QCM : Théorème de Thalès et réciproque (7 questions)

Question 1

1. Dans une figure, A, N, C sont alignés dans cet ordre, A, M, B sont alignés dans cet ordre et (MN) est parallèle à (BC). Si $AM=4\,\text{cm}$ , $AB=10\,\text{cm}$ et $AN=3\,\text{cm}$ , quelle égalité permet de déterminer $AC$ avec le théorème de Thalès ?

\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}

, donc

\frac{4}{10}=\frac{3}{AC}

\frac{MN}{AB}=\frac{AN}{AC}

, donc

\frac{MN}{10}=\frac{3}{AC}

\frac{AM}{AN}=\frac{AB}{AC}

, donc

\frac{4}{3}=\frac{10}{AC}

\frac{AM}{AB}=\frac{AC}{AN}

, donc

\frac{4}{10}=\frac{AC}{3}

Explication

Dans cette configuration, les côtés correspondants vérifient $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$ ; on obtient donc $\frac{4}{10}=\frac{3}{AC}$ . L’égalité $\frac{AM}{AN}=\frac{AB}{AC}$ change l’appariement des côtés, $\frac{AC}{AN}$ inverse le rapport, et $\frac{MN}{AB}$ associe des côtés qui ne sont pas correspondants.

Answer

$$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$$, donc $$\frac{4}{10}=\frac{3}{AC}$$

Question 2

2. Pour estimer la hauteur d’un phare, on mesure un piquet parallèle au phare : les longueurs données conduisent, par Thalès, à $CE=66,6\,\text{m}$ . Le triangle formé est rectangle en E et $DE=88,8\,\text{m}$ . Quelle hauteur $DC$ obtient-on en appliquant ensuite Pythagore ?

58,6\,\text{m}

66,6\,\text{m}

111\,\text{m}

155,4\,\text{m}

Explication

Comme le triangle est rectangle en E, $DC^2=DE^2+EC^2=88,8^2+66,6^2=12\,321$ , donc $DC=111\,\text{m}$ . $66,6\,\text{m}$ est le côté EC trouvé avec Thalès, $58,6\,\text{m}$ vient de la différence des carrés, et $155,4\,\text{m}$ de l’addition directe des longueurs.

Answer

$$111\,\text{m}$$

Question 3

3. Que représente le coefficient d’agrandissement ou de réduction entre deux triangles ?

Le rapport entre les aires des deux triangles, sans tenir compte de leurs côtés.

La différence entre les longueurs des côtés correspondants des deux triangles.

Le nombre par lequel on multiplie les longueurs du premier triangle pour obtenir les longueurs correspondantes du second.

La somme des longueurs des côtés du premier triangle divisée par celle du second.

Explication

Ce coefficient est le facteur multiplicatif appliqué à toutes les longueurs du premier triangle pour obtenir celles qui lui correspondent dans le second. Le rapport des aires concerne les surfaces et ne définit pas ce coefficient.

Answer

Le nombre par lequel on multiplie les longueurs du premier triangle pour obtenir les longueurs correspondantes du second.

Question 4

4. Sur deux droites sécantes en A, les points A, B, D et A, C, E sont alignés dans le même ordre. Quelle égalité de rapports permet de conclure que (BC) et (DE) sont parallèles ?

\frac{AD}{AB}=\frac{AC}{AE}

\frac{AB}{AD}=\frac{AE}{AC}

\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}

\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}

Explication

Lorsque les points sont alignés dans le même ordre, l’égalité des rapports $\frac{AB}{AD}$ et $\frac{AC}{AE}$ permet de conclure au parallélisme de (BC) et (DE). L’égalité croisée $\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$ ne correspond pas au critère indiqué.

Answer

$$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$$

Question 5

5. Dans une configuration où deux droites parallèles coupent deux droites sécantes, quel rôle joue le théorème de Thalès pour les triangles ainsi formés ?

Il démontre que leurs périmètres ont nécessairement la même valeur.

Il établit que leurs aires sont égales lorsque leurs bases sont parallèles.

Il établit que les longueurs de leurs côtés correspondants sont proportionnelles.

Il permet de déterminer que leurs côtés correspondants sont perpendiculaires.

Explication

Le théorème de Thalès permet d’exprimer la proportionnalité des longueurs des côtés correspondants des triangles formés par les droites parallèles. Le parallélisme des côtés ne rend pas leurs aires égales : celles-ci dépendent aussi de leurs dimensions.

Answer

Il établit que les longueurs de leurs côtés correspondants sont proportionnelles.

Question 6

6. Dans une configuration de Thalès, quelle différence distingue les rapports donnant le rapport de réduction des longueurs parallèles de ceux portant sur les segments situés sur les deux droites sécantes ?

Le rapport des longueurs parallèles compare MN à BC, tandis que les autres comparent AM à AB et AN à AC.

Le rapport des longueurs parallèles compare MN à AB, tandis que les autres comparent AM à BC et AN à AC.

Le rapport des longueurs parallèles compare MN à AC, tandis que les autres comparent AM à AB et AN à BC.

Le rapport des longueurs parallèles compare MN à AM, tandis que les autres comparent AB à BC et AN à AC.

Explication

Le théorème de Thalès associe le rapport des segments parallèles $\frac{MN}{BC}$ aux rapports des segments correspondants sur les deux droites sécantes, $\frac{AM}{AB}$ et $\frac{AN}{AC}$ . Comparer MN à AB, comme le suggère un distracteur, mélange des segments qui ne sont pas correspondants dans cette égalité.

Answer

Le rapport des longueurs parallèles compare MN à BC, tandis que les autres comparent AM à AB et AN à AC.

Question 7

7. Pourquoi le calcul de la hauteur du phare de Cordouan nécessite-t-il d’appliquer Pythagore après le théorème de Thalès ?

Thalès détermine la hauteur directement, puis Pythagore vérifie que les droites sont parallèles.

Pythagore établit d’abord la proportion des longueurs, puis Thalès calcule la hauteur du phare.

Thalès fournit un côté du triangle rectangle, puis Pythagore permet d’en déduire la hauteur recherchée.

Thalès mesure l’angle droit du triangle, puis Pythagore détermine la longueur du côté parallèle.

Explication

Thalès permet d’obtenir la longueur CE, qui est un côté du triangle CDE rectangle en E ; Pythagore sert ensuite à calculer DC, la hauteur du phare. Pythagore ne sert pas à établir le parallélisme ni les proportions utilisées dans la première étape.

Answer

Thalès fournit un côté du triangle rectangle, puis Pythagore permet d’en déduire la hauteur recherchée.

QCM : Théorème de Thalès et réciproque (7 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Dans une figure, A, N, C sont alignés dans cet ordre, A, M, B sont alignés dans cet ordre et (MN) est parallèle à (BC). Si $AM=4\,\text{cm}$ , $AB=10\,\text{cm}$ et $AN=3\,\text{cm}$ , quelle égalité permet de déterminer $AC$ avec le théorème de Thalès ?

2. Pour estimer la hauteur d’un phare, on mesure un piquet parallèle au phare : les longueurs données conduisent, par Thalès, à $CE=66,6\,\text{m}$ . Le triangle formé est rectangle en E et $DE=88,8\,\text{m}$ . Quelle hauteur $DC$ obtient-on en appliquant ensuite Pythagore ?

3. Que représente le coefficient d’agrandissement ou de réduction entre deux triangles ?

4. Sur deux droites sécantes en A, les points A, B, D et A, C, E sont alignés dans le même ordre. Quelle égalité de rapports permet de conclure que (BC) et (DE) sont parallèles ?

5. Dans une configuration où deux droites parallèles coupent deux droites sécantes, quel rôle joue le théorème de Thalès pour les triangles ainsi formés ?

6. Dans une configuration de Thalès, quelle différence distingue les rapports donnant le rapport de réduction des longueurs parallèles de ceux portant sur les segments situés sur les deux droites sécantes ?

7. Pourquoi le calcul de la hauteur du phare de Cordouan nécessite-t-il d’appliquer Pythagore après le théorème de Thalès ?

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