Fiche de révision : Théorème de Thalès et réciproque

📋 Plan du Cours

1. Calculer des longueurs avec Thalès
2. Mesurer le phare de Cordouan
3. Agrandissement et réduction
4. Prouver le parallélisme de droites
5. Triangles semblables et théorème

📖 1. Calculer des longueurs avec Thalès

📝 Points essentiels

📐 Formule - Dans la configuration où A, N, C et A, M, B sont alignés dans cet ordre et où (MN) est parallèle à (BC), le théorème de Thalès donne $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$.

📖 2. Mesurer le phare de Cordouan

📝 Points essentiels

• Pour calculer la hauteur du phare, on utilise d’abord Thalès pour obtenir $CE=\frac{1{,}5\times88{,}8}{2}=66{,}6\,\text{m}$, puis le théorème de Pythagore dans le triangle CDE rectangle en E pour obtenir $DC=111\,\text{m}$.

📖 3. Agrandissement et réduction

🔑 Notions clés & Définitions

• Coefficient d’agrandissement ou de réduction : Le coefficient d’agrandissement ou de réduction est le nombre par lequel on multiplie toutes les longueurs du premier triangle pour obtenir les longueurs équivalentes du deuxième triangle.

💡 Astuce mémo

Un coefficient commun aux côtés correspondants indique des triangles semblables ; des coefficients différents les excluent.

📖 4. Prouver le parallélisme de droites

📝 Points essentiels

📌 Si deux droites sécantes en A vérifient que deux des rapports $\frac{AD}{AB}$, $\frac{AE}{AC}$ et $\frac{DE}{BC}$ ne sont pas égaux, alors (DE) et (BC) ne sont pas parallèles.

📌 Si A, B, D et A, C, E sont alignés dans le même ordre sur deux droites sécantes en A et si $\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$ (ou $\frac{BC}{DE}$), alors (BC) et (DE) sont parallèles.

💡 Astuce mémo

Des rapports égaux permettent de conclure au parallélisme ; des rapports inégaux permettent de l’exclure.

📖 5. Triangles semblables et théorème

🔑 Notions clés & Définitions

• Triangles semblables : Deux triangles sont semblables lorsqu’ils ont la même forme ; leurs côtés correspondants sont proportionnels et leurs angles sont égaux deux à deux.

📝 Points essentiels

• Lorsque deux droites parallèles (BC) et (DE) coupent deux droites sécantes (AB) et (AC), elles déterminent deux triangles ABC et ADE dont les côtés correspondants ont des longueurs proportionnelles.

📐 Formule - Si A, B, M sont alignés, si A, C, N sont alignés et si (MN) est parallèle à (BC), alors $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$.