Fiche de révision : Théorie élémentaire des ensembles

📋 Plan du Cours

1. Éléments et appartenance
2. Inclusion et égalité des ensembles
3. Parties et opérations ensemblistes
4. Complémentaire et différence
5. Produit cartésien

📖 1. Éléments et appartenance

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble : Collection d’éléments ou d’objets, qui peuvent être des nombres, des points ou des vecteurs.
• Ensemble vide : Ensemble qui ne contient aucun élément, c’est-à-dire tel que tout objet x vérifie x ∉ ∅.
• Appartenance : Pour un ensemble E et un objet x, écrire x ∈ E signifie que x est un élément de E, tandis que x ∉ E signifie que x n’est pas un élément de E.

💡 Astuce mémo

Élément x ∈ E ; ensemble E contient x

📖 2. Inclusion et égalité des ensembles

🔑 Notions clés & Définitions

• Inclusion : Tout élément de E appartient aussi à F.
• Égalité des ensembles : Deux ensembles E et F sont égaux lorsqu’ils sont constitués des mêmes éléments, ce qui équivaut à E ⊂ F et F ⊂ E.
• Ensemble des parties : Une partie ou un sous-ensemble F de E est un ensemble vérifiant F ⊂ E, et l’ensemble de toutes les parties de E est noté P(E).

★ À maîtriser

📌 E n’est pas inclus dans F si et seulement s’il existe au moins un élément de E qui n’appartient pas à F.

Compléments

📌 L’inclusion est réflexive et transitive : E ⊂ E et, si E ⊂ F et F ⊂ G, alors E ⊂ G.

💡 Astuce mémo

Double inclusion → égalité

📖 3. Parties et opérations ensemblistes

🔑 Notions clés & Définitions

• Intersection : L’intersection de deux parties A et B de E est A ∩ B = {x ∈ E, x ∈ A et x ∈ B}, c’est-à-dire l’ensemble des éléments communs à A et B.
• Union : L’union de deux parties A et B de E est A ∪ B = {x ∈ E, x ∈ A ou x ∈ B}, c’est-à-dire l’ensemble des éléments appartenant à A ou à B.

★ À maîtriser

📌 Les lois distributives sont A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) et A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).

Compléments

📌 L’intersection est commutative et associative, vérifie A ∩ ∅ = ∅, A ∩ A = A et A ∩ E = A, et satisfait A ⊂ B si et seulement si A ∩ B = A.

📌 L’union est commutative et associative, vérifie A ∪ ∅ = A et A ∪ A = A, et satisfait A ⊂ B si et seulement si A ∪ B = B.

💡 Astuce mémo

Intersection = et ; union = ou

📖 4. Complémentaire et différence

🔑 Notions clés & Définitions

• Complémentaire : Ensemble des éléments de E qui n’appartiennent pas à F.
• Différence d’ensembles : Ensemble des éléments de F qui n’appartiennent pas à G.

📝 Points essentiels

📌 Le complémentaire vérifie E \ ∅ = E, E \ E = ∅, F ∩ (E \ F) = ∅ et F ∪ (E \ F) = E.

📌 Les lois de Morgan donnent E \ (F ∪ G) = (E \ F) ∩ (E \ G) et E \ (F ∩ G) = (E \ F) ∪ (E \ G).

💡 Astuce mémo

Complémentaire agit dans E ; différence part de F

📖 5. Produit cartésien

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit cartésien : Ensemble des couples (x, y) tels que x ∈ E et y ∈ F.

💡 Astuce mémo

Une grille de couples (x,y), avec x dans E et y dans F

📊 Tableaux de synthèse

Opérations sur les ensembles