B(x)=-(x-25)²+425
Explication
On obtient α=25 et β=425, donc B(x)=-(x-25)²+425. Le signe négatif indique que la parabole est tournée vers le bas.
β=−(b²−4ac)/(4a)
Explication
La démonstration conduit à β=−(b²−4ac)/(4a). Toutefois, la méthode recommandée consiste généralement à calculer d’abord α puis β=f(α).
(α, β)
Explication
Le sommet de la parabole a pour abscisse α et pour ordonnée β, donc ses coordonnées sont (α, β). Le nombre a est le coefficient du terme carré, et non une coordonnée du sommet.
42 500 €
Explication
Le bénéfice maximal associé à la production de 2 500 raquettes est de 42 500 €. La quantité produite et le bénéfice sont deux grandeurs distinctes.
α représente la quantité produite et β le bénéfice correspondant.
Explication
Dans la forme canonique, α correspond à la valeur de la variable de production qui optimise le bénéfice, tandis que β est le bénéfice associé. Ils ne représentent donc pas deux quantités de production.
f(x)=a(x−α)²+β, avec α=−b/(2a) et β=f(α)
Explication
La forme canonique est f(x)=a(x−α)²+β, où α=−b/(2a) et β=f(α). Les coefficients a, b et c caractérisent la forme développée, tandis que α et β interviennent dans la forme canonique.
Factoriser par a, faire apparaître un carré, soustraire le terme ajouté, factoriser le carré et réduire
Explication
La démonstration repose sur la mise en évidence d’une identité remarquable : on ajoute puis on soustrait le même terme afin de compléter le carré, avant de factoriser et de réduire.
Elle décroît puis croît, et admet un minimum en α de valeur β.
Explication
Lorsqu'a>0, la fonction est décroissante jusqu’à α puis croissante après α. Elle possède donc un minimum égal à β en α.
Calculer α=−b/(2a), puis β=f(α), et écrire f(x)=a(x−α)²+β
Explication
On calcule d’abord α=−b/(2a), puis on évalue la fonction en α pour obtenir β=f(α). Il ne faut pas intervertir les rôles de α et β ni utiliser c et b à la place de a et b dans le calcul de α.
Elle admet un maximum égal à β en α.
Explication
Lorsqu'a<0, la fonction est croissante avant α puis décroissante après α. Son sommet correspond donc à un maximum de valeur β atteint en α.
u(x)=2(x−5/4)²−1/8
Explication
Pour cette fonction, α=5/4 et β=−1/8. On obtient donc u(x)=2(x−5/4)²−1/8 ; le signe positif de α dans sa valeur entraîne bien l’écriture x−5/4.
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Qu'est-ce que la forme canonique d'une fonction polynôme du second degré ?
C'est l'écriture $f(x)=a(x-\\alpha)^2+\\beta$.
Comment calcule-t-on $\\alpha$ dans la forme canonique ?
$\\alpha = -\frac{b}{2a}$.
Comment calcule-t-on $\\beta$ dans la forme canonique ?
$\\beta = f(\\alpha)$.
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