Fiche de révision : Limites de suites

📋 Plan du Cours

1. Limites infinies des suites
2. Suites convergentes et divergentes
3. Opérations sur les limites
4. Limite d’une somme

📖 1. Limites infinies des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite infinie positive : Lorsque, pour tout réel A, il existe un rang n₀ tel que, dès que n ≥ n₀, uₙ > A.

★ À maîtriser

📐 Formule — Lorsqu’une suite (uₙ) tend vers +∞, on note $\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty$.

Compléments

• La suite définie par uₙ = n² tend vers +∞, c’est-à-dire $\lim_{n\to+\infty}n^2=+\infty$.

💡 Astuce mémo

+∞ signifie dépasser tout réel A, tandis que −∞ signifie être inférieur à tout réel A

📖 2. Suites convergentes et divergentes

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite convergente : Si, pour tout intervalle ouvert I contenant ℓ, il existe un rang n₀ tel que, dès que n ≥ n₀, uₙ ∈ I.
• Suite divergente : Une suite est divergente lorsqu’elle ne converge pas ; elle peut admettre une limite infinie ou ne pas admettre de limite.

★ À maîtriser

📐 Formule — Lorsqu’une suite (uₙ) converge vers un réel ℓ, on note $\lim_{n\to+\infty}u_n=\ell$.

Compléments

• La suite définie par uₙ = 5 + 1/n converge vers 5, c’est-à-dire $\lim_{n\to+\infty}(5+1/n)=5$.

• La suite définie par uₙ = sin(n) est divergente car elle n’admet pas de limite.

💡 Astuce mémo

Convergente : se rapprocher d’un réel ; divergente : ne pas converger

📖 3. Opérations sur les limites

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme indéterminée : Une forme qui ne donne pas toujours la même réponse ; elle est notée en abrégé FI.

📝 Points essentiels

• Pour déterminer la limite d’une suite composée d’opérations, on peut la décomposer en plusieurs suites en suivant les opérations qui la composent.

💡 Astuce mémo

Décomposer la suite, étudier les limites des composantes, puis appliquer l’opération

📖 4. Limite d’une somme

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour wₙ = uₙ + vₙ, si uₙ tend vers L ∈ ℝ et vₙ tend vers L′ ∈ ℝ, alors $\lim_{n\to+\infty}w_n=L+L′$.

• Pour wₙ = uₙ + vₙ, les cas de somme donnent notamment : réel + +∞ = +∞, réel + −∞ = −∞, +∞ + +∞ = +∞ et −∞ + −∞ = −∞.

• La somme +∞ + (−∞) est une forme indéterminée, notée FI.

• Comme $\lim_{n\to+\infty}n^2=+\infty$ et $\lim_{n\to+\infty}(-n)=-\infty$, la limite de n² − n est d’abord une forme indéterminée, mais $\lim_{n\to+\infty}(n^2-n)=+\infty$.

Compléments

• Comme $\lim_{n\to+\infty}n=+\infty$ et $\lim_{n\to+\infty}1/n=0$, on obtient par somme $\lim_{n\to+\infty}(n+1/n)=+\infty$.

💡 Astuce mémo

Les sommes déterminées s’opposent à la forme indéterminée, notamment +∞ + (−∞)