Fiche de révision : Transformées de Laplace et systèmes automatisés

📋 Plan du Cours

1. Modèle du premier ordre et réponses indicielle et impulsionnelle
2. Réponse à une rampe
3. Fonctions de transfert en boucle
4. Performances des systèmes asservis
5. Fonctions de transfert et schémas-blocs
6. Transformée de Laplace et propriétés
7. Signaux types et équation différentielle
8. Modélisation des systèmes physiques
9. Vérin pneumatique masse-ressort-amortisseur
10. Chaînes fonctionnelles d’un système automatisé
11. Boucle de retour et familles d’asservissement
12. Schéma-bloc et modélisation comportementale

📖 1. Modèle du premier ordre et réponses indicielle et impulsionnelle

🔑 Notions clés & Définitions

• Système du premier ordre : Régi par l’équation différentielle $\tau\dot{s}(t)+s(t)=K e(t)$, où $\tau>0$ est la constante de temps et $K>0$ le gain.

★ À maîtriser

📐 Formule - La fonction de transfert du système du premier ordre est $H(p)=\frac{S(p)}{E(p)}=\frac{K}{1+\tau p}$.

• Pour un échelon d’amplitude $E_0$, la réponse indicielle est $s(t)=KE_0(1-e^{-t/\tau})$ et tend vers $KE_0$ lorsque le temps tend vers l’infini.

• Le temps de réponse à 5 % d’un système du premier ordre vaut $T_{r5\%}=3\tau$.

• Pour une impulsion de Dirac d’aire $A$, la réponse du système du premier ordre est $s(t)=\frac{KA}{\tau}e^{-t/\tau}$.

Compléments

• La réponse indicielle atteint 63,2 % de sa valeur finale à $t=\tau$ et 95,0 % à $t=3\tau$.

• La valeur initiale de la réponse impulsionnelle est $s(0^+)=\frac{KA}{\tau}$.

• La pente de la tangente à l’origine de la réponse impulsionnelle vaut $-\frac{KA}{\tau^2}$.

📖 2. Réponse à une rampe

★ À maîtriser

• Pour une rampe de pente $a$, la réponse du système du premier ordre est $s(t)=Ka(t-\tau+\tau e^{-t/\tau})$.

• Pour $K=1$, l’erreur dynamique de poursuite vaut $E_v=a\tau$ et la réponse est retardée d’une constante de temps par rapport à la consigne.

Compléments

📐 Formule - Une rampe de pente $a$ s’écrit $e(t)=at\,u(t)$ et sa transformée de Laplace est $E(p)=\frac{a}{p^2}$.

• La pente de la tangente à l’origine de la réponse à une rampe est nulle.

📐 Formule - À long terme, l’asymptote de la réponse à la rampe est $s(t)=Ka(t-\tau)$.

📌 Pour $K\ne1$, la pente de l’asymptote de la réponse à la rampe diffère de celle de la consigne, tandis que pour $K=1$ elles sont parallèles.

📖 3. Fonctions de transfert en boucle

★ À maîtriser

📐 Formule - La fonction de transfert en boucle ouverte est $FTBO=CO\cdot CR=K(p)G(p)H(p)$.

📐 Formule - La fonction de transfert en boucle fermée est $FTBF=\frac{CO}{1+CO\cdot CR}=\frac{K(p)G(p)}{1+K(p)G(p)H(p)}$.

Compléments

📌 En retour unitaire, $H(p)=1$, la chaîne de retour vaut $CR=1$ et la fonction de transfert en boucle fermée devient $FTBF=\frac{FTBO}{1+FTBO}$.

• La fonction de transfert en boucle ouverte relie l’entrée à la sortie de la chaîne en série comprenant la chaîne directe et la chaîne de retour.

📖 4. Performances des systèmes asservis

🔑 Notions clés & Définitions

• Erreur statique : La différence entre une consigne en échelon d’amplitude $E_0$ et la sortie en régime permanent, soit $\varepsilon_s=\lim_{t\to+\infty}(e(t)-s(t))$.
• Erreur dynamique : La différence à long terme entre une consigne en rampe et la sortie, soit $\varepsilon_v=\lim_{t\to+\infty}(e(t)-s(t))$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour un système du premier ordre soumis à un échelon d’amplitude $E_0$, l’erreur statique vaut $E_s=(1-K)E_0$ et s’annule si $K=1$.

Compléments

• Les trois performances d’un système asservi sont :
  • la précision
  • la rapidité
  • la stabilité

📌 Le régime transitoire caractérise l’aspect dynamique d’un système, tandis que le régime permanent en caractérise l’aspect statique.

💡 Astuce mémo

L’échelon révèle l’erreur statique ; la rampe révèle l’erreur dynamique.

📖 5. Fonctions de transfert et schémas-blocs

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction de transfert : Le rapport de la transformée de Laplace de la sortie à celle de l’entrée, sous l’hypothèse de conditions initiales nulles.

📝 Points essentiels

• Dans une fonction de transfert rationnelle, les racines du numérateur sont les zéros et celles du dénominateur sont les pôles.

📐 Formule - Pour deux blocs en série de fonctions de transfert $A(p)$ et $B(p)$, la fonction de transfert équivalente est $F(p)=A(p)B(p)$.

📐 Formule - Pour deux blocs en parallèle de fonctions de transfert $A(p)$ et $B(p)$, la fonction de transfert équivalente est $F(p)=A(p)+B(p)$.

• Un système monovariable représenté par une fonction de transfert $F(p)$ vérifie $S(p)=F(p)E(p)$.

📖 6. Transformée de Laplace et propriétés

★ À maîtriser

• La transformée de Laplace transforme un système d’équations différentielles linéaires en un système d’équations algébriques afin d’en déterminer la solution complète.

📐 Formule - Pour une fonction réelle f(t) définie sur $]0,+\infty[$, sa transformée est $\mathcal{L}\{f(t)\}=F(p)=\int_0^{+\infty} f(t)e^{-pt}\,dt$, où p est une variable complexe.

Compléments

📐 Formule - La transformée de Laplace est linéaire : si $f(t)=ag(t)+bh(t)$, alors $F(p)=aG(p)+bH(p)$.

📐 Formule - Le théorème de la valeur initiale donne $f(0^+)=\lim_{p\to+\infty}pF(p)$.

📐 Formule - Le théorème de la valeur finale donne $f(+\infty)=\lim_{p\to0}pF(p)$.

📐 Formule - La transformée de la dérivée seconde vérifie $\mathcal{L}\{f''(t)\}=p^2F(p)-pf(0^+)-f'(0^+)$.

📐 Formule - Si g(t) est une primitive de f(t) définie par $g(t)=\int_0^t f(\tau)\,d\tau$, alors sa transformée est $G(p)=F(p)/p$.

📐 Formule - Pour un retard de durée T, si $f(t)=g(t+T)$, alors $G(p)=e^{-pT}F(p)$.

📖 7. Signaux types et équation différentielle

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction de Heaviside : vaut 0 sur $]-\infty,0[$ et 1 sur $]0,+\infty[$

★ À maîtriser

📐 Formule - Un échelon d’amplitude a, défini par $e(t)=a\,u(t)$, a pour transformée $E(p)=a/p$.

📐 Formule - Une rampe définie par $e(t)=at\,u(t)$ a pour transformée $E(p)=a/p^2$.

📐 Formule - Une entrée sinusoïdale $e(t)=a\sin(\omega t)u(t)$ a pour transformée $E(p)=a\omega/(p^2+\omega^2)$.

Compléments

📐 Formule - Pour $e(t)=m s''(t)+\mu s'(t)+ks(t)$ avec conditions initiales nulles, la transformée vérifie $E(p)=S(p)(mp^2+\mu p+k)$.

📖 8. Modélisation des systèmes physiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Système automatisé : un système pour lequel tout ou partie du savoir-faire est confié à une machine
• Système monovariable : Un système monovariable est un système qui possède une seule entrée et une seule sortie.
• Système continu : associe des grandeurs physiques continues en fonctionnement normal et non destructif
• Système invariant : décrit par une équation différentielle linéaire qui ne varie pas au cours du temps

★ À maîtriser

📐 Formule - La loi d’Ohm pour une résistance R est $u(t)=Ri(t)$.

📐 Formule - Pour un ressort de raideur K, l’effort exercé est $f_r(t)=-Kx(t)$ et s’oppose au déplacement.

Compléments

📐 Formule - La loi de Henry pour une inductance L est $u(t)=L\,\frac{di(t)}{dt}$.

📐 Formule - La relation donnée pour une capacité C est $u(t)=\frac{1}{C}\int i(t)\,dt$.

📐 Formule - Pour un amortisseur visqueux de coefficient μ, l’effort exercé est $f_v(t)=-\mu\,\frac{dx(t)}{dt}$.

📖 9. Vérin pneumatique masse-ressort-amortisseur

★ À maîtriser

• Un vérin pneumatique peut être modélisé par un système masse-ressort-amortisseur dont le ressort et l’amortisseur sont en parallèle.

📐 Formule - Avec une entrée F(t), une sortie x(t) et des conditions initiales nulles, l’équation du vérin est $F(t)=m\frac{d^2x(t)}{dt^2}+\mu\frac{dx(t)}{dt}+kx(t)$.

Compléments

📐 Formule - La force exercée par la pression sur le piston est $F(t)=p(t)S$.

📐 Formule - Dans le modèle du vérin, l’effort du ressort est $F_1(t)=-kx(t)$.

📐 Formule - Dans le modèle du vérin, l’effort de l’amortisseur est $F_2(t)=-\mu\,\frac{dx(t)}{dt}$.

💡 Astuce mémo

Efforts du ressort et de l’amortisseur, ajoutés à l’effort appliqué, déterminent l’accélération du solide.

📖 10. Chaînes fonctionnelles d’un système automatisé

📝 Points essentiels

• La chaîne d’énergie alimente et distribue l’énergie, la convertit, la transmet ou l’adapte, puis agit sur la matière d’œuvre.

• La chaîne d’information acquiert les informations par des capteurs, les traite dans l’unité de commande, puis communique les informations utiles ou destinées à d’autres systèmes ou interfaces homme-machine.

📖 11. Boucle de retour et familles d’asservissement

📝 Points essentiels

• La boucle de retour comprend un capteur qui fournit à la partie commande l’état de la sortie afin de permettre sa comparaison avec la consigne et l’élaboration d’un signal de commande.

📌 Dans un système suiveur, la consigne varie en permanence et la sortie doit s’ajuster au signal d’entrée, tandis que dans un régulateur, la consigne est fixe et la sortie doit être maintenue constante.

💡 Astuce mémo

Suiveur : consigne variable ; régulateur : consigne fixe.

📖 12. Schéma-bloc et modélisation comportementale

★ À maîtriser

• Un schéma-bloc fonctionnel représente les grandeurs par des flèches orientées, les systèmes ou opérateurs par des blocs, et les perturbations par des entrées secondaires.

Compléments

• Un point de sommation réalise une addition ou une soustraction de signaux.

• Un point de prélèvement ou de jonction permet de réutiliser une variable comme entrée d’un bloc.

• La représentation en schéma-bloc décompose un système en sous-systèmes afin de faciliter sa modélisation.

• Pour un comportement mathématique complexe, la modélisation automatique peut linéariser le système autour d’un point de fonctionnement afin d’obtenir un modèle exploitable et de valider les relations entrée-sortie pour de petites variations.

📊 Tableaux de synthèse

Entrées types et transformées