QCM : Transformées de Laplace et systèmes automatisés (11 questions)

Question 1

1. Un système est caractérisé par une constante de temps positive de 0,4 s et un gain positif de 2. Quelle équation différentielle décrit son fonctionnement, avec l’entrée e(t) et la sortie s(t) ?

0{,}4\dot{s}(t)+2s(t)=e(t)

0{,}4\dot{s}(t)+s(t)=-2e(t)

s(t)+2=0{,}4e(t)

0{,}4\dot{s}(t)+s(t)=2e(t)

Explication

Un système du premier ordre vérifie $\tau\dot{s}(t)+s(t)=Ke(t)$ : ici, $\tau=0{,}4$ et $K=2$ . L’option avec $2s(t)$ confond gain et coefficient de sortie, celle sans dérivée omet la dynamique et celle avec $-2$ inverse le signe du gain.

Answer

$$0{,}4\dot{s}(t)+s(t)=2e(t)$$

Question 2

2. La constante de temps d’un système du premier ordre est de 0,8 s. Quel est son temps de réponse à 5 % ?

1,6 s

0,8 s

4 s

2,4 s

Explication

Pour un système du premier ordre, $T_{r5\%}=3\tau$ ; ainsi, $3\times0{,}8=2{,}4$ s. Les valeurs 0,8 s, 4 s et 1,6 s correspondent respectivement à une, cinq et deux constantes de temps.

Answer

$$s(t)=6(t-0{,}5+0{,}5e^{-t/0{,}5})$$

Answer

Une erreur de 1 et un retard de 0,25 s

Answer

Le produit de la chaîne directe par la chaîne de retour, soit $$K(p)G(p)H(p)$$

Answer

La précision, la rapidité et la stabilité

Answer

Elle permet de définir la fonction de transfert comme le rapport des transformées de Laplace de la sortie et de l’entrée.

Answer

Le premier détermine la limite de la réponse quand $$p$$ tend vers l’infini, tandis que le second la détermine quand $$p$$ tend vers zéro.

Answer

Elle multiplie la transformée par le même facteur d’augmentation.

Answer

$$f_r(t)=-Kx(t)$$, car l’effort s’oppose au déplacement

Answer

Ils sont montés en parallèle et agissent sur la masse mobile.

Question 3

3. Un système du premier ordre de gain $K=2$ et de constante de temps $\tau=0{,}5$ s reçoit une rampe de pente $a=3$ . Quelle expression décrit sa réponse temporelle ?

s(t)=6(t+0{,}5+0{,}5e^{-t/0{,}5})

s(t)=6(t-0{,}5)

s(t)=6(t-0{,}5+0{,}5e^{-t/0{,}5})

s(t)=3(t-0{,}5+0{,}5e^{-t/0{,}5})

Explication

La réponse à une rampe est $s(t)=Ka(t-\tau+\tau e^{-t/\tau})$ ; en remplaçant les paramètres, $Ka=6$ et $\tau=0{,}5$ . L’expression sans exponentielle omet le transitoire, celle avec un facteur 3 oublie le gain, et le signe positif devant $\tau$ inverse le décalage.

Question 4

4. Un système du premier ordre de gain $K=1$ suit une rampe de pente $a=4$ , avec une constante de temps $\tau=0{,}25$ s. Quelle erreur dynamique de poursuite présente-t-il en régime permanent, et quel retard correspond à cette réponse ?

Une erreur de 0,25 et un retard de 1 s

Une erreur de 4 et un retard de 0,25 s

Une erreur de 1 et une avance de 0,25 s

Une erreur de 1 et un retard de 0,25 s

Explication

Pour $K=1$ , l’erreur dynamique vaut $E_v=a\tau$ ; ici, $4\times0{,}25=1$ , et la réponse est retardée d’une constante de temps, soit 0,25 s. L’erreur 4 confond l’erreur et la pente, l’erreur 0,25 inverse le produit, et une avance contredit le retard de poursuite.

Question 5

5. Que représente la fonction de transfert en boucle ouverte d’un système asservi ?

La différence entre la consigne et la sortie en régime permanent

Le produit de la chaîne directe par le dénominateur de la boucle fermée

Le produit de la chaîne directe par la chaîne de retour, soit

K(p)G(p)H(p)

Le rapport entre la sortie et la consigne lorsque la boucle est fermée

Explication

La fonction de transfert en boucle ouverte est le produit de la chaîne directe et de la chaîne de retour. Le rapport entre sortie et consigne correspond plutôt à une fonction de transfert en boucle fermée.

Question 6

6. Quelles sont les trois performances évaluées pour caractériser un système asservi ?

La rapidité, la puissance et la sensibilité

La sensibilité, la linéarité et la robustesse

La précision, la fréquence et le rendement

La précision, la rapidité et la stabilité

Explication

Les performances d’un système asservi se déclinent en précision, rapidité et stabilité. La robustesse est une caractéristique utile, mais elle ne fait pas partie des trois performances énumérées ici.

Question 7

7. Quel est le rôle de l’hypothèse de conditions initiales nulles dans la définition de la fonction de transfert ?

Elle permet de définir la fonction de transfert comme la différence des transformées de Laplace de la sortie et de l’entrée.

Elle permet de définir la fonction de transfert comme le rapport des transformées de Laplace de la sortie et de l’entrée.

Elle permet de définir la fonction de transfert comme le rapport des valeurs finales de la sortie et de l’entrée.

Elle permet de définir la fonction de transfert comme la somme des transformées de Laplace de la sortie et de l’entrée.

Explication

Avec des conditions initiales nulles, la fonction de transfert est le rapport de la transformée de Laplace de la sortie à celle de l’entrée. Le rapport des valeurs finales ne définit pas cette fonction, car il ne caractérise pas la relation entrée-sortie dans le domaine de Laplace.

Question 8

8. Quelle comparaison entre le théorème de la valeur initiale et celui de la valeur finale est correcte ?

Le premier s’applique à la transformée d’une dérivée, tandis que le second s’applique à celle d’une primitive.

Le premier porte sur la linéarité de la transformée, tandis que le second décrit l’effet d’un retard temporel.

Le premier détermine la limite de la transformée quand

p

tend vers zéro, tandis que le second la détermine quand

p

tend vers l’infini.

Le premier détermine la limite de la réponse quand

p

tend vers l’infini, tandis que le second la détermine quand

p

tend vers zéro.

Explication

La valeur initiale s’obtient par $\lim_{p\to+\infty}pF(p)$ , alors que la valeur finale s’obtient par $\lim_{p\to0}pF(p)$ . La formule avec $p$ tendant vers zéro ne donne donc pas la valeur initiale, mais la valeur finale.

Question 9

9. Pour une entrée sinusoïdale de pulsation $\omega$ , quel effet a une augmentation de son amplitude $a$ sur la transformée de Laplace de cette entrée ?

Elle remplace

\omega

par une pulsation plus élevée dans le dénominateur.

Elle ajoute une constante à la transformée, indépendante de

p

.

Elle multiplie la transformée par le même facteur d’augmentation.

Elle transforme le dénominateur quadratique en un terme linéaire en

p

.

Explication

La transformée vaut $E(p)=\frac{a\omega}{p^2+\omega^2}$ : elle est proportionnelle à l’amplitude $a$ . Modifier l’amplitude ne change ni la pulsation dans le dénominateur ni le degré de celui-ci.

Question 10

10. Pour modéliser la force de rappel d’un ressort lorsque son déplacement est connu, quelle relation faut-il utiliser si sa raideur vaut $K$ et son déplacement $x(t)$ ?

f_r(t)=K\frac{dx(t)}{dt}

, car l’effort dépend de la vitesse

f_r(t)=-\mu\frac{dx(t)}{dt}

, car l’effort dépend de l’amortissement

f_r(t)=Ri(t)

, car l’effort suit la loi d’Ohm

f_r(t)=-Kx(t)

, car l’effort s’oppose au déplacement

Explication

La force exercée par un ressort est proportionnelle au déplacement et orientée à l’opposé de celui-ci. La relation faisant intervenir la dérivée du déplacement décrit plutôt l’effort d’un amortisseur visqueux.

Question 11

11. Dans le modèle masse-ressort-amortisseur d’un vérin pneumatique, quelle disposition caractérise le ressort et l’amortisseur ?

Le ressort agit sur la masse, tandis que l’amortisseur est placé à l’entrée.

Ils sont montés en série et agissent sur la masse mobile.

L’amortisseur agit sur la masse, tandis que le ressort est placé à l’entrée.

Ils sont montés en parallèle et agissent sur la masse mobile.

Explication

Le modèle du vérin représente le ressort et l’amortisseur en parallèle, tous deux associés à la masse mobile. Une disposition en série correspondrait à une autre configuration mécanique.

QCM : Transformées de Laplace et systèmes automatisés (11 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Un système est caractérisé par une constante de temps positive de 0,4 s et un gain positif de 2. Quelle équation différentielle décrit son fonctionnement, avec l’entrée e(t) et la sortie s(t) ?

2. La constante de temps d’un système du premier ordre est de 0,8 s. Quel est son temps de réponse à 5 % ?

3. Un système du premier ordre de gain $K=2$ et de constante de temps $\tau=0{,}5$ s reçoit une rampe de pente $a=3$ . Quelle expression décrit sa réponse temporelle ?

4. Un système du premier ordre de gain $K=1$ suit une rampe de pente $a=4$ , avec une constante de temps $\tau=0{,}25$ s. Quelle erreur dynamique de poursuite présente-t-il en régime permanent, et quel retard correspond à cette réponse ?

5. Que représente la fonction de transfert en boucle ouverte d’un système asservi ?

6. Quelles sont les trois performances évaluées pour caractériser un système asservi ?

7. Quel est le rôle de l’hypothèse de conditions initiales nulles dans la définition de la fonction de transfert ?

8. Quelle comparaison entre le théorème de la valeur initiale et celui de la valeur finale est correcte ?

9. Pour une entrée sinusoïdale de pulsation $\omega$ , quel effet a une augmentation de son amplitude $a$ sur la transformée de Laplace de cette entrée ?

10. Pour modéliser la force de rappel d’un ressort lorsque son déplacement est connu, quelle relation faut-il utiliser si sa raideur vaut $K$ et son déplacement $x(t)$ ?

11. Dans le modèle masse-ressort-amortisseur d’un vérin pneumatique, quelle disposition caractérise le ressort et l’amortisseur ?

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QCM : Transformées de Laplace et systèmes automatisés (11 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Un système est caractérisé par une constante de temps positive de 0,4 s et un gain positif de 2. Quelle équation différentielle décrit son fonctionnement, avec l’entrée e(t) et la sortie s(t) ?

2. La constante de temps d’un système du premier ordre est de 0,8 s. Quel est son temps de réponse à 5 % ?

3. Un système du premier ordre de gain K=2K=2K=2 et de constante de temps τ=0,5\tau=0{,}5τ=0,5 s reçoit une rampe de pente a=3a=3a=3. Quelle expression décrit sa réponse temporelle ?

4. Un système du premier ordre de gain K=1K=1K=1 suit une rampe de pente a=4a=4a=4, avec une constante de temps τ=0,25\tau=0{,}25τ=0,25 s. Quelle erreur dynamique de poursuite présente-t-il en régime permanent, et quel retard correspond à cette réponse ?

5. Que représente la fonction de transfert en boucle ouverte d’un système asservi ?

6. Quelles sont les trois performances évaluées pour caractériser un système asservi ?

7. Quel est le rôle de l’hypothèse de conditions initiales nulles dans la définition de la fonction de transfert ?

8. Quelle comparaison entre le théorème de la valeur initiale et celui de la valeur finale est correcte ?

9. Pour une entrée sinusoïdale de pulsation ω\omegaω, quel effet a une augmentation de son amplitude aaa sur la transformée de Laplace de cette entrée ?

10. Pour modéliser la force de rappel d’un ressort lorsque son déplacement est connu, quelle relation faut-il utiliser si sa raideur vaut KKK et son déplacement x(t)x(t)x(t) ?

11. Dans le modèle masse-ressort-amortisseur d’un vérin pneumatique, quelle disposition caractérise le ressort et l’amortisseur ?

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3. Un système du premier ordre de gain $K=2$ et de constante de temps $\tau=0{,}5$ s reçoit une rampe de pente $a=3$ . Quelle expression décrit sa réponse temporelle ?

4. Un système du premier ordre de gain $K=1$ suit une rampe de pente $a=4$ , avec une constante de temps $\tau=0{,}25$ s. Quelle erreur dynamique de poursuite présente-t-il en régime permanent, et quel retard correspond à cette réponse ?

9. Pour une entrée sinusoïdale de pulsation $\omega$ , quel effet a une augmentation de son amplitude $a$ sur la transformée de Laplace de cette entrée ?

10. Pour modéliser la force de rappel d’un ressort lorsque son déplacement est connu, quelle relation faut-il utiliser si sa raideur vaut $K$ et son déplacement $x(t)$ ?