QCM : Intérêts composés et annuités (17 questions)

Question 1

1. Dans le contexte financier, que désigne une annuité au sens large ?

Une somme payable à intervalles annuels constants

Un taux appliqué à des sommes versées à intervalles constants

Une somme payable à intervalles de temps constants

Une somme payable à une seule date déterminée

Explication

Une annuité au sens large est une somme versée selon une périodicité constante, qui peut être autre qu’annuelle. Un paiement unique ne constitue pas une suite périodique, l’intervalle peut être mensuel ou trimestriel, et le taux n’est pas la somme versée.

Answer

Une somme payable à intervalles de temps constants

Question 2

2. Une épargne prévoit des versements chaque trimestre. Dans cette suite de versements, que représente la période ?

L’intervalle de trois mois entre deux versements

La somme versée à chaque échéance

La durée totale pendant laquelle l’épargne est constituée

L’intervalle d’un an entre deux versements

Explication

La période est l’intervalle de temps séparant deux paiements; ici, elle correspond à trois mois. La durée totale du contrat n’est pas l’intervalle entre deux versements, l’année ne correspond pas à la périodicité indiquée et le montant du versement est une autre caractéristique.

Answer

L’intervalle de trois mois entre deux versements

Question 3

3. Un contrat de placement est signé aujourd’hui et prévoit un premier versement effectué immédiatement. À quel moment les versements sont-ils effectués ?

À la fin de chaque période

À la fin de la deuxième période

Au début de chaque période

Avant la signature du contrat

Explication

Un versement réalisé dès la signature intervient au début de la période. Un premier paiement à la fin de la première période caractérise un versement en fin de période; attendre la deuxième période retarde encore le paiement, et un paiement antérieur à la signature n’est pas décrit.

Answer

Au début de chaque période

Question 4

4. Un contrat prévoit un nombre de versements fixé dès sa conclusion, sans lien avec la durée de vie d’une personne. Quelle catégorie d’annuité décrit ce contrat ?

Une annuité constante

Une annuité temporaire

Une annuité viagère

Une annuité perpétuelle

Explication

Une annuité temporaire comporte un nombre de versements fixé par contrat. Une annuité perpétuelle a un nombre illimité de termes, une annuité viagère dépend de la durée de vie d’une personne, et « constante » décrit le montant des versements plutôt que leur durée.

Answer

Une annuité temporaire

Question 5

5. Une épargne verse 200 € à la fin de chacune de quatre périodes, au taux de 5 % par période. Quelle expression donne sa valeur acquise à la date du dernier versement ?

\frac{200}{0{,}05}

200\frac{(1+0{,}05)^4-1}{0{,}05}

200\frac{(1+0{,}05)^4}{0{,}05}

200\frac{1-(1+0{,}05)^{-4}}{0{,}05}

Explication

La valeur acquise d’annuités constantes à la date du dernier versement est $V_n=a\frac{(1+i)^n-1}{i}$ ; ici, $a=200$ , $i=0{,}05$ et $n=4$ . L’expression avec une puissance négative correspond à une valeur actuelle, tandis que les autres expressions omettent une partie de la formule.

Answer

$$200\frac{(1+0{,}05)^4-1}{0{,}05}$$

Question 6

6. Une formule de valeur acquise des annuités est appliquée à une suite de cinq versements évaluée à la date du cinquième. Quel calendrier des paiements correspond à ses hypothèses ?

Premier versement à la date 0 et dernier à la date 4

Premier versement à la date 1 et dernier à la date 5

Premier versement à la date 1 et dernier à la date 6

Premier versement à la date 0 et dernier à la date 5

Explication

La formule suppose que le premier versement a lieu à la date 1 et que le dernier a lieu à la date $n$ , date à laquelle la valeur acquise est évaluée. Commencer à la date zéro ou terminer après la date d’évaluation ne respecte pas ce calendrier.

Answer

Premier versement à la date 1 et dernier à la date 5

Question 7

7. Une entreprise effectue des versements semestriels, mais le taux fourni est annuel et correspond à une capitalisation annuelle. Que faut-il faire pour utiliser la formule de valeur acquise des annuités ?

Convertir les versements en versements annuels sans modifier le taux

Mettre le taux et les versements sur une même périodicité

Conserver le taux annuel et compter chaque semestre comme une année

Doubler le taux annuel pour chaque période semestrielle

Explication

Le taux et la périodicité des versements doivent correspondre; il faut donc exprimer le taux sur une base semestrielle ou adapter les versements à une base annuelle cohérente. Utiliser directement un taux annuel avec des périodes semestrielles mélange les périodicités, et doubler le taux ou modifier les versements sans conversion correcte ne rétablit pas cette cohérence.

Answer

Mettre le taux et les versements sur une même périodicité

Question 8

8. Un placement prévoit 6 versements annuels constants à la fin de chaque année, au taux annuel de 4 %. Quelle formule permet de calculer le montant de chaque versement pour atteindre une valeur acquise donnée $V_6$ ?

a=V_6\frac{(1+0{,}04)^6-1}{0{,}04}

a=V_6\frac{0{,}04}{1-(1+0{,}04)^{-6}}

a=V_6\frac{0{,}04}{(1+0{,}04)^6-1}

a=V_6\frac{0{,}04}{(1+0{,}04)^6}

Explication

Pour des versements constants, on isole le montant du versement dans la formule de valeur acquise, ce qui donne $a=V_n\frac{i}{(1+i)^n-1}$ . La deuxième expression calcule plutôt la valeur acquise par unité versée, la troisième correspond à une autre structure de rente et la quatrième actualise un montant unique.

Answer

$$a=V_6\frac{0{,}04}{(1+0{,}04)^6-1}$$

Question 9

9. Une épargnante verse 1 500 € à la fin de chaque année au taux annuel de 3 %. Elle vise une valeur acquise donnée $V_n$ . Quelle expression permet de déterminer le nombre de versements nécessaires ?

n=\frac{\ln\left(\frac{1500\times0{,}03}{V_n}+1\right)}{\ln(1+0{,}03)}

n=\frac{\ln\left(\frac{V_n\times0{,}03}{1500}+1\right)}{\ln(1-0{,}03)}

n=\frac{\ln\left(\frac{V_n\times0{,}03}{1500}+1\right)}{\ln(1+0{,}03)}

n=\frac{\ln\left(\frac{V_n}{1500}+1\right)}{\ln(1-0{,}03)}

Explication

En isolant le nombre de versements dans la formule de valeur acquise, on obtient $n=\frac{\ln\left(\frac{V_n i}{a}+1\right)}{\ln(1+i)}$ . Inverser le quotient confond le versement avec la valeur acquise, tandis que les expressions en $1-0{,}03$ appliquent un facteur d’actualisation.

Answer

$$n=\frac{\ln\left(\frac{V_n\times0{,}03}{1500}+1\right)}{\ln(1+0{,}03)}$$

Question 10

10. Pour 8 versements annuels de 1 200 €, une valeur acquise de 10 500 € est observée. Deux taux proposés encadrent zéro pour la fonction d’écart entre la valeur calculée et 10 500 €. Quelle démarche permet d’estimer le taux recherché ?

Interpoler entre les deux taux en utilisant les valeurs de l’écart

Isoler le taux par une transformation algébrique directe

Retenir le taux qui produit la valeur acquise la plus proche

Prendre la moyenne arithmétique des deux taux proposés

Explication

Quand les valeurs de l’écart aux deux taux encadrent zéro, l’interpolation entre ces valeurs permet d’estimer le taux qui annule la fonction. Choisir simplement un taux, isoler directement le taux ou prendre une moyenne sans utiliser les écarts ne suit pas cette démarche.

Answer

Interpoler entre les deux taux en utilisant les valeurs de l’écart

Question 11

11. Un analyste connaît le nombre de versements et cherche à estimer le taux à l’aide d’une table financière. Quelle grandeur doit-il lire pour comparer la suite de versements à la valeur acquise ?

(1+i)^{-n}

\frac{(1+i)^n-1}{i}

(1+i)^n

\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}

Explication

La table financière 3 fournit la valeur de $\frac{(1+i)^n-1}{i}$ selon le taux et le nombre de périodes, ce qui permet d’estimer le taux à partir des données des versements. Les autres expressions correspondent à des facteurs d’actualisation ou à la capitalisation d’un montant unique.

Answer

$$\frac{(1+i)^n-1}{i}$$

Question 12

12. Une entreprise doit évaluer à la date 0 une série de 10 versements annuels constants de 1 200 €, le premier ayant lieu dans un an. Avec un taux annuel de 5 %, quelle formule donne la valeur actuelle ?

1200\frac{1-(1.05)^{-9}}{0.05}

1200\left[1-(1.05)^{-10}\right]

1200\frac{(1.05)^{10}-1}{0.05}

1200\frac{1-(1.05)^{-10}}{0.05}

Explication

La valeur actuelle à la date 0, une période avant le premier versement, est $V_0=a\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}$ . La formule avec des puissances positives calcule une valeur acquise, celle avec 9 périodes décale l’échéancier, et celle sans division par le taux omet un facteur de la formule.

Answer

$$1200\frac{1-(1.05)^{-10}}{0.05}$$

Question 13

13. Une série de versements annuels commence par un premier versement à la fin de la première année. À quelle date faut-il évaluer la valeur actuelle $V_0$ de cette série ?

Une période avant le premier versement

Deux périodes avant le premier versement

À la date du dernier versement

Au moment du premier versement

Explication

La formule de $V_0$ évalue la série à la date 0, située une période avant le premier versement. Évaluer au premier versement correspond à la date 1, tandis que la date du dernier versement est la fin de la série.

Answer

Une période avant le premier versement

Question 14

14. Un capital de 15 000 € est remboursé par 24 versements constants en fin de période, au taux de 1 % par période. Quelle expression permet de calculer le montant de chaque versement ?

15000\frac{0.01}{(1.01)^{24}-1}

15000\frac{0.01}{1-(1.01)^{-24}}

15000\frac{1-(1.01)^{-24}}{0.01}

\frac{15000}{1-(1.01)^{-24}}

Explication

En isolant le versement dans la formule de la valeur actuelle, on obtient $a=V_0\frac{i}{1-(1+i)^{-n}}$ . L’expression avec le rapport inversé donne la valeur actuelle par versement, celle avec des puissances positives concerne la valeur acquise, et la dernière omet le taux.

Answer

$$15000\frac{0.01}{1-(1.01)^{-24}}$$

Question 15

15. Un emprunt de 10 000 € est remboursé par des versements constants de 1 200 € au taux de 2 % par période. Quelle formule permet de déterminer le nombre de versements $n$ ?

-\frac{\ln\left(1-\frac{10000\times0.02}{1200}\right)}{\ln(0.02)}

-\frac{\ln\left(1-\frac{1200\times0.02}{10000}\right)}{\ln(1.02)}

\frac{\ln\left(1-\frac{10000\times0.02}{1200}\right)}{\ln(1.02)}

-\frac{\ln\left(1-\frac{10000\times0.02}{1200}\right)}{\ln(1.02)}

Explication

Pour déterminer la durée, on utilise $n=-\frac{\ln\left(1-\frac{V_0i}{a}\right)}{\ln(1+i)}$ : le capital est multiplié par le taux puis divisé par le versement, et le logarithme du dénominateur porte sur $1+i$ . Les autres expressions inversent le rapport, omettent le signe négatif ou remplacent $1+i$ par le taux seul.

Answer

$$-\frac{\ln\left(1-\frac{10000\times0.02}{1200}\right)}{\ln(1.02)}$$

Question 16

16. Une entreprise connaît la valeur actuelle d’un emprunt, le montant des annuités et leur nombre, mais pas le taux. Quelle démarche permet de déterminer ce taux ?

Lire dans la table financière 4 la valeur actuelle correspondant au montant des annuités

Déterminer le nombre d’annuités par tâtonnement, puis utiliser ce résultat comme taux

Encadrer le taux par calcul, puis interpoler ou effectuer une lecture inverse de la table financière 4

Isoler directement le taux dans la formule de valeur actuelle à partir des trois données connues

Explication

Comme le taux ne s’isole pas directement, on peut l’encadrer par calcul puis interpoler, ou le rechercher par lecture inverse de la table financière 4. L’isolement direct confond les inconnues, le calcul du nombre d’annuités vise une autre variable, et une lecture directe de la valeur actuelle n’effectue pas la recherche inverse du taux.

Answer

Encadrer le taux par calcul, puis interpoler ou effectuer une lecture inverse de la table financière 4

Question 17

17. Une dette de 45 000 € est remboursée par 10 annuités constantes de 5 410,86 €, la première étant versée un an après le prêt. Quel taux d’intérêt approximatif obtient-on ?

Environ 3 %

Environ 8,3166 %

Environ 3,5 %

Environ 4 %

Explication

Avec ces données, la recherche du taux donne environ 3,5 %, entre les valeurs de 3 % et 4 % obtenues par encadrement. Retenir 3 % ou 4 % revient à prendre une borne plutôt que l’estimation interpolée; 8,3166 est le coefficient de valeur actuelle, pas un taux.

Answer

Environ 3,5 %

QCM : Intérêts composés et annuités (17 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Dans le contexte financier, que désigne une annuité au sens large ?

2. Une épargne prévoit des versements chaque trimestre. Dans cette suite de versements, que représente la période ?

3. Un contrat de placement est signé aujourd’hui et prévoit un premier versement effectué immédiatement. À quel moment les versements sont-ils effectués ?

4. Un contrat prévoit un nombre de versements fixé dès sa conclusion, sans lien avec la durée de vie d’une personne. Quelle catégorie d’annuité décrit ce contrat ?

5. Une épargne verse 200 € à la fin de chacune de quatre périodes, au taux de 5 % par période. Quelle expression donne sa valeur acquise à la date du dernier versement ?

6. Une formule de valeur acquise des annuités est appliquée à une suite de cinq versements évaluée à la date du cinquième. Quel calendrier des paiements correspond à ses hypothèses ?

7. Une entreprise effectue des versements semestriels, mais le taux fourni est annuel et correspond à une capitalisation annuelle. Que faut-il faire pour utiliser la formule de valeur acquise des annuités ?

8. Un placement prévoit 6 versements annuels constants à la fin de chaque année, au taux annuel de 4 %. Quelle formule permet de calculer le montant de chaque versement pour atteindre une valeur acquise donnée $V_6$ ?

9. Une épargnante verse 1 500 € à la fin de chaque année au taux annuel de 3 %. Elle vise une valeur acquise donnée $V_n$ . Quelle expression permet de déterminer le nombre de versements nécessaires ?

10. Pour 8 versements annuels de 1 200 €, une valeur acquise de 10 500 € est observée. Deux taux proposés encadrent zéro pour la fonction d’écart entre la valeur calculée et 10 500 €. Quelle démarche permet d’estimer le taux recherché ?

11. Un analyste connaît le nombre de versements et cherche à estimer le taux à l’aide d’une table financière. Quelle grandeur doit-il lire pour comparer la suite de versements à la valeur acquise ?

12. Une entreprise doit évaluer à la date 0 une série de 10 versements annuels constants de 1 200 €, le premier ayant lieu dans un an. Avec un taux annuel de 5 %, quelle formule donne la valeur actuelle ?

13. Une série de versements annuels commence par un premier versement à la fin de la première année. À quelle date faut-il évaluer la valeur actuelle $V_0$ de cette série ?

14. Un capital de 15 000 € est remboursé par 24 versements constants en fin de période, au taux de 1 % par période. Quelle expression permet de calculer le montant de chaque versement ?

15. Un emprunt de 10 000 € est remboursé par des versements constants de 1 200 € au taux de 2 % par période. Quelle formule permet de déterminer le nombre de versements $n$ ?

16. Une entreprise connaît la valeur actuelle d’un emprunt, le montant des annuités et leur nombre, mais pas le taux. Quelle démarche permet de déterminer ce taux ?

17. Une dette de 45 000 € est remboursée par 10 annuités constantes de 5 410,86 €, la première étant versée un an après le prêt. Quel taux d’intérêt approximatif obtient-on ?

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QCM : Intérêts composés et annuités (17 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Dans le contexte financier, que désigne une annuité au sens large ?

2. Une épargne prévoit des versements chaque trimestre. Dans cette suite de versements, que représente la période ?

3. Un contrat de placement est signé aujourd’hui et prévoit un premier versement effectué immédiatement. À quel moment les versements sont-ils effectués ?

4. Un contrat prévoit un nombre de versements fixé dès sa conclusion, sans lien avec la durée de vie d’une personne. Quelle catégorie d’annuité décrit ce contrat ?

5. Une épargne verse 200 € à la fin de chacune de quatre périodes, au taux de 5 % par période. Quelle expression donne sa valeur acquise à la date du dernier versement ?

6. Une formule de valeur acquise des annuités est appliquée à une suite de cinq versements évaluée à la date du cinquième. Quel calendrier des paiements correspond à ses hypothèses ?

7. Une entreprise effectue des versements semestriels, mais le taux fourni est annuel et correspond à une capitalisation annuelle. Que faut-il faire pour utiliser la formule de valeur acquise des annuités ?

8. Un placement prévoit 6 versements annuels constants à la fin de chaque année, au taux annuel de 4 %. Quelle formule permet de calculer le montant de chaque versement pour atteindre une valeur acquise donnée V6V_6V6​ ?

9. Une épargnante verse 1 500 € à la fin de chaque année au taux annuel de 3 %. Elle vise une valeur acquise donnée VnV_nVn​. Quelle expression permet de déterminer le nombre de versements nécessaires ?

10. Pour 8 versements annuels de 1 200 €, une valeur acquise de 10 500 € est observée. Deux taux proposés encadrent zéro pour la fonction d’écart entre la valeur calculée et 10 500 €. Quelle démarche permet d’estimer le taux recherché ?

11. Un analyste connaît le nombre de versements et cherche à estimer le taux à l’aide d’une table financière. Quelle grandeur doit-il lire pour comparer la suite de versements à la valeur acquise ?

12. Une entreprise doit évaluer à la date 0 une série de 10 versements annuels constants de 1 200 €, le premier ayant lieu dans un an. Avec un taux annuel de 5 %, quelle formule donne la valeur actuelle ?

13. Une série de versements annuels commence par un premier versement à la fin de la première année. À quelle date faut-il évaluer la valeur actuelle V0V_0V0​ de cette série ?

14. Un capital de 15 000 € est remboursé par 24 versements constants en fin de période, au taux de 1 % par période. Quelle expression permet de calculer le montant de chaque versement ?

15. Un emprunt de 10 000 € est remboursé par des versements constants de 1 200 € au taux de 2 % par période. Quelle formule permet de déterminer le nombre de versements nnn ?

16. Une entreprise connaît la valeur actuelle d’un emprunt, le montant des annuités et leur nombre, mais pas le taux. Quelle démarche permet de déterminer ce taux ?

17. Une dette de 45 000 € est remboursée par 10 annuités constantes de 5 410,86 €, la première étant versée un an après le prêt. Quel taux d’intérêt approximatif obtient-on ?

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8. Un placement prévoit 6 versements annuels constants à la fin de chaque année, au taux annuel de 4 %. Quelle formule permet de calculer le montant de chaque versement pour atteindre une valeur acquise donnée $V_6$ ?

9. Une épargnante verse 1 500 € à la fin de chaque année au taux annuel de 3 %. Elle vise une valeur acquise donnée $V_n$ . Quelle expression permet de déterminer le nombre de versements nécessaires ?

13. Une série de versements annuels commence par un premier versement à la fin de la première année. À quelle date faut-il évaluer la valeur actuelle $V_0$ de cette série ?

15. Un emprunt de 10 000 € est remboursé par des versements constants de 1 200 € au taux de 2 % par période. Quelle formule permet de déterminer le nombre de versements $n$ ?