QCM : Trigonométrie et cercle trigonométrique (13 questions)

Explication

Le cercle trigonométrique est centré en O, a pour rayon 1 et se parcourt dans le sens direct, c’est-à-dire anti-horaire. Le sens horaire inverse le sens direct, le rayon 2 n’est pas celui du cercle unité et I n’en est pas le centre.

Explication

Chaque point du cercle correspond aux réels obtenus en ajoutant à une mesure t un nombre entier de tours, soit $2k\pi$, où k peut être positif, nul ou négatif. Une valeur unique omet les tours complets, $k\pi$ compte des demi-tours et $2t$ double à tort la mesure initiale.

Explication

Un angle orienté est défini par un couple ordonné de vecteurs non nuls. Un couple non ordonné perd l’information d’ordre, un vecteur nul ne convient pas à la définition, et deux points ne constituent pas le couple de vecteurs demandé.

Explication

Les mesures d’un même angle orienté sont de la forme $t+2k\pi$ ; en prenant k = 1, on obtient $\frac{\pi}{6}+2\pi=\frac{13\pi}{6}$. Ajouter $\pi$ donne un demi-tour supplémentaire, soustraire deux tours donne $-\frac{23\pi}{6}$, et doubler t ne correspond pas à l’ajout d’un tour.

Explication

La mesure principale doit appartenir à $]-\pi;\pi]$ ; en soustrayant $2\pi$ à $\frac{7\pi}{4}$, on obtient $-\frac{\pi}{4}$, qui appartient à cet intervalle. La valeur initiale et $\frac{3\pi}{4}$ ne sont pas congruentes à l’angle donné, tandis que $-\pi$ est exclu de l’intervalle.

Explication

La proportionnalité repose sur $180^\circ=\pi\,\text{rad}$, donc $120^\circ\times\frac{\pi}{180^\circ}=\frac{2\pi}{3}\,\text{rad}$. $\frac{3\pi}{2}$ correspond à $270^\circ$, tandis que $\frac{\pi}{3}$ et $\frac{\pi}{6}$ correspondent respectivement à $60^\circ$ et $30^\circ$.

Explication

La correspondance remarquable est $45^\circ=\frac{\pi}{4}\,\text{rad}$. $\frac{\pi}{6}$ est associé à $30^\circ$, $\frac{\pi}{3}$ à $60^\circ$ et $\frac{\pi}{2}$ à $90^\circ$.

Explication

Le cosinus est l’abscisse du point image sur le cercle trigonométrique, donc ici $\cos(t)=-\frac{1}{2}$. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ est l’ordonnée, $\frac{1}{2}$ oublie le signe de l’abscisse et $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ combine à tort le signe et la valeur de l’ordonnée.

Explication

Pour $t=\frac{\pi}{3}$, les valeurs remarquables donnent $\cos(t)=\frac{1}{2}$ et $\sin(t)=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Le couple inversé correspond à $\frac{\pi}{6}$, le couple de valeurs égales à $\frac{\pi}{4}$, et $\left(0,1\right)$ à $\frac{\pi}{2}$.

Explication

La valeur associée est $\sin\left(-\frac{5\pi}{6}\right)=-\frac{1}{2}$. La valeur $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ correspond au cosinus du même angle, tandis que $\frac{1}{2}$ et $\frac{\sqrt{3}}{2}$ négligent le signe négatif.

Explication

L’identité $\cos^2(t)+\sin^2(t)=1$ donne $\sin^2(t)=1-\left(\frac{3}{5}\right)^2=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$. La valeur $\frac{2}{5}$ vient d’une soustraction sans carré, $\frac{4}{25}$ d’une soustraction incorrecte, et $\frac{34}{25}$ d’une addition.

Explication

Comme $6\pi=2\times3\pi$, l’ajout est de la forme $2k\pi$ avec $k=3$, et la périodicité donne $\cos(t+6\pi)=\cos(t)$. Le signe opposé confond cette périodicité avec un décalage de $\pi$; les autres réponses appliquent une période erronée ou additionnent l’angle à la valeur du cosinus.

Explication

La tangente d’un angle est le rapport du côté opposé au côté adjacent ; pour l’angle B, ces côtés sont AC et AB, donc tan(α) = AC/AB = 12/5. Le rapport 5/12 inverse opposé et adjacent, tandis que 12/13 et 5/13 utilisent l’hypoténuse et correspondent aux rapports du sinus et du cosinus.