Fiche de révision : Trigonométrie et cercle trigonométrique

📋 Plan du Cours

1. Repères historiques de la trigonométrie
2. Radians et mesure des angles
3. Cercle trigonométrique et enroulement
4. Mesure principale et angles modulo
5. Cosinus et sinus sur le cercle
6. Valeurs remarquables
7. Angles associés

📖 1. Repères historiques de la trigonométrie

★ À maîtriser

• Hipparque de Nicée (190–120 av. J.-C.) est crédité des premières tables trigonométriques, reliant l’angle au centre à la longueur de la corde interceptée dans le cercle.

• Dans l’Almageste, Claude Ptolémée (90–168 apr. J.-C.) poursuit les travaux d’Hipparque avec une meilleure précision et introduit les premières formules trigonométriques.

Compléments

• Les premières traces de tables de données astronomiques remontent aux Babyloniens, vers 2000 ans avant notre ère.

• Regiomontanus, de son vrai nom Johann Müller (1436–1476), développe la trigonométrie comme branche indépendante des mathématiques et serait à l’origine de l’usage systématique du terme sinus.

• Au XVIe siècle, François Viète (1540–1607) fait évoluer la trigonométrie vers son caractère actuel.

• La propagation des ondes est un exemple d’application des fonctions trigonométriques en sciences physiques.

💡 Astuce mémo

Babyloniens → Hipparque → Ptolémée → Regiomontanus → Viète

📖 2. Radians et mesure des angles

🔑 Notions clés & Définitions

• Radian : Une unité de mesure d’angles notée rad, définie par $\pi\,\mathrm{rad}=180^\circ$.

📝 Points essentiels

• Sur un cercle de rayon 1, la mesure en radians d’un angle au centre est égale à la longueur de l’arc qu’il intercepte.

• Les correspondances usuelles entre radians et degrés sont $0=0^\circ$, $\frac{\pi}{6}=30^\circ$, $\frac{\pi}{4}=45^\circ$, $\frac{\pi}{3}=60^\circ$, $\frac{\pi}{2}=90^\circ$, $\pi=180^\circ$ et $2\pi=360^\circ$.

📖 3. Cercle trigonométrique et enroulement

🔑 Notions clés & Définitions

• Cercle trigonométrique : Le cercle de centre O et de rayon 1, orienté dans le sens direct, c’est-à-dire inverse des aiguilles d’une montre.

📝 Points essentiels

• L’enroulement de la droite tangente au cercle en I associe à chaque point de la droite orientée un point unique du cercle, et la longueur parcourue sur la droite égale celle de l’arc parcouru sur le cercle, en comptant les éventuels tours complets.

• Le sens indirect de parcours du cercle trigonométrique correspond au sens négatif.

📖 4. Mesure principale et angles modulo

🔑 Notions clés & Définitions

• Mesure principale : L’unique mesure de cet angle dans l’intervalle $]-\pi;\pi]$.

★ À maîtriser

• Deux réels a et b correspondent au même point du cercle trigonométrique si et seulement s’il existe un entier k tel que $a-b=2k\pi$; on note alors $a\equiv b\ [2\pi]$.

Compléments

• Les réels $\frac{\pi}{3}$ et $\frac{7\pi}{3}$ représentent le même point du cercle, car leur différence vaut $2\pi$.

📖 5. Cosinus et sinus sur le cercle

★ À maîtriser

• Pour un réel x, le point M associé sur le cercle trigonométrique a pour coordonnées $M(\cos x;\sin x)$.

📐 Formule - Pour tout réel x, $\cos^2(x)+\sin^2(x)=1$.

Compléments

• Pour tout réel x, $-1\leq\cos(x)\leq1$ et $-1\leq\sin(x)\leq1$.

📐 Formule - Pour tout réel x et tout entier k, $\cos(x+2k\pi)=\cos(x)$ et $\sin(x+2k\pi)=\sin(x)$.

• Pour $x\in[0;\frac{\pi}{2}]$, le triangle rectangle obtenu par projection du point M sur l’axe des abscisses a pour hypoténuse $OM=1$, avec $\cos(x)=\frac{OH}{OM}$ et $\sin(x)=\frac{HM}{OM}$.

📖 6. Valeurs remarquables

★ À maîtriser

• Les valeurs remarquables sont $\cos(0)=1$, $\cos(\frac{\pi}{6})=\frac{\sqrt3}{2}$, $\cos(\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt2}{2}$, $\cos(\frac{\pi}{3})=\frac12$, $\cos(\frac{\pi}{2})=0$, $\sin(0)=0$, $\sin(\frac{\pi}{6})=\frac12$, $\sin(\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt2}{2}$, $\sin(\frac{\pi}{3})=\frac{\sqrt3}{2}$ et $\sin(\frac{\pi}{2})=1$.

Compléments

• Pour déterminer les valeurs de cosinus et de sinus en $\frac{\pi}{4}$, on utilise l’égalité des deux coordonnées sur la bissectrice et l’identité $\cos^2(x)+\sin^2(x)=1$, ce qui donne $\cos(\frac{\pi}{4})=\sin(\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt2}{2}$.

• Pour $x=\frac{\pi}{3}$, le triangle OIM est équilatéral de côté 1, donc $\cos(\frac{\pi}{3})=\frac12$ et $\sin(\frac{\pi}{3})=\frac{\sqrt3}{2}$.

📖 7. Angles associés

📝 Points essentiels

📐 Formule - Pour tout réel x, $\cos(-x)=\cos(x)$ et $\sin(-x)=-\sin(x)$.

📐 Formule - Pour tout réel x, $\cos(\frac{\pi}{2}-x)=\sin(x)$ et $\sin(\frac{\pi}{2}-x)=\cos(x)$.

💡 Astuce mémo

Le cosinus est pair, tandis que le sinus est impair : cos(−x)=cos(x), sin(−x)=−sin(x).