Fiche de révision : Transformées de Laplace et systèmes automatisés

📋 Plan du Cours

1. Réponse impulsionnelle du premier ordre
2. Modèle et réponse indicielle
3. Réponse à une rampe
4. Boucles ouverte et fermée
5. Précision des systèmes asservis
6. Fonctions et transformées de Laplace
7. Blocs en série et en parallèle
8. Transformée de Laplace et propriétés
9. Signaux usuels et fonction de transfert
10. Modélisation des systèmes physiques
11. Modélisation du vérin pneumatique
12. Chaînes fonctionnelles et asservissement

📖 1. Réponse impulsionnelle du premier ordre

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une impulsion de Dirac d’aire A appliquée à un système de fonction de transfert $H(p)=\frac{K}{1+\tau p}$, la réponse est $s(t)=\frac{KA}{\tau}e^{-t/\tau}$.

Compléments

• La valeur initiale de la réponse impulsionnelle est $s(0^+)=\frac{KA}{\tau}$.

📐 Formule - La dérivée initiale de la réponse impulsionnelle est $s'(0)=-\frac{KA}{\tau^2}$.

• La tangente à l’origine de la réponse impulsionnelle coupe son asymptote en $t=\tau$.

• À l’instant $t=\tau$, la réponse impulsionnelle a diminué de 63 % par rapport à sa valeur initiale.

📖 2. Modèle et réponse indicielle

🔑 Notions clés & Définitions

• Système du premier ordre : Un système du premier ordre est régi par une équation différentielle de la forme $\tau\dot{s}(t)+s(t)=Ke(t)$, avec $\tau>0$ et K le gain.
• Gain statique : Le gain statique K caractérise le comportement du système en régime établi, une fois le régime transitoire terminé.
• Constante de temps : La constante de temps τ caractérise le comportement dynamique du système ; pour une réponse indicielle, le système atteint 63,2 % de sa valeur finale au bout d’une constante de temps.

★ À maîtriser

📐 Formule - La fonction de transfert d’un système du premier ordre est $H(p)=\frac{S(p)}{E(p)}=\frac{K}{1+\tau p}$.

📐 Formule - Le temps de réponse à 5 % d’un système du premier ordre vaut $T_{r5\%}=3\tau$.

📐 Formule - Pour un échelon d’amplitude E₀, la réponse indicielle est $s(t)=KE_0(1-e^{-t/\tau})$ et sa valeur finale est $KE_0$.

Compléments

📐 Formule - Pour un échelon d’amplitude E₀, l’erreur statique vaut $E_s=(1-K)E_0$ et elle est nulle lorsque K = 1.

📖 3. Réponse à une rampe

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une entrée rampe de pente a, la réponse d’un système du premier ordre est $s(t)=Ka(t-\tau+\tau e^{-t/\tau})$.

📐 Formule - Pour K = 1, la pente de l’asymptote finale de la réponse à une rampe est égale à celle de la consigne et l’erreur dynamique vaut $E_v=a\tau$.

Compléments

📐 Formule - Pour une rampe de pente a, $e(t)=at\,u(t)$ et sa transformée de Laplace est $E(p)=\frac{a}{p^2}$.

• Pour K = 1, l’asymptote finale de la réponse à une rampe est décalée de τ par rapport à la consigne.

• Pour K ≠ 1, la pente de l’asymptote finale de la réponse à une rampe diffère de celle de la consigne, de sorte que le système s’en écarte.

💡 Astuce mémo

Avec K = 1, la rampe est suivie avec un retard d’une constante de temps ; avec K ≠ 1, les pentes diffèrent.

📖 4. Boucles ouverte et fermée

★ À maîtriser

📐 Formule - La fonction de transfert en boucle ouverte est $FTBO=K(p)G(p)H(p)=CD\cdot CR$.

📐 Formule - La fonction de transfert en boucle fermée est $FTBF=\frac{K(p)G(p)}{1+K(p)G(p)H(p)}=\frac{CD}{1+CD\cdot CR}$.

Compléments

📐 Formule - Pour un retour unitaire, H(p) = 1, la fonction de transfert en boucle fermée vaut $FTBF=\frac{K(p)G(p)}{1+K(p)G(p)}=\frac{FTBO}{1+FTBO}$.

• Les signaux canoniques simples sont :
  • l’échelon
  • la rampe
  • le Dirac positif

📌 Le régime transitoire décrit l’aspect dynamique de la réponse, tandis que le régime permanent en décrit l’aspect statique.

📖 5. Précision des systèmes asservis

🔑 Notions clés & Définitions

• Erreur statique : L’erreur statique εs est la différence entre la consigne en échelon d’amplitude E₀ et la sortie en régime permanent, soit $\varepsilon_s=\lim_{t\to+\infty}(e(t)-s(t))$.
• Erreur dynamique : L’erreur dynamique εv, ou erreur de traînage ou de poursuite, est la différence entre la consigne en rampe et la sortie en régime permanent, soit $\varepsilon_v=\lim_{t\to+\infty}(e(t)-s(t))$.

★ À maîtriser

• Les qualités requises d’un système asservi sont :
  • la précision
  • la rapidité
  • la stabilité

Compléments

• Pour une entrée rampe, l’erreur dynamique peut être constante, nulle ou infinie ; une erreur dynamique infinie est hors des performances des machines.

• Une erreur dynamique nulle peut correspondre à un système trop réactif et s’accompagner d’instabilité.

💡 Astuce mémo

L’échelon révèle l’erreur statique ; la rampe révèle l’erreur dynamique.

📖 6. Fonctions et transformées de Laplace

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction de transfert : La fonction de transfert d’un système est le rapport de la transformée de Laplace de sa sortie à celle de son entrée, sous l’hypothèse de conditions initiales nulles.

📝 Points essentiels

• Dans une fonction de transfert exprimée comme quotient de polynômes en p, les racines du numérateur sont les zéros et celles du dénominateur sont les pôles.

• La transformée de Laplace de l’impulsion de Dirac δ(t) est 1, celle de l’échelon unitaire est $1/p$ et celle de la rampe unitaire t est $1/p^2$.

📐 Formule - La transformée de Laplace de $e^{-at}$ est $\frac{1}{p+a}$.

📖 7. Blocs en série et en parallèle

★ À maîtriser

• Pour un bloc de fonction de transfert F(p), la relation entrée-sortie est $S(p)=F(p)E(p)$.

📐 Formule - La fonction de transfert équivalente de deux blocs en série A(p) et B(p) est $F(p)=A(p)B(p)$.

📐 Formule - La fonction de transfert équivalente de deux blocs en parallèle A(p) et B(p) est $F(p)=A(p)+B(p)$.

Compléments

• Dans une boucle asservie, la chaîne directe est constituée de K(p) puis G(p), et la chaîne de retour est constituée du capteur H(p).

💡 Astuce mémo

En série, les fonctions se multiplient ; en parallèle, elles s’additionnent.

📖 8. Transformée de Laplace et propriétés

🔑 Notions clés & Définitions

• Transformée de Laplace : Association à une fonction réelle f(t), définie pour t>0, d’une fonction F(p) de la variable complexe p par $F(p)=\int_0^{+\infty} f(t)e^{-pt}\,dt$.

★ À maîtriser

• La transformée de Laplace transforme la résolution d’un système d’équations différentielles linéaires en la résolution d’un système d’équations algébriques.

📌 La transformée de Laplace est linéaire : si f(t)=a g(t)+b h(t), alors $F(p)=aG(p)+bH(p)$.

Compléments

📐 Formule - Le théorème de la valeur initiale donne $f(0^+)=\lim_{p\to +\infty}pF(p)$.

📐 Formule - Le théorème de la valeur finale donne $f(+\infty)=\lim_{p\to 0}pF(p)$.

📐 Formule - La transformée de la dérivée première est $\mathcal{L}\{f'(t)\}=pF(p)-f(0^+)$, et celle de la dérivée seconde est $\mathcal{L}\{f''(t)\}=p^2F(p)-pf(0^+)-f'(0^+)$.

📐 Formule - Si g(t) est la primitive de f(t) définie par $g(t)=\int_0^t f(\tau)\,d\tau$, alors sa transformée de Laplace est $G(p)=\frac{F(p)}{p}$.

📐 Formule - Pour un retard T, si f(t)=g(t+T), alors $G(p)=e^{-pT}F(p)$.

📖 9. Signaux usuels et fonction de transfert

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction de Heaviside : Fonction qui vaut 0 pour t<0 et 1 pour t>0.

★ À maîtriser

📐 Formule - Un échelon d’amplitude a, défini par e(t)=a,u(t), a pour transformée $E(p)=\frac{a}{p}$.

📐 Formule - Une rampe définie par e(t)=at,u(t) a pour transformée $E(p)=\frac{a}{p^2}$.

📐 Formule - Une sinusoïde e(t)=a\sin(\omega t)u(t) a pour transformée $E(p)=\frac{a\omega}{p^2+\omega^2}$.

Compléments

📐 Formule - Pour l’équation e(t)=m s''(t)+\mu s'(t)+ks(t) avec conditions initiales nulles, la transformée donne $E(p)=S(p)(mp^2+\mu p+k)$.

📖 10. Modélisation des systèmes physiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Système automatisé : Système dans lequel tout ou partie du savoir-faire est confié à une machine.
• Système monovariable : Système qui possède une seule entrée et une seule sortie.
• Système invariant : Système décrit par une équation différentielle linéaire qui ne varie pas au cours du temps.

★ À maîtriser

• La modélisation monovariable décrit l’évolution temporelle de la sortie s(t) en fonction de l’entrée e(t) et éventuellement d’une perturbation p(t), par une relation causale qui ne varie pas dans le temps.

📐 Formule - La loi d’Ohm pour une résistance R donne $u(t)=Ri(t)$.

Compléments

• Un système électrique passif peut comporter une résistance, une inductance et une capacité, associées respectivement à la tension u(t) et au courant i(t).

📐 Formule - La loi de Lenz pour une inductance L donne $u(t)=L\frac{di(t)}{dt}$.

📐 Formule - La relation donnée pour une capacité C est $u(t)=\frac{1}{C}\int i(t)\,dt$.

📐 Formule - Pour un ressort de raideur R, l’effort exercé est $f_r(t)=-Rx(t)$, donc opposé au déplacement.

📐 Formule - Pour un amortisseur de coefficient de frottement visqueux \mu, l’effort exercé est $f_v(t)=-\mu\frac{dx(t)}{dt}$.

📖 11. Modélisation du vérin pneumatique

★ À maîtriser

• Le vérin pneumatique est modélisé comme un système masse-ressort-amortisseur dont le ressort et l’amortisseur sont en parallèle.

• Pour le vérin pneumatique, la sortie pilotée est la position s(t)=x(t) et l’entrée commandée est l’effort e(t)=F(t).

📐 Formule - L’équation dynamique du vérin est $F(t)=m\frac{d^2x(t)}{dt^2}+\mu\frac{dx(t)}{dt}+Rx(t)$.

Compléments

📌 Un vérin pneumatique utilise un fluide compressible, tandis que le modèle présenté ne s’applique pas au vérin hydraulique, qui utilise un fluide incompressible.

📐 Formule - La force exercée par la pression p(t) sur une surface S vérifie $F(t)=p(t)S$.

• Les conditions initiales du modèle du vérin sont x(0)=0 et x'(0)=0.

📖 12. Chaînes fonctionnelles et asservissement

★ À maîtriser

• La chaîne d’information acquiert les informations par les capteurs, les traite par l’unité de commande et les communique à d’autres systèmes ou à l’interface homme-machine.

• La chaîne d’énergie alimente le système, distribue l’énergie, la convertit, la transmet ou l’adapte, puis agit par l’effecteur.

• Dans une boucle de retour, le capteur fournit à la partie commande l’état instantané de la partie opérative, qui compare cette information à la consigne et élabore un signal de commande.

📌 Dans un système suiveur, la consigne varie en permanence et la sortie doit suivre le signal d’entrée, tandis que dans un régulateur, la consigne est fixe et la sortie doit être maintenue constante.

Compléments

• Dans un schéma-bloc fonctionnel, une flèche représente une grandeur d’entrée ou de sortie orientée, un bloc représente un système ou un opérateur associé à une fonction mathématique, un point de sommation effectue une addition ou une soustraction et un point de prélèvement réutilise une variable comme entrée d’un bloc.

📐 Formule - Au point de sommation illustré, la sortie vérifie $s(t)=r(t)+w(t)+u(t)$.

• Le schéma-bloc fonctionnel décompose un système en sous-systèmes et facilite sa modélisation.

📌 Si la relation mathématique d’un modèle comportemental est complexe, le système peut être linéarisé autour d’un point de fonctionnement, mais le modèle n’est valable que pour de petites variations autour de ce point.

📊 Tableaux de synthèse

Familles de systèmes asservis