Fiche de révision : Vecteurs du plan

📋 Plan du Cours

1. Translation et caractéristiques vectorielles
2. Représentants et vecteur nul
3. Somme et enchaînement des vecteurs
4. Propriétés de l’addition vectorielle
5. Opposé et différence de vecteurs
6. Vecteurs et parallélogrammes
7. Milieu et applications géométriques

📖 1. Translation et caractéristiques vectorielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Translation de vecteur : La translation qui envoie le point A sur le point B est appelée translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$, et B est l’image de A par cette translation.
• Caractéristiques d’un vecteur : Lorsque A et B sont distincts, le vecteur $\overrightarrow{AB}$ est caractérisé par la direction de la droite (AB), le sens de A vers B et la norme égale à la longueur AB.

💡 Astuce mémo

DSN : direction, sens, norme

📖 2. Représentants et vecteur nul

🔑 Notions clés & Définitions

• Représentant d’un vecteur : Si $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$, alors $\overrightarrow{AB}$ est un représentant du vecteur $\vec{u}$ d’origine A et d’extrémité B.
• Vecteur nul : Le vecteur dont les représentants sont $\overrightarrow{AA}$, $\overrightarrow{BB}$ ou $\overrightarrow{CC}$ est le vecteur nul, noté $\vec{0}$, qui n’a ni direction ni sens.

💡 Astuce mémo

Représentant = une flèche située ; vecteur = déplacement indépendant de son origine

📖 3. Somme et enchaînement des vecteurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Somme de vecteurs : La somme $\vec{u}+\vec{v}$ est le vecteur associé à l’enchaînement de la translation de vecteur $\vec{u}$ puis de celle de vecteur $\vec{v}$.

📝 Points essentiels

• Pour construire la somme de deux vecteurs, on trace d’abord le premier vecteur, puis le second à partir de l’extrémité du premier ; le vecteur allant du point de départ au point d’arrivée représente la somme.

💡 Astuce mémo

Premier déplacement → second déplacement → déplacement résultant

📖 4. Propriétés de l’addition vectorielle

★ À maîtriser

📐 Formule — L’addition vectorielle vérifie $\vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u}$ et $\vec{u}+\vec{\vec{v}+\vec{w}}=\vec{u}+\left(\vec{v}+\vec{w}\right)$.

📐 Formule — La relation de Chasles affirme que, pour trois points A, B et C, $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$.

Compléments

📐 Formule — Le vecteur nul est l’élément neutre de l’addition : $\vec{u}+\vec{0}=\vec{u}$.

💡 Astuce mémo

CAO : commutativité, associativité, opposé

📖 5. Opposé et différence de vecteurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur opposé : Le vecteur opposé de $\vec{u}$ est le vecteur $-\vec{u}$ tel que $\vec{u}+(-\vec{u})=\vec{0}$.
• Différence de vecteurs : La différence $\vec{u}-\vec{v}$ est définie par $\vec{u}-\vec{v}=\vec{u}+(-\vec{v})$ ; soustraire un vecteur revient donc à additionner son opposé.

📝 Points essentiels

📌 Le vecteur opposé de $\overrightarrow{AB}$ est $\overrightarrow{BA}$, donc $-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BA}$.

💡 Astuce mémo

Soustraire un vecteur → additionner son opposé

📖 6. Vecteurs et parallélogrammes

★ À maîtriser

📌 Pour quatre points A, B, C et D, $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ si et seulement si ABCD est un parallélogramme.

Compléments

📌 Si ABCD est un parallélogramme, alors $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.

• Si $\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{HG}$ pour quatre points distincts E, F, G et H, alors le quadrilatère EFGH est un parallélogramme.

💡 Astuce mémo

Égalité de vecteurs ⇔ côtés opposés parallèles et égaux

📖 7. Milieu et applications géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Milieu d’un segment : Le milieu I du segment [AB] est caractérisé par l’égalité $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}$.

📝 Points essentiels

• Dans un parallélogramme ABCD, si M est l’intersection des diagonales, alors $\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{MD}$.

• Pour démontrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme, on peut établir l’égalité de deux vecteurs correspondant à une paire de côtés opposés.