtriser

• Cléobuline doit rapporter 30 l d’eau en effectuant le nombre d’allers-retours nécessaires entre la fontaine et son domicile.

• Pour le calcul du volume d’eau, 1 l est égal à 1 000 cm3.

Compléments

• L’eau contenue dans l’hydrie lorsqu’elle est remplie jusqu’au niveau des anses est assimilée à un tronc de cône.

• Le trajet que Cléobuline doit emprunter est représenté par le chemin MABF, avec les points A, B et C alignés ainsi que les points M, B et F alignés.

💡 Astuce mémo

Une hydrie portée de la fontaine jusqu’au domicile sur le trajet MABF.

📊 Tableaux de synthèse

Configurations de Thalès

Choisir le bon théorème