QCM : Trigonométrie et cercle trigonométrique (11 questions)

Question 1

1. À quel savant attribue-t-on les premières tables trigonométriques établissant un lien entre l’angle au centre et la corde interceptée dans un cercle ?

Les Babyloniens

Regiomontanus

Claude Ptolémée

Hipparque de Nicée

Explication

Hipparque de Nicée est crédité des premières tables trigonométriques, qui reliaient l’angle au centre à la longueur de la corde interceptée. Ptolémée est associé aux premières formules, les Babyloniens aux premières tables astronomiques et Regiomontanus au développement de la trigonométrie comme branche indépendante.

Answer

Hipparque de Nicée

Question 2

2. Quel savant a poursuivi dans l’Almageste les travaux d’Hipparque en améliorant leur précision et en introduisant les premières formules trigonométriques ?

Regiomontanus

Hipparque de Nicée

Les Babyloniens

Claude Ptolémée

Explication

Claude Ptolémée a prolongé les travaux d’Hipparque dans l’Almageste, avec une meilleure précision et les premières formules trigonométriques. Hipparque est associé aux premières tables trigonométriques, les Babyloniens aux tables astronomiques et Regiomontanus à l’autonomie de la trigonométrie.

Answer

Claude Ptolémée

Question 3

3. Sur un cercle de rayon $1$ , un angle au centre intercepte un arc de longueur $1{,}2$ . Quelle est la mesure de cet angle en radians ?

0{,}6\,\mathrm{rad}

2{,}4\,\mathrm{rad}

1{,}2\,\mathrm{rad}

1{,}2^\circ

Explication

Sur un cercle de rayon $1$ , la mesure en radians de l’angle au centre est égale à la longueur de l’arc intercepté : l’angle mesure donc $1{,}2\,\mathrm{rad}$ . $1{,}2^\circ$ confond radians et degrés, tandis que $2{,}4$ et $0{,}6$ résultent respectivement d’un doublement et d’une division par deux injustifiés.

Answer

$$1{,}2\,\mathrm{rad}$$

Question 4

4. Une roue effectue un huitième de tour complet. Quelle mesure en radians correspond à cette rotation ?

\frac{\pi}{4}

\frac{\pi}{2}

\frac{\pi}{8}

\pi

Explication

Un tour complet mesure $2\pi$ radians ; un huitième de tour vaut donc $\frac{2\pi}{8}=\frac{\pi}{4}$ , soit $45^\circ$ . $\frac{\pi}{2}$ correspond à un quart de tour, $\pi$ à un demi-tour et $\frac{\pi}{8}$ à un seizième de tour.

Answer

$$\frac{\pi}{4}$$

Question 5

5. Que désigne l’enroulement de la droite tangente au cercle trigonométrique en $I$ ?

Le déplacement d’un point du cercle vers la droite tangente, avec une distance égale au rayon du cercle.

La projection de chaque point du cercle sur la droite tangente, avec des longueurs mesurées depuis le centre du cercle.

L’association de chaque point de la droite orientée à un point unique du cercle, avec des longueurs parcourues égales à celles des arcs correspondants.

La transformation de la droite tangente en un cercle de même rayon, en conservant les angles au centre.

Explication

L’enroulement associe chaque point de la droite orientée à un point unique du cercle, et la longueur parcourue sur la droite est égale à celle du petit arc correspondant. La projection sur la droite tangente décrit une autre construction et ne définit pas cet enroulement.

Answer

L’association de chaque point de la droite orientée à un point unique du cercle, avec des longueurs parcourues égales à celles des arcs correspondants.

Question 6

6. Quelle condition caractérise deux réels qui représentent le même point sur le cercle trigonométrique ?

Leur somme est un multiple entier de

2\pi

.

Leur différence est un multiple entier de

2\pi

.

Leur produit est un multiple entier de

2\pi

.

Leur différence est un multiple entier de

\pi

.

Explication

Deux réels correspondent au même point du cercle lorsque leur différence vaut $2k\pi$ pour un entier $k$ . Une différence égale à un multiple de $\pi$ ne suffit pas, car un demi-tour mène au point opposé.

Answer

Leur différence est un multiple entier de $$2\pi$$.

Question 7

7. À quoi servent les coordonnées $M(\cos x;\sin x)$ du point associé à un réel $x$ sur le cercle trigonométrique ?

À indiquer le rayon du cercle et le sens de son orientation

À mesurer la longueur de l’arc parcouru depuis le point de départ

À déterminer l’angle principal dans l’intervalle

]-\pi;\pi]

À donner les positions horizontale et verticale du point sur le cercle

Explication

Le cosinus de $x$ donne l’abscisse du point et le sinus de $x$ son ordonnée. La longueur de l’arc est liée à la mesure en radians, et non à ces coordonnées.

Answer

À donner les positions horizontale et verticale du point sur le cercle

Question 8

8. Sur le cercle trigonométrique, quelle est la valeur de $\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)$ ?

\frac{1}{2}

\frac{\sqrt{3}}{2}

1

\frac{\sqrt{2}}{2}

Explication

À l’angle $\frac{\pi}{3}$ , le sinus vaut $\frac{\sqrt{3}}{2}$ , tandis que le cosinus vaut $\frac{1}{2}$ . La valeur $\frac{1}{2}$ correspond donc au cosinus de cet angle, et non à son sinus.

Answer

$$\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Question 9

9. Quelle comparaison entre le cosinus et le sinus d’un angle opposé est correcte ?

Le cosinus garde la même valeur, tandis que le sinus prend la valeur opposée.

Le sinus garde la même valeur, tandis que le cosinus prend la valeur opposée.

Le cosinus et le sinus prennent tous deux la valeur opposée.

Le cosinus et le sinus gardent tous deux la même valeur.

Explication

Le cosinus est une fonction paire : changer le signe de l’angle ne modifie pas sa valeur, alors que le sinus est impair et change de signe. L’idée que le sinus reste inchangé et que le cosinus change de signe inverse ces deux propriétés.

Answer

Le cosinus garde la même valeur, tandis que le sinus prend la valeur opposée.

Question 10

10. Quelle conséquence historique est attribuée aux travaux de Regiomontanus pour le développement de la trigonométrie ?

La trigonométrie se constitue en branche indépendante des mathématiques.

Les premières formules trigonométriques apparaissent dans l’Almageste.

La trigonométrie acquiert son caractère mathématique actuel au XVIe siècle.

Les premières tables astronomiques sont consignées par écrit.

Explication

Regiomontanus contribue à faire de la trigonométrie une branche indépendante des mathématiques et serait à l’origine de l’usage systématique du terme sinus. L’apparition des premières formules trigonométriques est plutôt associée à Ptolémée.

Answer

La trigonométrie se constitue en branche indépendante des mathématiques.

Question 11

11. Pour convertir une mesure de 60° en radians, quelle relation permet d’effectuer le calcul ?

Utiliser

90^\circ=\pi\,\mathrm{rad}

, ce qui donne

\frac{2\pi}{3}\,\mathrm{rad}

Utiliser

180^\circ=\pi\,\mathrm{rad}

, ce qui donne

\frac{\pi}{3}\,\mathrm{rad}

Utiliser

360^\circ=\pi\,\mathrm{rad}

, ce qui donne

\frac{\pi}{6}\,\mathrm{rad}

Utiliser

180^\circ=2\pi\,\mathrm{rad}

, ce qui donne

\frac{2\pi}{3}\,\mathrm{rad}

Explication

La correspondance fondamentale est $180^\circ=\pi\,\mathrm{rad}$ , donc 60° représente le tiers de 180° et vaut $\frac{\pi}{3}\,\mathrm{rad}$ . Prendre 90° pour équivalent à $\pi$ rad confond un angle droit avec un angle plat.

Answer

Utiliser $$180^\circ=\pi\,\mathrm{rad}$$, ce qui donne $$\frac{\pi}{3}\,\mathrm{rad}$$

QCM : Trigonométrie et cercle trigonométrique (11 questions)

Questions et réponses du QCM

1. À quel savant attribue-t-on les premières tables trigonométriques établissant un lien entre l’angle au centre et la corde interceptée dans un cercle ?

2. Quel savant a poursuivi dans l’Almageste les travaux d’Hipparque en améliorant leur précision et en introduisant les premières formules trigonométriques ?

3. Sur un cercle de rayon $1$ , un angle au centre intercepte un arc de longueur $1{,}2$ . Quelle est la mesure de cet angle en radians ?

4. Une roue effectue un huitième de tour complet. Quelle mesure en radians correspond à cette rotation ?

5. Que désigne l’enroulement de la droite tangente au cercle trigonométrique en $I$ ?

6. Quelle condition caractérise deux réels qui représentent le même point sur le cercle trigonométrique ?

7. À quoi servent les coordonnées $M(\cos x;\sin x)$ du point associé à un réel $x$ sur le cercle trigonométrique ?

8. Sur le cercle trigonométrique, quelle est la valeur de $\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)$ ?

9. Quelle comparaison entre le cosinus et le sinus d’un angle opposé est correcte ?

10. Quelle conséquence historique est attribuée aux travaux de Regiomontanus pour le développement de la trigonométrie ?

11. Pour convertir une mesure de 60° en radians, quelle relation permet d’effectuer le calcul ?

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Questions et réponses du QCM

1. À quel savant attribue-t-on les premières tables trigonométriques établissant un lien entre l’angle au centre et la corde interceptée dans un cercle ?

2. Quel savant a poursuivi dans l’Almageste les travaux d’Hipparque en améliorant leur précision et en introduisant les premières formules trigonométriques ?

3. Sur un cercle de rayon 111, un angle au centre intercepte un arc de longueur 1,21{,}21,2. Quelle est la mesure de cet angle en radians ?

4. Une roue effectue un huitième de tour complet. Quelle mesure en radians correspond à cette rotation ?

5. Que désigne l’enroulement de la droite tangente au cercle trigonométrique en III ?

6. Quelle condition caractérise deux réels qui représentent le même point sur le cercle trigonométrique ?

7. À quoi servent les coordonnées M(cos⁡x;sin⁡x)M(\cos x;\sin x)M(cosx;sinx) du point associé à un réel xxx sur le cercle trigonométrique ?

8. Sur le cercle trigonométrique, quelle est la valeur de sin⁡(π3)\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)sin(3π​) ?

9. Quelle comparaison entre le cosinus et le sinus d’un angle opposé est correcte ?

10. Quelle conséquence historique est attribuée aux travaux de Regiomontanus pour le développement de la trigonométrie ?

11. Pour convertir une mesure de 60° en radians, quelle relation permet d’effectuer le calcul ?

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5. Que désigne l’enroulement de la droite tangente au cercle trigonométrique en $I$ ?

7. À quoi servent les coordonnées $M(\cos x;\sin x)$ du point associé à un réel $x$ sur le cercle trigonométrique ?

8. Sur le cercle trigonométrique, quelle est la valeur de $\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)$ ?