Fiche de révision : Vecteurs du plan

📋 Plan du Cours

1. Caractéristiques et représentants des vecteurs
2. Vecteurs opposés et translation
3. Somme et relation de Chasles
4. Produit d’un vecteur par un réel
5. Construction et représentation vectorielles

📖 1. Caractéristiques et représentants des vecteurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur : Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ est caractérisé par sa longueur $AB$, sa direction (la droite $(AB)$) et son sens, de A vers B ; A est son origine et B son extrémité.
• Égalité de vecteurs : L’égalité $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ signifie que la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$ transforme C en D ; les deux vecteurs ont alors la même direction, le même sens et la même norme.
• Vecteur nul : Le vecteur $\overrightarrow{AA}$, réduit au point A, est le vecteur nul et se note $\overrightarrow{AA}=\vec{0}$.

📝 Points essentiels

• La norme du vecteur $\overrightarrow{AB}$ se note $\|\overrightarrow{AB}\|$ et vérifie $\|\overrightarrow{AB}\|=AB$.

📌 Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont des représentants d’un même vecteur lorsqu’ils sont égaux.

📖 2. Vecteurs opposés et translation

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur opposé : L’opposé de $\overrightarrow{AB}$, noté $-\overrightarrow{AB}$, a la même direction et la même norme que $\overrightarrow{AB}$, mais un sens contraire.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour tous points distincts A et B, $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}$ si et seulement si M est le milieu de [AB].

📐 Formule - $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ si et seulement si ABDC est un parallélogramme, éventuellement aplati.

Compléments

• Pour construire l’image D de C par la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$, on trace un arc de centre B et de rayon AC, puis un arc de centre C et de rayon AB ; leur intersection est D.

📖 3. Somme et relation de Chasles

🔑 Notions clés & Définitions

• Somme de vecteurs : La translation de vecteur $\vec u$ suivie de celle de vecteur $\vec v$ est une translation de vecteur $\vec w$ défini par $\vec w=\vec u+\vec v$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour tous points A, B et C, la relation de Chasles s’écrit $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$.

📌 $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}$ si et seulement si ABDC est un parallélogramme.

Compléments

• En réordonnant les vecteurs et en appliquant Chasles, $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$.

• En remplaçant $-\overrightarrow{AC}$ par $\overrightarrow{CA}$ et $-\overrightarrow{CB}$ par $\overrightarrow{BC}$, on obtient $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{CB}=\vec 0$.

📖 4. Produit d’un vecteur par un réel

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit d’un vecteur par un réel : Pour un réel k et un vecteur $\vec u$, le produit $k\vec u$ a la même direction que $\vec u$ ; son sens est le même si $k>0$ et contraire si $k<0$, et sa norme vaut $k\times\|\vec u\|$ si $k>0$ ou $-k\times\|\vec u\|$ si $k<0$.

📝 Points essentiels

📌 Si $k=0$ ou si $\vec u=\vec 0$, alors $k\vec u=\vec 0$.

💡 Astuce mémo

k positif conserve le sens ; k négatif l’inverse.

📖 5. Construction et représentation vectorielles

★ À maîtriser

• Pour représenter $\overrightarrow{AM}$ comme une somme de vecteurs et de produits par un réel, on part de A, on place les vecteurs bout à bout en appliquant les facteurs nécessaires, puis M est l’extrémité du dernier vecteur.

Compléments

• Pour représenter $\overrightarrow{AM}=-\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC}$, on part de A, on applique $-\overrightarrow{AB}$ puis $3\overrightarrow{AC}$, et M est à l’extrémité du dernier vecteur.