Fiche de révision : Intérêts composés et annuités

📋 Plan du Cours

1. Définition et caractéristiques des annuités
2. Valeur acquise des annuités
3. Calculer une annuité ou un nombre de versements
4. Déterminer le taux sur valeur acquise
5. Valeur actuelle des annuités
6. Calculer une mensualité ou une durée
7. Déterminer le taux sur valeur actuelle

📖 1. Définition et caractéristiques des annuités

🔑 Notions clés & Définitions

• Annuité : Somme payable à intervalles de temps constants, le terme étant parfois employé au sens large pour toute périodicité.

★ À maîtriser

• La période peut être :
  • l’année
  • le semestre
  • le trimestre
  • le mois

📌 Une annuité versée en début de période intervient dès la signature du contrat, tandis qu’une annuité versée en fin de période intervient à la fin de la première période pour le premier paiement.

📌 Les annuités temporaires ont un nombre de versements fixé par contrat, les annuités perpétuelles ont un nombre illimité de termes et les annuités viagères dépendent de la durée de vie d’une personne.

• Dans les notations du cours, a désigne le montant constant, n le nombre de versements, i le taux par période et Vn la valeur acquise à la date du dernier versement.

Compléments

• Au sens strict, un paiement annuel est une annuité, un paiement mensuel une mensualité et un paiement semestriel une semestrialité.

📌 Les versements peuvent servir à constituer un capital ou à rembourser une dette.

• Les annuités peuvent être constantes ou variables.

📌 Pour une suite d’annuités, n désigne le nombre de versements et non une durée.

📖 2. Valeur acquise des annuités

★ À maîtriser

📐 Formule - La valeur acquise à la date du dernier versement est $V_n=a\frac{(1+i)^n-1}{i}$.

📌 La formule de valeur acquise suppose que le premier versement a lieu à la date 1 et le dernier à la date n, à laquelle Vn est évaluée.

📌 Le taux i et la périodicité des versements doivent correspondre : un taux annuel suppose une capitalisation annuelle et des versements annuels.

Compléments

📐 Formule - La somme géométrique utilisée pour établir Vn comporte n termes de premier terme 1 et de raison $q=1+i$.

• Pour calculer Vn, chaque versement est capitalisé jusqu’à la date n et les montants obtenus sont additionnés.

📖 3. Calculer une annuité ou un nombre de versements

★ À maîtriser

📐 Formule - À partir de la valeur acquise, le montant du versement constant est $a=V_n\frac{i}{(1+i)^n-1}$.

📐 Formule - Le nombre de versements nécessaire pour atteindre une valeur acquise donnée est $n=\frac{\ln\left(\frac{V_n i}{a}+1\right)}{\ln(1+i)}$.

Compléments

• Pour obtenir 22 748,48 € après 8 versements au taux de 5,5 %, le montant de chaque annuité est de 2 340 €.

• Des versements constants de 2 000 € au taux annuel de 3,65 % permettent d’atteindre 18 200,22 € au terme de 8 versements.

📖 4. Déterminer le taux sur valeur acquise

★ À maîtriser

• Lorsque Vn, a et n sont connus, le taux peut être recherché en évaluant la fonction d’écart aux taux proposés, puis en interpolant entre les deux valeurs qui encadrent zéro.

Compléments

📌 Le taux ne peut pas être isolé directement de la formule de valeur acquise à partir de Vn, a et n.

• Le taux peut aussi être estimé à l’aide de la table financière 3, qui donne la valeur de $\frac{(1+i)^n-1}{i}$ selon i et n.

• Pour 6 versements de 1 300 € donnant une valeur acquise de 8 798,10 €, le taux recherché est de 4,8 %.

📖 5. Valeur actuelle des annuités

★ À maîtriser

📐 Formule - La valeur actuelle à la date 0, une période avant le premier versement, est $V_0=a\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}$.

📌 La formule de V0 évalue la suite à la date 0, une période avant le versement de la première annuité.

Compléments

📐 Formule - La valeur de la suite à la date 1, au moment du premier versement, est $V_1=V_0(1+i)=a\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}(1+i)$.

• La valeur actuelle d’une suite d’annuités s’obtient en actualisant sa valeur acquise sur n périodes.

• La valeur actuelle de 12 redevances trimestrielles de 3 600 € au taux trimestriel de 2,4 % est d’environ 37 152,25 €.

📖 6. Calculer une mensualité ou une durée

★ À maîtriser

📐 Formule - À partir de la valeur actuelle, le montant du versement constant est $a=V_0\frac{i}{1-(1+i)^{-n}}$.

📐 Formule - Pour calculer le nombre de versements à partir du capital emprunté, du versement et du taux, on utilise $n=-\frac{\ln\left(1-\frac{V_0 i}{a}\right)}{\ln(1+i)}$.

Compléments

📌 Si le taux fourni et la périodicité des versements ne correspondent pas, il faut convertir le taux en taux équivalent pour la période des versements.

• Un emprunt de 20 000 € remboursé par 36 mensualités au taux mensuel de 0,287 % donne une mensualité d’environ 585,55 €.

• Un prêt de 29 606,26 € remboursé par des annuités de 4 000 € au taux de 4,1 % nécessite 9 annuités.

📖 7. Déterminer le taux sur valeur actuelle

★ À maîtriser

• Lorsque V0, a et n sont connus, le taux se recherche par calcul en encadrant la solution, puis par interpolation, ou par lecture inverse de la table financière 4.

Compléments

📌 Le taux ne peut pas être isolé directement de la formule de valeur actuelle à partir de V0, a et n.

• La table financière 4 associe à i et n la valeur de $\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}$.

• Une dette de 45 000 € remboursée par 10 annuités de 5 410,86 € donne un taux d’intérêt d’environ 3,5 %.