Fiche de révision : Trinômes et équations du second degré

📋 Plan du Cours

1. Trinôme et forme canonique
2. Discriminant, factorisation et signe
3. Parabole et sommet
4. Résolution des équations quadratiques
5. Méthodes réduites et relations entre racines
6. Inéquations du second degré
7. Équations et inéquations bicarrées
8. Équations paramétriques
9. Équations et inéquations rationnelles

📖 1. Trinôme et forme canonique

🔑 Notions clés & Définitions

• Trinôme du second degré : Fonction définie sur ℝ par $P(x)=ax^2+bx+c$, avec $a\ne0$ et $b,c\in\mathbb{R}$.

📝 Points essentiels

📐 Formule - La forme canonique d’un trinôme est $P(x)=a\left(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a^2}\right)$, où $\Delta=b^2-4ac$.

📖 2. Discriminant, factorisation et signe

📝 Points essentiels

📐 Formule - Le discriminant d’un trinôme $P(x)=ax^2+bx+c$ est $\Delta=b^2-4ac$.

📌 Si $\Delta>0$, le trinôme se factorise en $P(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$, avec $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.

💡 Astuce mémo

Δ > 0 donne deux racines, Δ = 0 une racine double, Δ < 0 aucune racine réelle.

📖 3. Parabole et sommet

📝 Points essentiels

• La courbe représentative de $P(x)=ax^2+bx+c$ est une parabole de sommet $S\left(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a}\right)$.

📖 4. Résolution des équations quadratiques

📝 Points essentiels

📌 Pour résoudre $ax^2+bx+c=0$ dans ℝ, on calcule $\Delta=b^2-4ac$ : si $\Delta>0$, il y a deux solutions $\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.

📖 5. Méthodes réduites et relations entre racines

📝 Points essentiels

📐 Formule - Lorsque $b$ est pair, le discriminant réduit est $\Delta'=b'^2-ac$, avec $b'=\frac b2$.

📐 Formule - Pour les racines $x_1,x_2$ de $ax^2+bx+c=0$, leur somme vaut $x_1+x_2=-\frac ba$ et leur produit vaut $x_1x_2=\frac ca$.

📖 6. Inéquations du second degré

📝 Points essentiels

• Pour résoudre une inéquation du second degré, on étudie le signe du trinôme associé et on exprime les solutions sous forme d’intervalles compatibles avec le sens de l’inégalité.

📖 7. Équations et inéquations bicarrées

📝 Points essentiels

• Pour résoudre une équation ou une inéquation bicarrée, on pose $X=x^2$ afin de ramener l’expression à un trinôme du second degré en $X$.

💡 Astuce mémo

Poser X = x², résoudre en X, puis revenir à x.

📖 8. Équations paramétriques

📝 Points essentiels

• Pour résoudre une équation paramétrique, on distingue d’abord le cas où le coefficient de $x^2$ est nul du cas où il est non nul, puis on étudie le discriminant.

💡 Astuce mémo

Distinguer d’abord a = 0, où l’équation perd son terme quadratique, de a ≠ 0.

📖 9. Équations et inéquations rationnelles

📝 Points essentiels

• Pour résoudre une équation ou une inéquation rationnelle, on détermine les valeurs interdites, met les termes au même dénominateur, puis étudie l’expression obtenue dans son domaine de définition.

💡 Astuce mémo

Domaine, dénominateur commun, résolution, puis filtrage des valeurs interdites.