Fiche de révision : Trigonométrie et cercle trigonométrique

📋 Plan du Cours

1. Cercle trigonométrique et enroulement
2. Angles orientés et mesures principales
3. Conversion entre degrés et radians
4. Cosinus, sinus et valeurs remarquables
5. Valeurs des angles associés
6. Propriétés du sinus et du cosinus
7. Trigonométrie dans le triangle rectangle

📖 1. Cercle trigonométrique et enroulement

🔑 Notions clés & Définitions

• Cercle trigonométrique : Cercle de centre O et de rayon 1, parcouru dans le sens direct, c’est-à-dire dans le sens anti-horaire.
• Enroulement : Association à chaque réel t repéré sur la droite perpendiculaire à (OI) passant par I d’un unique point M du cercle trigonométrique ; réciproquement, un point M correspond aux réels t + 2kπ, avec k entier relatif.

📝 Points essentiels

• Le périmètre du cercle trigonométrique est $2\pi$.

📌 Sur un cercle de rayon 1, la mesure en radians d’un angle géométrique est égale à la longueur de l’arc correspondant ; cette égalité ne vaut pas pour un cercle de rayon différent.

💡 Astuce mémo

Imagine la droite des réels qui s’enroule autour du cercle à partir de I.

📖 2. Angles orientés et mesures principales

🔑 Notions clés & Définitions

• Angle orienté : Couple ordonné de vecteurs non nuls qui définit un angle.
• Mesure principale : Mesure de l’angle orienté appartenant à l’intervalle $]-\pi;\pi]$.

★ À maîtriser

📌 Si t est une mesure en radians d’un angle orienté, toutes ses mesures sont de la forme $t+2k\pi$, où k est un entier relatif.

Compléments

• Les angles $\frac{2\pi}{3}$ et $-\frac{4\pi}{3}$ sont deux mesures du même angle orienté.

📖 3. Conversion entre degrés et radians

★ À maîtriser

📌 Les mesures en degrés et en radians d’un même angle géométrique sont proportionnelles, avec la correspondance $180^\circ=\pi\text{ rad}$.

Compléments

• Les correspondances remarquables sont $30^\circ=\frac{\pi}{6}$, $45^\circ=\frac{\pi}{4}$, $60^\circ=\frac{\pi}{3}$, $90^\circ=\frac{\pi}{2}$ et $180^\circ=\pi$.

📖 4. Cosinus, sinus et valeurs remarquables

🔑 Notions clés & Définitions

• Cosinus : Abscisse du point image de t sur le cercle trigonométrique.
• Sinus : Ordonnée du point image de t sur le cercle trigonométrique.

📝 Points essentiels

• Pour les angles $0$, $\frac{\pi}{6}$, $\frac{\pi}{4}$, $\frac{\pi}{3}$, $\frac{\pi}{2}$ et $\pi$, les couples (cosinus, sinus) sont respectivement $(1{,}0)$, $\left(\frac{\sqrt3}{2},\frac12\right)$, $\left(\frac{\sqrt2}{2},\frac{\sqrt2}{2}\right)$, $\left(\frac12,\frac{\sqrt3}{2}\right)$, $(0{,}1)$ et $(-1{,}0)$.

📖 5. Valeurs des angles associés

📝 Points essentiels

• Les valeurs associées données sont $\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)=-\frac12$, $\cos\left(-\frac{5\pi}{6}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}$, $\cos\left(\frac{7\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{2}$, $\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt3}{2}$, $\sin\left(-\frac{5\pi}{6}\right)=-\frac12$ et $\sin\left(\frac{7\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt2}{2}$.

📖 6. Propriétés du sinus et du cosinus

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour tout réel t, $\cos^2(t)+\sin^2(t)=1$.

Compléments

📌 Pour tout réel t, le cosinus et le sinus sont compris entre −1 et 1 : $-1\leq\cos(t)\leq1$ et $-1\leq\sin(t)\leq1$.

📌 Pour tout réel t et tout entier relatif k, $\cos(t+2k\pi)=\cos(t)$ et $\sin(t+2k\pi)=\sin(t)$.

📖 7. Trigonométrie dans le triangle rectangle

📝 Points essentiels

• Dans un triangle ABC rectangle en A, $\cos(\alpha)=\frac{AB}{BC}$, $\sin(\alpha)=\frac{AC}{BC}$ et $\tan(\alpha)=\frac{AC}{AB}$.