Forme canonique du second degré

📋 Plan du Cours

1. Définition de la forme canonique
2. Calcul de la forme canonique
3. Démonstration par identité remarquable
4. Variations et extremum
5. Optimisation avec un bénéfice

📖 1. Définition de la forme canonique

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme canonique : Une fonction polynôme du second degré peut s’écrire sous forme développée $f(x)=ax^2+bx+c$ ou sous forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, avec $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$.

📝 Points essentiels

• Dans la forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, le sommet de la parabole a pour coordonnées $(\alpha,\beta)$.

💡 Astuce mémo

Forme développée ax²+bx+c contre forme canonique a(x−α)²+β

📖 2. Calcul de la forme canonique

📝 Points essentiels

• Pour déterminer la forme canonique d’un trinôme, on calcule d’abord $\alpha=-\frac{b}{2a}$, puis $\beta=f(\alpha)$, avant d’écrire $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$.

• Pour $u(x)=2x^2-5x+3$, on obtient $\alpha=\frac{5}{4}$ et $\beta=-\frac{1}{8}$, donc $u(x)=2\left(x-\frac{5}{4}\right)^2-\frac{1}{8}$.

💡 Astuce mémo

Calculer α, puis β, puis réécrire f

📖 3. Démonstration par identité remarquable

📝 Points essentiels