Fiche de révision : Trinômes du second degré

📋 Plan du Cours

1. Définition et formes du trinôme
2. Racines et signe factorisé
3. Somme et produit des racines
4. Forme canonique et sommet
5. Variations de la parabole
6. Résolution par le discriminant
7. Factorisation du trinôme
8. Signe selon le discriminant

📖 1. Définition et formes du trinôme

🔑 Notions clés & Définitions

• Trinôme du second degré : Fonction définie sur ℝ par $T(x)=ax^2+bx+c$, où a, b et c sont réels et $a\ne0$.
• Discriminant : Le discriminant du trinôme $T(x)=ax^2+bx+c$ est le réel $\Delta=b^2-4ac$.

★ À maîtriser

📌 Les formes développée $ax^2+bx+c$, factorisée $a(x-x_1)(x-x_2)$ et canonique $a(x-\alpha)^2+\beta$ servent respectivement à lire les coefficients, les racines et le signe, puis le sommet, les variations et l’extremum.

Compléments

• Pour $P(x)=5x^2-x-4$, les coefficients sont $a=5$, $b=-1$ et $c=-4$.

💡 Astuce mémo

La forme développée lit les coefficients, la factorisée les racines, la canonique le sommet.

📖 2. Racines et signe factorisé

★ À maîtriser

• Si $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ avec $a\ne0$, ses racines sont $x_1$ et $x_2$.

📌 Avec deux racines distinctes, un trinôme est du signe de a à l’extérieur des racines et du signe contraire entre elles.

Compléments

• Pour étudier le signe d’un trinôme factorisé, on détermine le signe de chaque facteur du premier degré, puis on applique la règle des signes d’un produit.

• Pour $f(x)=2(x+3)(x-1)$, les racines sont $-3$ et $1$.

📖 3. Somme et produit des racines

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour $f(x)=ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$, la somme et le produit des racines vérifient $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ et $x_1x_2=\frac{c}{a}$.

Compléments

• L’abscisse du sommet de la parabole est la moyenne des deux racines, soit $\frac{x_1+x_2}{2}$.

📌 Les trinômes qui s’annulent en deux réels distincts $x_1$ et $x_2$ sont exactement les fonctions $a(x-x_1)(x-x_2)$ avec $a\ne0$.

📖 4. Forme canonique et sommet

★ À maîtriser

📐 Formule - La forme canonique est $T(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, avec $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=-\frac{\Delta}{4a}=T(\alpha)$.

Compléments

• La forme canonique de $P(x)=5x^2-x-4$ est $P(x)=5\left(x-\frac{1}{10}\right)^2-\frac{81}{20}$.

• On peut vérifier une forme canonique en la développant et en comparant le résultat au trinôme initial.

📖 5. Variations de la parabole

🔑 Notions clés & Définitions

• Parabole : Courbe représentative d’une fonction polynôme du second degré.

📝 Points essentiels

• Le sommet de la parabole a pour coordonnées $(\alpha;\beta)$ et son axe de symétrie a pour équation $x=\alpha$.

📌 Si $a>0$, la fonction est décroissante puis croissante et atteint son minimum $\beta$ en $x=\alpha$.

📌 Si $a<0$, la fonction est croissante puis décroissante et atteint son maximum $\beta$ en $x=\alpha$.

💡 Astuce mémo

a > 0 : un minimum ; a < 0 : un maximum.

📖 6. Résolution par le discriminant

★ À maîtriser

• Pour résoudre $ax^2+bx+c=0$ avec $a\ne0$, on calcule d’abord $\Delta=b^2-4ac$, puis on distingue les cas $\Delta<0$, $\Delta=0$ et $\Delta>0$.

📌 Si $\Delta<0$, l’équation $ax^2+bx+c=0$ n’a aucune solution réelle.

📐 Formule - Si $\Delta=0$, l’équation a une solution unique $x_0=-\frac{b}{2a}$.

📐 Formule - Si $\Delta>0$, l’équation a deux solutions distinctes $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.

Compléments

• L’équation $5x^2-x-4=0$ a pour solutions $-\frac45$ et $1$.

💡 Astuce mémo

Calcule Δ, puis distingue Δ < 0, Δ = 0 et Δ > 0.

📖 7. Factorisation du trinôme

★ À maîtriser

• Un trinôme de discriminant négatif n’est pas factorisable en facteurs du premier degré sur ℝ.

• Si $\Delta=0$, le trinôme se factorise sous la forme $a(x-x_0)^2$, où $x_0$ est sa racine double.

• Si $\Delta>0$, le trinôme se factorise sous la forme $a(x-x_1)(x-x_2)$, où $x_1$ et $x_2$ sont ses racines distinctes.

Compléments

• Pour factoriser, on peut tester une racine évidente comme 0, 1, −1 ou 2, reconnaître une identité remarquable, chercher deux nombres de somme $-b/a$ et de produit $c/a$, ou calculer le discriminant puis les racines.

• La somme des racines doit être $-b/a$ et leur produit $c/a$ pour vérifier une factorisation.

• La factorisation de $5x^2-x-4$ est $5\left(x+\frac45\right)(x-1)$.

💡 Astuce mémo

Racine évidente, identité remarquable, somme-produit, puis discriminant.

📖 8. Signe selon le discriminant

★ À maîtriser

• Si $\Delta>0$, le trinôme est du signe de a à l’extérieur de ses deux racines et du signe contraire entre elles.

• Si $\Delta=0$, le trinôme est du signe de a sauf en sa racine double $x_0$, où il s’annule.

• Si $\Delta<0$, le trinôme est toujours du signe de a et ne s’annule pas.

Compléments

• Pour étudier la position relative de deux courbes, on étudie le signe de la différence de leurs images.