Fiche de révision : Équilibres et jeux dynamiques

📋 Plan du Cours

1. Fondements de la théorie des jeux
2. Forme normale et dominance
3. Équilibre de Nash pur
4. Multiplicité et stratégies mixtes
5. Stratégies mixtes et équilibre de Nash
6. Jeux statiques à information incomplète
7. Récurrence à rebours
8. Stratégies et perfection
9. Jeux répétés et théorème de folk
10. Jeux dynamiques à information incomplète
11. Jeux coopératifs et stabilité
12. Stabilité et cœur des coalitions
13. Valeur de Shapley et partage équitable
14. Jeux de vote pondéré
15. Indices de pouvoir collectif

📖 1. Fondements de la théorie des jeux

🔑 Notions clés & Définitions

• Théorie des jeux : Branche de l’analyse économique et mathématique qui étudie les situations où les décisions d’un agent dépendent de ses propres choix et des choix des autres agents.
• Stratégie : Plan d’action complet qui indique ce qu’un joueur doit faire dans chaque situation possible.

★ À maîtriser

• Les concepts fondamentaux sont:

  • les joueurs
  • les stratégies
  • les gains
  • l’information

• L’information parfaite signifie que chaque joueur connaît toutes les actions passées, tandis que l’information imparfaite signifie que certains choix précédents ne sont pas observés.

• L’information complète signifie que les préférences, stratégies possibles et gains des joueurs sont connus de tous, tandis que l’information incomplète laisse inconnus certains éléments comme le type ou le niveau de risque d’un joueur.

• Un jeu simultané se joue lorsque les joueurs choisissent leurs actions au même moment ou sans connaître l’action de l’autre, tandis qu’un jeu séquentiel fait agir les joueurs les uns après les autres.

Compléments

📌 Une stratégie pure consiste à choisir une action déterminée, tandis qu’une stratégie mixte consiste à choisir entre plusieurs actions selon certaines probabilités.

📌 Dans un jeu à somme nulle, le gain d’un joueur correspond exactement à la perte de l’autre, tandis que dans un jeu à somme non nulle les joueurs peuvent tous gagner ou tous perdre.

💡 Astuce mémo

JSGI : joueurs, stratégies, gains, information

📖 2. Forme normale et dominance

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme normale : Rassemble l’ensemble des joueurs, leurs ensembles de stratégies et leurs fonctions de gain définies sur le produit cartésien des ensembles de stratégies et à valeurs dans ℝ.
• Bi-matrice des gains : Dans un jeu à deux joueurs disposant d’un nombre fini de stratégies, la bi-matrice représente les stratégies du joueur 1 en lignes, celles du joueur 2 en colonnes et les gains associés à chaque combinaison dans les cellules.
• Stratégie strictement dominante : Stratégie qui procure à un joueur un gain supérieur à celui de toute autre stratégie, quelle que soit la stratégie choisie par l’autre joueur.

★ À maîtriser

• 🔄 La résolution procède ainsi:

  1. supprimer une stratégie strictement dominée
  2. réexaminer le jeu réduit
  3. supprimer les stratégies devenues dominées
  4. obtenir le résultat restant

• Dans l’exemple 15, la stratégie c du joueur 2 est strictement dominée par b, puis y du joueur 1 devient dominée, et enfin a du joueur 2 devient dominée, ce qui laisse l’unique profil (x,b).

Compléments

• Dans l’exemple de concurrence par les prix, les gains sont (4,4) lorsque les deux firmes choisissent un prix bas, (10,1) lorsque le joueur 1 choisit un prix bas et le joueur 2 un prix élevé, (1,10) dans le cas inverse, et (9,9) lorsque les deux choisissent un prix élevé.

💡 Astuce mémo

Comparer → éliminer → converger

📖 3. Équilibre de Nash pur

🔑 Notions clés & Définitions

• Équilibre de Nash : Profil dans lequel la stratégie de chaque joueur est optimale compte tenu des stratégies des autres, de sorte qu’aucun joueur n’a intérêt à dévier unilatéralement.
• Meilleure réponse : Stratégie qui, pour chaque stratégie de l’autre joueur, maximise son propre gain.

★ À maîtriser

• Pour vérifier un équilibre de Nash, il faut examiner si chaque joueur peut améliorer strictement son gain en remplaçant unilatéralement sa stratégie par une autre.

• Dans l’exemple 15, (y,a) n’est pas un équilibre de Nash car le joueur 1 préfère dévier vers x, tandis que (x,b) est un équilibre de Nash car x et b sont mutuellement des meilleures réponses.

• Dans l’exemple 16, la meilleure réponse du joueur 1 est a contre x, b contre y et b contre z, tandis que celle du joueur 2 est z contre a et y contre b ; leur intersection donne l’équilibre (b,y).

📌 L’élimination itérée des stratégies strictement dominées est plus restrictive que l’équilibre de Nash : tout équilibre obtenu par cette élimination est un équilibre de Nash, mais la réciproque est fausse.

Compléments

• Nash (1950) a établi que l’existence d’un équilibre est garantie pour une large classe de problèmes lorsque les joueurs peuvent utiliser des stratégies mixtes.

💡 Astuce mémo

Meilleure réponse contre déviation rentable

📖 4. Multiplicité et stratégies mixtes

🔑 Notions clés & Définitions

• Stratégie mixte : Distribution de probabilités, éventuellement dégénérée, sur les stratégies disponibles d’un joueur.
• Point focal : Critère subjectif qui permet aux joueurs de distinguer un équilibre de Nash des autres et de se coordonner sur celui-ci.

★ À maîtriser

• La Bataille des Sexes de Luce et Raiffa (1957) possède deux équilibres de Nash, (cinéma, cinéma) et (football, football), car les joueurs souhaitent se coordonner tout en ayant des préférences différentes.

• Dans le matching pennies, aucun profil de stratégies pures n’est un équilibre de Nash, car quel que soit le profil un joueur peut toujours améliorer son résultat en changeant de côté ; l’équilibre nécessite donc des stratégies mixtes.

📐 Formule — Les gains espérés du matching pennies sont $E_1(p,q)=4pq-2p-2q+1$ pour le joueur 1 et $E_2(p,q)=2p+2q-4pq-1$ pour le joueur 2.

• L’équilibre de Nash en stratégies mixtes du matching pennies est donné par $p^*=q^*=\frac{1}{2}$ et les gains d’équilibre sont nuls pour les deux joueurs.

Compléments

• Les expériences de Cooper et al. (1993) et Rubinstein (1999) montrent que 60 à 80 % des sujets jouent (Cinéma, Cinéma) dans la Bataille des Sexes.

📐 Formule — Dans le matching pennies, les stratégies mixtes s’écrivent $_1=(p,1-p)$ et $_2=(q,1-q)$, où p et q sont les probabilités respectives de jouer Pile.

💡 Astuce mémo

Bataille des Sexes : coordonner ; Matching Pennies : randomiser

📖 5. Stratégies mixtes et équilibre de Nash

📝 Points essentiels

📐 Formule — La fonction d’utilité espérée du joueur 1 est $E = 4pq - 2p - 2q + 1$.

• L’équilibre de Nash en stratégies mixtes est caractérisé par $p^* = q^* = \frac{1}{2}$ et par des gains espérés nuls pour les deux joueurs.

• Le théorème d’existence de Nash (1950) affirme que tout jeu fini admet au moins un équilibre de Nash en stratégies mixtes.

💡 Astuce mémo

Meilleure réponse du joueur 1, puis du joueur 2, puis équilibre

📖 6. Jeux statiques à information incomplète

🔑 Notions clés & Définitions

• Méthode d’Harsanyi : Harsanyi, 1968 — Transforme un jeu à information incomplète en un jeu à information complète mais imparfaite en introduisant un joueur Nature qui détermine le type privé.
• Équilibre bayésien : Un ensemble de stratégies contingentes aux types dans lequel chaque joueur maximise son espérance de gain compte tenu des stratégies et des distributions de probabilité sur les types des autres joueurs.

📝 Points essentiels

• Dans le jeu 7, le type A du joueur 2 choisit Q car R est strictement dominée par Q, tandis que le type B choisit R car Q est strictement dominée par R.

• Dans le jeu 7, chaque type du joueur 2 a une probabilité de \frac{1}{2}, et le joueur 1 obtient une espérance de 2 en jouant O contre 1 en jouant P, de sorte que l’unique équilibre bayésien est O pour le joueur 1, Q pour le type A et R pour le type B.

💡 Astuce mémo

Type inconnu → Nature → jeu à information complète mais imparfaite

📖 7. Récurrence à rebours

🔑 Notions clés & Définitions

• Jeu dynamique à information parfaite : Un jeu séquentiel où les joueurs jouent à tour de rôle et connaissent l’histoire des actions précédentes lorsqu’ils décident.

📝 Points essentiels

• La récurrence à rebours consiste à déterminer les choix optimaux du dernier joueur à chacun de ses nœuds, puis à faire anticiper ces choix par les joueurs précédents jusqu’au premier nœud.

• Dans la bataille publicitaire, les firmes peuvent investir 0, 5 ou 10 ; la résolution par récurrence à rebours conduit à l’investissement 10 de la firme 1 puis 10 de la firme 2.

📌 Dans le jeu des paniques bancaires, l’équilibre (oui, oui) donne r à chaque joueur tandis que l’équilibre (non, non) donne R à chacun, avec R supérieur à S et r inférieur à S.

💡 Astuce mémo

Dernier joueur, sous-jeu, premier joueur, chemin d’équilibre

📖 8. Stratégies et perfection

🔑 Notions clés & Définitions

• Stratégie dynamique : Un plan complet d’actions spécifiant une action réalisable pour chaque ensemble d’information où le joueur peut avoir la main.
• ENPSJ : Un équilibre de Nash fondé sur des menaces crédibles, c’est-à-dire des actions que le joueur aurait effectivement intérêt à mettre en œuvre dans le sous-jeu concerné.

★ À maîtriser

• Il est toujours possible de construire un ENPSJ à partir des résultats de la récurrence à rebours en spécifiant les actions optimales à chacun des nœuds de décision.

Compléments

• Les quatre stratégies du joueur 2 sont:
  • (oui, oui)
  • (oui, non)
  • (non, oui)
  • (non, non)

💡 Astuce mémo

Menace crédible : équilibre parfait ; menace irréalisable : équilibre écarté

📖 9. Jeux répétés et théorème de folk

🔑 Notions clés & Définitions

• Jeu répété : La répétition successive d’un même jeu de base ou jeu constituant.

📝 Points essentiels

📌 Si un jeu de base possède un unique équilibre de Nash, le seul ENPSJ de sa répétition un nombre fini n de fois est l’équilibre de Nash du jeu de base répété n fois.

📌 Le théorème de folk affirme que, dans un jeu répété indéfiniment, tout couple de stratégies donnant à chaque joueur un flux de gains au moins égal à celui obtenu en rejouant systématiquement l’équilibre statique est un ENPSJ.

• Dans le dilemme du prisonnier répété un nombre fini T de fois, l’équilibre de Nash parfait en sous-jeux est la défection à chaque étape et aucune coopération n’est possible.

💡 Astuce mémo

Répétition finie : coopération impossible ; répétition infinie : nombreux équilibres

📖 10. Jeux dynamiques à information incomplète

🔑 Notions clés & Définitions

• Équilibre bayésien parfait : Un ensemble de stratégies et de croyances tel qu’à chaque étape aucun joueur ne souhaite modifier sa stratégie compte tenu des stratégies des autres et du système de croyances.

📝 Points essentiels

• Dans le jeu dynamique à information incomplète, le joueur 1 est de type A ou B avec une probabilité de \frac{1}{2} pour chaque type, et le joueur 2 ignore le type de 1 lorsqu’il joue.

📐 Formule — La règle de Bayes calcule une probabilité conditionnelle selon $P(A\mid X)=\frac{P(X\mid A)P(A)}{P(X)}$.

• Dans l’exemple, les gains espérés du joueur 2 sont 70 avec C, 30 avec D et 15 avec E ; il choisit donc C.

• L’équilibre bayésien parfait séparateur associe le signal S au type A du joueur 1, le signal I au type B et la réponse C du joueur 2.

💡 Astuce mémo

Action observée → croyance bayésienne → meilleure réponse

📖 11. Jeux coopératifs et stabilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Jeu coopératif : Une situation où plusieurs agents peuvent conclure des accords, former des coalitions et partager les gains de leur coopération.
• Fonction caractéristique : Associe à chaque coalition S une valeur v(S), qui mesure ce que cette coalition peut obtenir seule, indépendamment des joueurs extérieurs.
• Cœur du jeu : L’ensemble des répartitions efficaces que toute coalition préfère au partage qu’elle pourrait obtenir seule.
• Valeur de Shapley : Répartit la valeur collective selon la contribution marginale moyenne de chaque joueur dans tous les ordres possibles d’arrivée.

★ À maîtriser

📐 Formule — Un jeu est superadditif si, pour deux coalitions disjointes S et T, $v(S\cup T) \geq v(S)+v(T)$.

Compléments

• Dans l’exemple des banques, la répartition (30, 30, 20) distribue exactement 80, respecte les valeurs individuelles 20, 20 et 10, et satisfait les valeurs des coalitions AB = 60, AC = 50 et BC = 45.

💡 Astuce mémo

Coalition → valeur créée → partage stable

📖 12. Stabilité et cœur des coalitions

🔑 Notions clés & Définitions

• Cœur : Ensemble des répartitions stables d’un jeu coopératif, c’est-à-dire des répartitions qu’aucune coalition ne souhaite quitter.

★ À maîtriser

📌 Une répartition appartient au cœur lorsque aucune coalition n’a intérêt à quitter la grande coalition pour obtenir davantage seule.

• Le cœur peut être vide lorsqu’il n’existe aucune répartition stable et que, quelle que soit la répartition proposée, une coalition peut avoir intérêt à se retirer.

Compléments

• Dans l’exemple bancaire, les banques A, B et C reçoivent respectivement 30, 30 et 20, tandis que leurs valeurs individuelles sont 20, 20 et 10.

• Dans l’exemple bancaire, les coalitions {A,B}, {A,C} et {B,C} reçoivent respectivement 60, 50 et 50, cette dernière valeur étant au moins égale à sa valeur individuelle de 45.

💡 Astuce mémo

Coalition stable → aucune coalition ne souhaite se retirer → répartition dans le cœur

📖 13. Valeur de Shapley et partage équitable

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur de Shapley : Méthode de répartition fondée sur la contribution marginale moyenne de chaque joueur dans les différentes coalitions et les différents ordres d’arrivée possibles.
• Contribution marginale : Valeur supplémentaire qu’il apporte lorsqu’il rejoint une coalition.

★ À maîtriser

• La valeur de Shapley repose sur quatre principes:
  • l’efficacité
  • la symétrie
  • la nullité
  • l’additivité

Compléments

📌 Le principe d’efficacité impose que toute la valeur créée soit distribuée entre les joueurs.

📌 Le principe de symétrie impose que deux joueurs apportant la même contribution reçoivent la même part.

💡 Astuce mémo

Contribution marginale → moyenne des ordres → partage équitable

📖 14. Jeux de vote pondéré

🔑 Notions clés & Définitions

• Jeu de vote pondéré : Jeu dans lequel chaque joueur dispose d’un poids de vote et où une décision est adoptée lorsque la somme des poids favorables atteint ou dépasse un quota.
• Joueur décisif : Un joueur est décisif ou pivot lorsqu’une coalition devient gagnante grâce à sa participation et perdante sans lui.

📝 Points essentiels

• Le jeu de vote pondéré [6; 4, 3, 2] a un quota de 6 voix et attribue 4 voix à A, 3 voix à B et 2 voix à C.

• Dans le jeu [6; 4, 3, 2], les coalitions gagnantes sont {A,B}, {A,C} et {A,B,C}, avec respectivement 7, 6 et 9 voix.

📌 Le pouvoir apparent correspond au nombre de voix détenues, tandis que le pouvoir réel dépend de la capacité à transformer une coalition perdante en coalition gagnante.

💡 Astuce mémo

Poids apparent ≠ pouvoir réel

📖 15. Indices de pouvoir collectif

🔑 Notions clés & Définitions

• Indice de Banzhaf : Mesure du nombre de fois qu’un joueur est décisif dans les coalitions gagnantes.
• Indice de Shapley-Shubik : Mesure de la fréquence avec laquelle un joueur est pivot dans tous les ordres possibles d’arrivée des joueurs.

★ À maîtriser

• 🔄 Le calcul de l’indice de Banzhaf consiste à:

  1. identifier les coalitions gagnantes
  2. repérer les joueurs décisifs
  3. compter leurs occurrences
  4. normaliser les résultats

• Dans le jeu [6; 4, 3, 2], les indices de Banzhaf normalisés sont 0,60 pour A, 0,20 pour B et 0,20 pour C.

• 🔄 Le calcul de l’indice de Shapley-Shubik consiste à: écrire tous les ordres d’arrivée, cumuler les poids, identifier le premier joueur qui atteint le quota, compter les occurrences de chaque joueur pivot, diviser par le nombre total d’ordres

• Dans le jeu [6; 4, 3, 2], A est pivot dans 4 des 6 ordres, tandis que B et C sont chacun pivots dans 1 ordre.

• Dans le jeu [6; 4, 3, 2], les indices de Shapley-Shubik sont 0,667 pour A et 0,167 pour B comme pour C.

Compléments

• Dans le jeu [6; 4, 3, 2], les nombres d’occurrences décisives sont 3 pour A, 1 pour B et 1 pour C, soit 5 occurrences au total.

• Avec trois joueurs, il existe 3! = 6 ordres possibles d’arrivée.

• Pour le comité [8; 5, 3, 2, 1], les indices de Banzhaf normalisés sont 0,5 pour A, 0,3 pour B, 0,1 pour C et 0,1 pour D.

💡 Astuce mémo

Banzhaf compte les coalitions décisives, Shapley-Shubik compte les ordres pivots

📊 Tableaux de synthèse

Types de jeux simultanés

Comparaison des indices de pouvoir