QCM : Trinômes et équations du second degré (8 questions)

Question 1

1. Pour le trinôme $Q(x)=3x^2-2x+5$ , cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

La substitution des coefficients donne

\Delta=4-60=-56

.

Le discriminant se calcule par

b^2+4ac

pour ce trinôme.

Le discriminant se calcule par

b^2-4ac

pour ce trinôme.

Le coefficient

a

vaut

-2

et le coefficient

b

vaut

3

.

Le coefficient

a

vaut

3

et le coefficient

b

vaut

-2

.

Explication

Dans $Q(x)=3x^2-2x+5$ , on lit $a=3$ , $b=-2$ et $c=5$ . La formule est $\Delta=b^2-4ac$ , d’où $4-60=-56$ ; l’échange des coefficients et le signe plus dans la formule sont incorrects.

Answer

La substitution des coefficients donne $$\Delta=4-60=-56$$. · Le discriminant se calcule par $$b^2-4ac$$ pour ce trinôme. · Le coefficient $$a$$ vaut $$3$$ et le coefficient $$b$$ vaut $$-2$$.

Question 2

2. Qu’appelle-t-on un trinôme du second degré défini sur $\mathbb{R}$ ?

Une fonction

P(x)=ax^2+c

où

a,b,c\in\mathbb{R}

Une fonction

P(x)=ax^3+bx+c

où

a\ne0

et

b,c\in\mathbb{R}

Une fonction

P(x)=ax^2+bx+c

où

a\ne0

et

b,c\in\mathbb{R}

Une fonction

P(x)=ax^2+bx+c

où

a=0

et

b,c\in\mathbb{R}

Explication

Un trinôme du second degré est une fonction de la forme $P(x)=ax^2+bx+c$ , avec un coefficient quadratique non nul et des coefficients réels. Si $a=0$ , le terme en $x^2$ disparaît et la fonction n’est plus du second degré.

Answer

Une fonction $$P(x)=ax^2+bx+c$$ où $$a\ne0$$ et $$b,c\in\mathbb{R}$$

Question 3

3. Quelle formule donne l’abscisse du sommet de la parabole représentative de $P(x)=ax^2+bx+c$ ?

\frac{b}{2a}

-\frac{b}{a}

-\frac{b}{2a}

-\frac{\Delta}{4a}

Explication

L’abscisse du sommet est $-\frac{b}{2a}$ , tandis que son ordonnée est $-\frac{\Delta}{4a}$ . La valeur $-\frac{\Delta}{4a}$ correspond donc à l’ordonnée et non à l’abscisse du sommet.

Answer

$$-\frac{b}{2a}$$

Question 4

4. Dans la résolution de $ax^2+bx+c=0$ avec $a\ne0$ , quel rôle joue le discriminant $\Delta=b^2-4ac$ ?

Il donne directement la somme des deux solutions réelles de l’équation.

Il indique le sens d’ouverture de la parabole associée à l’équation.

Il transforme l’équation en une inéquation du second degré équivalente.

Il permet de déterminer le nombre de solutions réelles et, si elles existent, de les calculer.

Explication

Le discriminant sert à déterminer le nombre de solutions réelles et sa valeur permet de calculer les solutions lorsque $\Delta>0$ . Le sens d’ouverture dépend du signe de $a$ , et non de celui du discriminant.

Answer

Il permet de déterminer le nombre de solutions réelles et, si elles existent, de les calculer.

Question 5

5. En quoi le discriminant réduit $\Delta'$ et les relations entre les racines diffèrent-ils dans leur rôle pour $ax^2+bx+c=0$ lorsque $b$ est pair ?

\Delta'

donne la somme des racines, tandis que les relations entre racines déterminent si elles sont réelles.

\Delta'

et la somme des racines déterminent le signe du trinôme, tandis que le produit indique son sommet.

\Delta'

sert à déterminer les racines, tandis que la somme et le produit relient leurs valeurs à

a

,

b

et

c

.

\Delta'

donne le produit des racines, tandis que les relations entre racines remplacent le calcul du coefficient

a

.

Explication

Le discriminant réduit $\Delta'=b'^2-ac$ est une méthode de calcul associée aux équations dont le coefficient $b$ est pair, alors que la somme $-\frac ba$ et le produit $\frac ca$ décrivent les racines. La somme et le produit ne déterminent pas à eux seuls si les racines sont réelles, contrairement à ce que suggère une autre interprétation.

Answer

$$\Delta'$$ sert à déterminer les racines, tandis que la somme et le produit relient leurs valeurs à $$a$$, $$b$$ et $$c$$.

Question 6

6. Pourquoi l’étude du signe du trinôme associé permet-elle de résoudre une inéquation du second degré ?

Parce que les racines du trinôme sont toujours les seules solutions de l’inéquation.

Parce que le signe du discriminant fournit directement les intervalles sans étudier le trinôme.

Parce que les valeurs où le trinôme a le signe recherché forment les intervalles solutions.

Parce que le sens de l’inégalité détermine à lui seul le signe du trinôme.

Explication

Le signe du trinôme sur les différents intervalles indique précisément où l’inégalité est vérifiée. Le discriminant aide à repérer les racines, mais ne donne pas à lui seul les intervalles solutions.

Answer

Parce que les valeurs où le trinôme a le signe recherché forment les intervalles solutions.

Question 7

7. Pour résoudre $x^4-5x^2+4\leq 0$ , quelle substitution ramène l’inéquation à une inéquation du second degré ?

Poser

X=x^2

, puis résoudre

X^2-5X-4\leq 0

avant de revenir à

x

.

Poser

X=x^4

, puis résoudre

X^2-5X+4\leq 0

avant de revenir à

x

.

Poser

X=x

, puis résoudre

X^4-5X^2+4\leq 0

comme un trinôme en

X

.

Poser

X=x^2

, puis résoudre

X^2-5X+4\leq 0

avant de revenir à

x

.

Explication

La substitution $X=x^2$ transforme les termes $x^4$ et $x^2$ en $X^2$ et $X$ , ce qui donne un trinôme en $X$ . Prendre $X=x^4$ ne réduit pas correctement l’expression à un trinôme du second degré.

Answer

Poser $$X=x^2$$, puis résoudre $$X^2-5X+4\leq 0$$ avant de revenir à $$x$$.

Question 8

8. Quelle première distinction structure la résolution d’une équation du second degré contenant un paramètre ?

Vérifier si le terme constant est positif ou négatif

Déterminer le signe du coefficient de

x^2

avant tout calcul

Comparer le coefficient de

x

au terme constant

Vérifier si le coefficient de

x^2

est nul ou non nul

Explication

Si le coefficient de $x^2$ est nul, l’équation perd son terme quadratique et doit être traitée différemment du cas où ce coefficient est non nul. Étudier seulement le signe de ce coefficient ne suffit pas, car la distinction utile porte sur sa nullité.

Answer

Vérifier si le coefficient de $$x^2$$ est nul ou non nul

QCM : Trinômes et équations du second degré (8 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour le trinôme $Q(x)=3x^2-2x+5$ , cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

2. Qu’appelle-t-on un trinôme du second degré défini sur $\mathbb{R}$ ?

3. Quelle formule donne l’abscisse du sommet de la parabole représentative de $P(x)=ax^2+bx+c$ ?

4. Dans la résolution de $ax^2+bx+c=0$ avec $a\ne0$ , quel rôle joue le discriminant $\Delta=b^2-4ac$ ?

5. En quoi le discriminant réduit $\Delta'$ et les relations entre les racines diffèrent-ils dans leur rôle pour $ax^2+bx+c=0$ lorsque $b$ est pair ?

6. Pourquoi l’étude du signe du trinôme associé permet-elle de résoudre une inéquation du second degré ?

7. Pour résoudre $x^4-5x^2+4\leq 0$ , quelle substitution ramène l’inéquation à une inéquation du second degré ?

8. Quelle première distinction structure la résolution d’une équation du second degré contenant un paramètre ?

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Questions et réponses du QCM

1. Pour le trinôme Q(x)=3x2−2x+5Q(x)=3x^2-2x+5Q(x)=3x2−2x+5, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

2. Qu’appelle-t-on un trinôme du second degré défini sur R\mathbb{R}R ?

3. Quelle formule donne l’abscisse du sommet de la parabole représentative de P(x)=ax2+bx+cP(x)=ax^2+bx+cP(x)=ax2+bx+c ?

4. Dans la résolution de ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0ax2+bx+c=0 avec a≠0a\ne0a=0, quel rôle joue le discriminant Δ=b2−4ac\Delta=b^2-4acΔ=b2−4ac ?

5. En quoi le discriminant réduit Δ′\Delta'Δ′ et les relations entre les racines diffèrent-ils dans leur rôle pour ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0ax2+bx+c=0 lorsque bbb est pair ?

6. Pourquoi l’étude du signe du trinôme associé permet-elle de résoudre une inéquation du second degré ?

7. Pour résoudre x4−5x2+4≤0x^4-5x^2+4\leq 0x4−5x2+4≤0, quelle substitution ramène l’inéquation à une inéquation du second degré ?

8. Quelle première distinction structure la résolution d’une équation du second degré contenant un paramètre ?

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2. Qu’appelle-t-on un trinôme du second degré défini sur $\mathbb{R}$ ?

3. Quelle formule donne l’abscisse du sommet de la parabole représentative de $P(x)=ax^2+bx+c$ ?

4. Dans la résolution de $ax^2+bx+c=0$ avec $a\ne0$ , quel rôle joue le discriminant $\Delta=b^2-4ac$ ?

5. En quoi le discriminant réduit $\Delta'$ et les relations entre les racines diffèrent-ils dans leur rôle pour $ax^2+bx+c=0$ lorsque $b$ est pair ?

7. Pour résoudre $x^4-5x^2+4\leq 0$ , quelle substitution ramène l’inéquation à une inéquation du second degré ?