QCM : Trinômes du second degré (22 questions)

Question 1

1. Laquelle des fonctions suivantes est un trinôme du second degré défini sur ℝ ?

T(x)=3x^2-2x+5

T(x)=3x^2+5

T(x)=x^3-2x+5

T(x)=2x+5

Explication

Un trinôme du second degré s’écrit $ax^2+bx+c$ avec des coefficients réels et $a\ne0$ . Une expression linéaire n’est pas de degré deux, une expression cubique est de degré trois, et dans un trinôme le coefficient de $x$ peut être nul.

Answer

$$T(x)=3x^2-2x+5$$

Question 2

2. Pour le trinôme $Q(x)=2x^2-3x-2$ , quelle expression donne son discriminant ?

-25

25

-7

17

Explication

Le discriminant vaut $b^2-4ac$ . Ici, $(-3)^2-4\times2\times(-2)=9+16=25$ ; $17$ omet le facteur quatre, tandis que les réponses négatives résultent d’erreurs de signe.

Answer

La forme canonique $$a(x-\alpha)^2+\beta$$

Answer

$$4$$ et $$-2$$

Answer

Développer Q puis comparer tous les coefficients au trinôme initial

Answer

Elle décroît puis croît, avec un minimum égal à $$-5$$ en $$x=2$$.

Answer

Elle croît puis décroît et atteint son maximum $$4$$ en $$x=-1$$.

Answer

Calculer $$\Delta=3^2-4(-2)(2)$$, puis examiner son signe.

Answer

Aucune solution réelle.

Answer

$$-\frac{3}{2}$$

Answer

$$1$$ et $$4$$

Answer

Il ne se factorise pas en facteurs du premier degré réels.

Answer

$$3(x-2)^2$$

Answer

$$4(x+1)(x-3)$$

Answer

Négatif à l’extérieur, positif entre les racines.

Answer

Positif partout, sauf en $$5$$ où il est nul.

Answer

Elles sont négatives pour tout réel $$x$$.

Question 3

3. Pour trouver le sommet et l’extremum d’un trinôme, quelle forme est la plus adaptée ?

La forme factorisée

a(x-x_1)(x-x_2)

La forme canonique

a(x-\alpha)^2+\beta

La forme développée

ax^2+bx+c

La forme réduite

mx+p

Explication

La forme canonique met en évidence le sommet et permet d’étudier les variations ainsi que l’extremum. La forme développée sert à lire les coefficients, et la forme factorisée facilite la lecture des racines et du signe.

Question 4

4. Une fonction s’écrit $g(x)=-3(x-4)(x+2)$ . Quelles sont ses racines ?

-4

et

2

-3

et

4

4

et

2

4

et

-2

Explication

Dans une forme $a(x-x_1)(x-x_2)$ , les racines sont les valeurs qui annulent chaque facteur : ici, $x=4$ et $x=-2$ . Les valeurs $-4$ et $2$ proviennent d’une inversion des signes dans les facteurs.

Question 5

5. Un trinôme a deux racines distinctes et un coefficient dominant négatif. Quel est son signe entre les racines ?

Négatif

Variable sans changement entre les racines

Positif

Nul en tout point

Explication

Entre deux racines distinctes, le trinôme est du signe contraire à celui de son coefficient dominant ; un coefficient négatif donne donc un signe positif entre les racines. Un signe négatif à l’intérieur correspondrait au signe du coefficient, et non à son contraire.

Question 6

6. Un trinôme s’écrit $g(x)=3x^2-6x-9$ et possède deux racines $x_1$ et $x_2$ . Quelle est la somme de ces racines ?

2

3

-2

-3

Explication

La somme des racines vaut $-\frac{b}{a}$ ; ici, $-\frac{-6}{3}=2$ . La réponse $-2$ oublie le signe négatif, tandis que $-3$ et $3$ confondent les coefficients intervenant dans la formule.

Question 7

7. Une parabole coupe l’axe des abscisses en $x_1=-5$ et $x_2=1$ . Quelle est l’abscisse de son sommet ?

3

1

-4

-2

Explication

L’abscisse du sommet est la moyenne des deux racines : $\frac{-5+1}{2}=-2$ . La valeur $-4$ correspond à leur somme, $3$ à une demi-distance, et $1$ à la racine de plus grande valeur.

Question 8

8. Pour $T(x)=2x^2+8x+3$ , quelle est l’abscisse $\alpha$ du sommet, calculée avec $\alpha=-\frac{b}{2a}$ ?

-4

-2

2

-\frac{3}{4}

Explication

On applique $\alpha=-\frac{b}{2a}$ avec $a=2$ et $b=8$ : $\alpha=-\frac{8}{4}=-2$ . La valeur $-4$ omet le facteur 2, $2$ inverse le signe, et $-\frac{3}{4}$ utilise le terme constant à la place de $b$ .

Question 9

9. Un élève propose $Q(x)=3(x-2)^2-5$ comme forme canonique de $3x^2-12x+7$ . Quelle vérification permet de déterminer si cette proposition est correcte ?

Calculer uniquement les racines de Q et les comparer au terme constant

Développer Q puis comparer tous les coefficients au trinôme initial

Évaluer les deux expressions en x=0 et considérer cela comme suffisant

Comparer uniquement les coefficients de x au carré des deux expressions

Explication

Pour vérifier une forme canonique, on la développe puis on compare le résultat au trinôme initial : ici, $3(x-2)^2-5=3x^2-12x+7$ . Comparer un seul coefficient, calculer les racines ou tester une seule valeur ne vérifie pas l’égalité des expressions.

Question 10

10. Une parabole a pour sommet le point de coordonnées $( -3; 2)$ . Quelle est l’équation de son axe de symétrie ?

y=2

x=-3

x=3

x=2

Explication

L’axe de symétrie est la droite verticale passant par le sommet : son équation est $x=\alpha$ , où $\alpha$ est l’abscisse du sommet. $x=2$ reprend l’ordonnée, $x=3$ change le signe de l’abscisse et $y=2$ décrit une droite horizontale.

Question 11

11. La fonction $f(x)=3(x-2)^2-5$ est écrite sous forme canonique. Quel est son comportement lorsque $x$ augmente de $-\infty$ à $+\infty$ ?

Elle croît puis décroît, avec un maximum égal à

-5

en

x=2

.

Elle décroît puis croît, avec un minimum égal à

-5

en

x=2

.

Elle décroît puis croît, avec un minimum égal à

2

en

x=-5

.

Elle croît puis décroît, avec un maximum égal à

2

en

x=-5

.

Explication

Comme le coefficient de $(x-2)^2$ est positif, la fonction décroît puis croît et atteint son minimum $\beta=-5$ en $x=\alpha=2$ . L’option du maximum inverse l’effet du signe de $a$ ; les autres confondent ou permutent les coordonnées du sommet.

Question 12

12. Une fonction quadratique s’écrit $g(x)=-2(x+1)^2+4$ . Quelle description de ses variations et de son extremum est correcte ?

Elle décroît puis croît et atteint son minimum

4

en

x=-1

.

Elle décroît puis croît et atteint son minimum

-1

en

x=4

.

Elle croît puis décroît et atteint son maximum

4

en

x=-1

.

Elle croît puis décroît et atteint son maximum

-1

en

x=4

.

Explication

Ici $a<0$ , donc la fonction croît puis décroît et atteint son maximum $\beta=4$ en $x=\alpha=-1$ . L’option du minimum attribue le mauvais type d’extremum; les autres échangent l’ordre des variations ou les coordonnées du sommet.

Question 13

13. Pour résoudre $-2x^2+3x+2=0$ , quelle démarche initiale applique la méthode du discriminant ?

Chercher directement deux facteurs, sans calculer

\Delta

.

Calculer

\Delta=3^2-4(-2)(2)

, puis examiner son signe.

Calculer

\Delta=3^2+4(-2)(2)

, puis examiner son signe.

Calculer

\Delta=3^2-4(-2)

, puis examiner son signe.

Explication

La méthode commence par $\Delta=b^2-4ac$ , puis distingue les cas selon que le discriminant est négatif, nul ou positif. Le signe plus dans la formule, l’oubli de $c$ et la recherche directe de facteurs ne suivent pas cette procédure.

Question 14

14. Une équation du second degré a pour discriminant $\Delta=-7$ . Combien de solutions réelles possède-t-elle ?

Une infinité de solutions réelles.

Une solution réelle unique.

Deux solutions réelles distinctes.

Aucune solution réelle.

Explication

Lorsque $\Delta<0$ , l’équation du second degré ne possède aucune solution réelle. Une solution unique correspond à $\Delta=0$ , tandis que deux solutions distinctes correspondent à $\Delta>0$ ; un discriminant négatif ne donne pas une infinité de solutions.

Question 15

15. Pour l’équation $4x^2+12x+9=0$ , le discriminant vaut $0$ . Quelle est son unique solution ?

-\frac{9}{8}

-3

-\frac{3}{2}

\frac{3}{2}

Explication

Pour un discriminant nul, l’unique solution est $x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{12}{8}=-\frac{3}{2}$ . L’option $-3$ omet le facteur $2$ du dénominateur, $\frac{3}{2}$ perd le signe négatif, et $-\frac{9}{8}$ substitue $c$ à $b$ .

Question 16

16. Une équation du second degré a $a=1$ , $b=-5$ et $\Delta=9$ . Quelles sont ses deux solutions distinctes ?

1

et

4

-1

et

4

2

et

8

-4

et

-1

Explication

La formule donne $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{5-3}{2}=1$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{5+3}{2}=4$ . Les autres réponses résultent d’une erreur de signe au numérateur ou de l’oubli du dénominateur $2a$ .

Question 17

17. Une technicienne étudie le trinôme $T(x)=2x^2+3x+5$ et trouve $\Delta<0$ . Quelle conclusion peut-elle tirer sur sa factorisation en facteurs du premier degré sur $\mathbb{R}$ ?

Il se factorise en deux facteurs linéaires complexes.

Il se factorise avec un facteur linéaire répété.

Il se factorise avec deux facteurs linéaires distincts.

Il ne se factorise pas en facteurs du premier degré réels.

Explication

Un discriminant négatif signifie qu’il n’existe pas de racine réelle, donc le trinôme n’est pas factorisable en facteurs du premier degré sur $\mathbb{R}$ . Une racine double correspond à $\Delta=0$ , tandis que deux racines réelles distinctes correspondent à $\Delta>0$ .

Question 18

18. Pour $Q(x)=3x^2-12x+12$ , le discriminant est nul et la racine double vaut $2$ . Quelle est sa forme factorisée ?

(x-2)^2

3(x-2)^2

3(x-2)(x+2)

3(x+2)^2

Explication

Lorsque $\Delta=0$ , le trinôme se factorise sous la forme $a(x-x_0)^2$ . Ici, $a=3$ et $x_0=2$ ; $(x-2)^2$ oublie le coefficient dominant et le facteur avec $x+2$ utilise la mauvaise racine.

Question 19

19. Un trinôme de coefficient dominant $4$ possède deux racines distinctes, $-1$ et $3$ . Quelle forme factorisée lui correspond ?

4(x-1)(x+3)

(x+1)(x-3)

4(x+1)^2

4(x+1)(x-3)

Explication

Avec deux racines distinctes $x_1$ et $x_2$ , la forme factorisée est $a(x-x_1)(x-x_2)$ . Pour les racines $-1$ et $3$ et le coefficient $4$ , on obtient $4(x+1)(x-3)$ ; les autres formes omettent le coefficient ou altèrent les racines.

Question 20

20. Un trinôme a un discriminant positif, deux racines $-2$ et $4$ , et un coefficient dominant négatif. Quel est son signe sur les intervalles délimités par ses racines ?

Négatif à l’extérieur, positif entre les racines.

Positif des deux côtés et nul entre les racines.

Négatif des deux côtés et nul entre les racines.

Positif à l’extérieur, négatif entre les racines.

Explication

Lorsque $\Delta>0$ , le trinôme a le signe de $a$ à l’extérieur de ses racines et le signe contraire entre elles. Comme $a<0$ , il est négatif à l’extérieur et positif entre $-2$ et $4$ ; la règle avec les signes inverses correspond à $a>0$ .

Question 21

21. Une fonction quadratique a un coefficient dominant positif et une racine double $x_0=5$ . Comment son signe varie-t-il sur $\mathbb{R}$ ?

Positif partout, sauf en

5

où il est nul.

Négatif partout, sauf en

5

où il est nul.

Positif avant

5

et négatif après

5

.

Négatif avant

5

et positif après

5

.

Explication

Si $\Delta=0$ , le trinôme garde le signe de $a$ et s’annule à sa racine double. Puisque le coefficient dominant est positif, il est positif ailleurs ; un changement de signe caractérise plutôt le passage entre deux racines distinctes.

Question 22

22. Un trinôme a un discriminant négatif et un coefficient dominant négatif. Que peut-on conclure sur ses valeurs réelles ?

Elles changent de signe de part et d’autre de deux racines.

Elles sont positives pour tout réel

x

.

Elles sont négatives pour tout réel

x

.

Elles sont négatives sauf en une racine où elles s’annulent.

Explication

Avec $\Delta<0$ , le trinôme ne s’annule pas et garde le signe de son coefficient dominant sur $\mathbb{R}$ . Celui-ci étant négatif, toutes ses valeurs sont négatives ; les cas avec annulation ou changement de signe exigent une racine réelle.

QCM : Trinômes du second degré (22 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Laquelle des fonctions suivantes est un trinôme du second degré défini sur ℝ ?

2. Pour le trinôme $Q(x)=2x^2-3x-2$ , quelle expression donne son discriminant ?

3. Pour trouver le sommet et l’extremum d’un trinôme, quelle forme est la plus adaptée ?

4. Une fonction s’écrit $g(x)=-3(x-4)(x+2)$ . Quelles sont ses racines ?

5. Un trinôme a deux racines distinctes et un coefficient dominant négatif. Quel est son signe entre les racines ?

6. Un trinôme s’écrit $g(x)=3x^2-6x-9$ et possède deux racines $x_1$ et $x_2$ . Quelle est la somme de ces racines ?

7. Une parabole coupe l’axe des abscisses en $x_1=-5$ et $x_2=1$ . Quelle est l’abscisse de son sommet ?

8. Pour $T(x)=2x^2+8x+3$ , quelle est l’abscisse $\alpha$ du sommet, calculée avec $\alpha=-\frac{b}{2a}$ ?

9. Un élève propose $Q(x)=3(x-2)^2-5$ comme forme canonique de $3x^2-12x+7$ . Quelle vérification permet de déterminer si cette proposition est correcte ?

10. Une parabole a pour sommet le point de coordonnées $( -3; 2)$ . Quelle est l’équation de son axe de symétrie ?

11. La fonction $f(x)=3(x-2)^2-5$ est écrite sous forme canonique. Quel est son comportement lorsque $x$ augmente de $-\infty$ à $+\infty$ ?

12. Une fonction quadratique s’écrit $g(x)=-2(x+1)^2+4$ . Quelle description de ses variations et de son extremum est correcte ?

13. Pour résoudre $-2x^2+3x+2=0$ , quelle démarche initiale applique la méthode du discriminant ?

14. Une équation du second degré a pour discriminant $\Delta=-7$ . Combien de solutions réelles possède-t-elle ?

15. Pour l’équation $4x^2+12x+9=0$ , le discriminant vaut $0$ . Quelle est son unique solution ?

16. Une équation du second degré a $a=1$ , $b=-5$ et $\Delta=9$ . Quelles sont ses deux solutions distinctes ?

17. Une technicienne étudie le trinôme $T(x)=2x^2+3x+5$ et trouve $\Delta<0$ . Quelle conclusion peut-elle tirer sur sa factorisation en facteurs du premier degré sur $\mathbb{R}$ ?

18. Pour $Q(x)=3x^2-12x+12$ , le discriminant est nul et la racine double vaut $2$ . Quelle est sa forme factorisée ?

19. Un trinôme de coefficient dominant $4$ possède deux racines distinctes, $-1$ et $3$ . Quelle forme factorisée lui correspond ?

20. Un trinôme a un discriminant positif, deux racines $-2$ et $4$ , et un coefficient dominant négatif. Quel est son signe sur les intervalles délimités par ses racines ?

21. Une fonction quadratique a un coefficient dominant positif et une racine double $x_0=5$ . Comment son signe varie-t-il sur $\mathbb{R}$ ?

22. Un trinôme a un discriminant négatif et un coefficient dominant négatif. Que peut-on conclure sur ses valeurs réelles ?

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QCM : Trinômes du second degré (22 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Laquelle des fonctions suivantes est un trinôme du second degré défini sur ℝ ?

2. Pour le trinôme Q(x)=2x2−3x−2Q(x)=2x^2-3x-2Q(x)=2x2−3x−2, quelle expression donne son discriminant ?

3. Pour trouver le sommet et l’extremum d’un trinôme, quelle forme est la plus adaptée ?

4. Une fonction s’écrit g(x)=−3(x−4)(x+2)g(x)=-3(x-4)(x+2)g(x)=−3(x−4)(x+2). Quelles sont ses racines ?

5. Un trinôme a deux racines distinctes et un coefficient dominant négatif. Quel est son signe entre les racines ?

6. Un trinôme s’écrit g(x)=3x2−6x−9g(x)=3x^2-6x-9g(x)=3x2−6x−9 et possède deux racines x1x_1x1​ et x2x_2x2​. Quelle est la somme de ces racines ?

7. Une parabole coupe l’axe des abscisses en x1=−5x_1=-5x1​=−5 et x2=1x_2=1x2​=1. Quelle est l’abscisse de son sommet ?

8. Pour T(x)=2x2+8x+3T(x)=2x^2+8x+3T(x)=2x2+8x+3, quelle est l’abscisse α\alphaα du sommet, calculée avec α=−b2a\alpha=-\frac{b}{2a}α=−2ab​ ?

9. Un élève propose Q(x)=3(x−2)2−5Q(x)=3(x-2)^2-5Q(x)=3(x−2)2−5 comme forme canonique de 3x2−12x+73x^2-12x+73x2−12x+7. Quelle vérification permet de déterminer si cette proposition est correcte ?

10. Une parabole a pour sommet le point de coordonnées (−3;2)( -3; 2)(−3;2). Quelle est l’équation de son axe de symétrie ?

11. La fonction f(x)=3(x−2)2−5f(x)=3(x-2)^2-5f(x)=3(x−2)2−5 est écrite sous forme canonique. Quel est son comportement lorsque xxx augmente de −∞-\infty−∞ à +∞+\infty+∞ ?

12. Une fonction quadratique s’écrit g(x)=−2(x+1)2+4g(x)=-2(x+1)^2+4g(x)=−2(x+1)2+4. Quelle description de ses variations et de son extremum est correcte ?

13. Pour résoudre −2x2+3x+2=0-2x^2+3x+2=0−2x2+3x+2=0, quelle démarche initiale applique la méthode du discriminant ?

14. Une équation du second degré a pour discriminant Δ=−7\Delta=-7Δ=−7. Combien de solutions réelles possède-t-elle ?

15. Pour l’équation 4x2+12x+9=04x^2+12x+9=04x2+12x+9=0, le discriminant vaut 000. Quelle est son unique solution ?

16. Une équation du second degré a a=1a=1a=1, b=−5b=-5b=−5 et Δ=9\Delta=9Δ=9. Quelles sont ses deux solutions distinctes ?

17. Une technicienne étudie le trinôme T(x)=2x2+3x+5T(x)=2x^2+3x+5T(x)=2x2+3x+5 et trouve Δ<0\Delta<0Δ<0. Quelle conclusion peut-elle tirer sur sa factorisation en facteurs du premier degré sur R\mathbb{R}R ?

18. Pour Q(x)=3x2−12x+12Q(x)=3x^2-12x+12Q(x)=3x2−12x+12, le discriminant est nul et la racine double vaut 222. Quelle est sa forme factorisée ?

19. Un trinôme de coefficient dominant 444 possède deux racines distinctes, −1-1−1 et 333. Quelle forme factorisée lui correspond ?

20. Un trinôme a un discriminant positif, deux racines −2-2−2 et 444, et un coefficient dominant négatif. Quel est son signe sur les intervalles délimités par ses racines ?

21. Une fonction quadratique a un coefficient dominant positif et une racine double x0=5x_0=5x0​=5. Comment son signe varie-t-il sur R\mathbb{R}R ?

22. Un trinôme a un discriminant négatif et un coefficient dominant négatif. Que peut-on conclure sur ses valeurs réelles ?

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2. Pour le trinôme $Q(x)=2x^2-3x-2$ , quelle expression donne son discriminant ?

4. Une fonction s’écrit $g(x)=-3(x-4)(x+2)$ . Quelles sont ses racines ?

6. Un trinôme s’écrit $g(x)=3x^2-6x-9$ et possède deux racines $x_1$ et $x_2$ . Quelle est la somme de ces racines ?

7. Une parabole coupe l’axe des abscisses en $x_1=-5$ et $x_2=1$ . Quelle est l’abscisse de son sommet ?

8. Pour $T(x)=2x^2+8x+3$ , quelle est l’abscisse $\alpha$ du sommet, calculée avec $\alpha=-\frac{b}{2a}$ ?

9. Un élève propose $Q(x)=3(x-2)^2-5$ comme forme canonique de $3x^2-12x+7$ . Quelle vérification permet de déterminer si cette proposition est correcte ?

10. Une parabole a pour sommet le point de coordonnées $( -3; 2)$ . Quelle est l’équation de son axe de symétrie ?

11. La fonction $f(x)=3(x-2)^2-5$ est écrite sous forme canonique. Quel est son comportement lorsque $x$ augmente de $-\infty$ à $+\infty$ ?

12. Une fonction quadratique s’écrit $g(x)=-2(x+1)^2+4$ . Quelle description de ses variations et de son extremum est correcte ?

13. Pour résoudre $-2x^2+3x+2=0$ , quelle démarche initiale applique la méthode du discriminant ?

14. Une équation du second degré a pour discriminant $\Delta=-7$ . Combien de solutions réelles possède-t-elle ?

15. Pour l’équation $4x^2+12x+9=0$ , le discriminant vaut $0$ . Quelle est son unique solution ?

16. Une équation du second degré a $a=1$ , $b=-5$ et $\Delta=9$ . Quelles sont ses deux solutions distinctes ?

17. Une technicienne étudie le trinôme $T(x)=2x^2+3x+5$ et trouve $\Delta<0$ . Quelle conclusion peut-elle tirer sur sa factorisation en facteurs du premier degré sur $\mathbb{R}$ ?

18. Pour $Q(x)=3x^2-12x+12$ , le discriminant est nul et la racine double vaut $2$ . Quelle est sa forme factorisée ?

19. Un trinôme de coefficient dominant $4$ possède deux racines distinctes, $-1$ et $3$ . Quelle forme factorisée lui correspond ?

20. Un trinôme a un discriminant positif, deux racines $-2$ et $4$ , et un coefficient dominant négatif. Quel est son signe sur les intervalles délimités par ses racines ?

21. Une fonction quadratique a un coefficient dominant positif et une racine double $x_0=5$ . Comment son signe varie-t-il sur $\mathbb{R}$ ?