Fiche de révision : Forme canonique du second degré

📋 Plan du Cours

1. Définition de la forme canonique
2. Calcul de la forme canonique
3. Démonstration par identité remarquable
4. Variations et extremum
5. Optimisation avec un bénéfice

📖 1. Définition de la forme canonique

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme canonique : Une fonction polynôme du second degré peut s’écrire sous forme développée $f(x)=ax^2+bx+c$ ou sous forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, avec $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$.

📝 Points essentiels

• Dans la forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, le sommet de la parabole a pour coordonnées $(\alpha,\beta)$.

💡 Astuce mémo

Forme développée ax²+bx+c contre forme canonique a(x−α)²+β

📖 2. Calcul de la forme canonique

📝 Points essentiels

• Pour déterminer la forme canonique d’un trinôme, on calcule d’abord $\alpha=-\frac{b}{2a}$, puis $\beta=f(\alpha)$, avant d’écrire $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$.

• Pour $u(x)=2x^2-5x+3$, on obtient $\alpha=\frac{5}{4}$ et $\beta=-\frac{1}{8}$, donc $u(x)=2\left(x-\frac{5}{4}\right)^2-\frac{1}{8}$.

💡 Astuce mémo

Calculer α, puis β, puis réécrire f

📖 3. Démonstration par identité remarquable

📝 Points essentiels

• La démonstration de la forme canonique consiste à factoriser par a, faire apparaître une identité remarquable, soustraire le terme ajouté, factoriser le carré puis réduire les termes restants.

📐 Formule — La démonstration conduit aussi à $\beta=-\frac{b^2-4ac}{4a}$, même si cette formule n’est pas retenue comme nécessaire dans le cours.

💡 Astuce mémo

Factoriser → compléter le carré → réduire

📖 4. Variations et extremum

★ À maîtriser

📌 Si $a>0$, la fonction est décroissante sur $]-\infty;\alpha]$ puis croissante sur $[\alpha;+\infty[$, et elle admet un minimum égal à β en α.

📌 Si $a<0$, la fonction est croissante sur $]-\infty;\alpha]$ puis décroissante sur $[\alpha;+\infty[$, et elle admet un maximum égal à β en α.

Compléments

• Pour a>0, la preuve des variations compare les carrés de deux nombres situés de part et d’autre de α, puis utilise la conservation de l’ordre par multiplication par a et addition de β.

💡 Astuce mémo

Le signe de a → l’ouverture de la parabole → les variations

📖 5. Optimisation avec un bénéfice

📝 Points essentiels

• Pour le bénéfice $B(x)=-x^2+50x-200$ défini pour $x\in[1;30]$, on obtient $\alpha=25$ et $\beta=425$, donc $B(x)=-(x-25)^2+425$.

• Pour résoudre le problème d’optimisation, on met le bénéfice sous forme canonique, on utilise le signe négatif de a pour établir les variations, puis on interprète α et β dans les unités du problème.

• L’entreprise maximise son bénéfice en fabriquant et vendant 2 500 raquettes, pour un bénéfice maximal de 42 500 €.

💡 Astuce mémo

Mettre sous forme canonique → étudier les variations → conclure

📊 Tableaux de synthèse

Variations selon le signe de a